Ta có thể đặt một ẩn phụ và đưa về pt đơn giản hơn, tuy nhiên ta cũng có thể đặt hai, ba ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ... Ý tưởng 3: Trước hết có thể nói rằng đây là một phương phá
Trang 1THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I Sử dụng phép biến đổi không thuận nghịch.
AB A B khi A B, 0 AB A B khi A B, 0
Mở đầu bằng một điều thú vị sau đây: 6 2.3 2 3 Phép toán trên đúng và chẳng có gì phải bàn Tuy nhiên nếu áp dụng không cẩn thận thì lại có điều thú vị như sau: 6 ( 2).( 3) 2 3 !???
Sai lầm ở đâu chắc độc giả đẫ biết
Xin minh hoạ dạng toán trên qua VD sau đây: Giải bất phương trình:
x28x15 x22x15 x 3 *
Với VD trên ta thấy khử căn thức bằng cách bình phương hai vế( sau khi lấy đk cho 2 vế ko âm) có vẻ không đơn giản Đặt ẩn phụ thì cũng rất mơ hồ
Khi tiến hành giải toán, nếu không cẩn thận thì người làm toán sẽ sai lầm ngay trong bước tìm điều kiện
Điều kiện:
2
2
5 ( ) 3
3
( ) 5
x a x
x
b x
.Tuy nhiên khi vẽ trục thì chỉ được kết quả cuối cùng là: 5 ( )
5
x
c x
Liệu có chính xác??? Hãy chú ý rằng x = 3 thoả mãn cả (a) và (b) nên đương nhiên cũng là giá trị thuộc điều
kiện Vậy là ta đã sai lầm? Sai lầm ở đâu?
Phân tích sai lầm: Khi vẽ trục và gạch đi phần ko thoả mãn (a) và (b) thì chỉ cho ta kq là (c) Ta đã sai lầm do
thói quen tay mà thôi Chú ý rằng điều kiện (a) nghĩa là bỏ đi khoảng (3; 5), chứ ko bỏ đi điểm x = 3, điều kiện
(b) nghĩa là bỏ đi khoảng ( -5; 3), ko bỏ đi điểm x = 3
Do đó điều kiện đúng phải là:
5 5 3
x x x
Vậy thì VD trên giải quyết thế nào? Rất đơn giản, ta dùng phương pháp…chia để trị ( Giải VD trên từng đk)
+) Với x = 3, ta thấy (*) thoả mãn Vậy x = 3 là một nghiệm
+) Với x5 Ta viết lại bpt đẹp hơn như sau: (x3)(x 5) (x3)(x5) x 3 *
Hãy chú ý với x5 thì
Do đó sau khi chia cả hai vế của (*) cho x ( Bpt ko đổi chiều), ta được: 3 0 x 5 x 5 x3 (**)
Đề giải (**) thi khá đơn giản, chỉ cần đưa về hai vế ko âm và bình phương hai vế là OK Cách giải sau đây sẽ cho ta điều thú vị và ngắn gọn hơn( Cách này chỉ áp dụng cho tuỳ từng bài)
3 0
x
Nghĩa là (**) vô nghiệm khi x5 +) Với x 5 Ta viết lại bpt đẹp hơn như sau: (3x)(5x) (3x)( x 5) (3 x) *
Hãy chú ý với x 5 thì
Do đó sau khi chia cả hai vế của (*) cho 3 (Bpt ko đổi chiều), ta được: x 0
5 x 5 x 3x(***)
Trang 2THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
2
Giải (***) rất đơn giản, chuyển vế để hai vế ko âm và bình phương, cách đó đúng, nhưng ko mấy thú vị
x
Nghĩa là (***) nghiệm đúng khi x 5 Vậy (*) có tập nghiệm S ( ; 5] {3}
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1. x(x1) x(x2) 2 x2 , ( 0; 9/8) 4. x2 3x2 x2 6x5 2x2 9x7, ( -5; -1)
2. x2 x(x3) x(2x1), ( 0; 4) 5. x2 4x3 2x2 3x1x1,(x1/ 2; 1)
3. 2x2 8x6 x2 12(x1),(1; -1) 6. x2 8x15 x2 2x15 4x2 18x18, (x>17/3)
II Phương pháp đặt ẩn phụ
Ý tưởng 1: Xuất phát từ một hệ phương trình rất đơn giản, chẳng hạn hệ pt sau: 2
1
u v uv
(1), tuy nhiên bằng cách đặt
2
x u y
v x y
sau đó thay vào và biến đổi ta được hệ
2
2
(2)
Yêu cầu của bài toán là giải hệ (2) bằng cách biến đổi để đưa về hệ (1) Với mỗi cách đặt khác nhau, ta sẽ được nhiều hệ pt khác nhau, các hệ pt đó đều được sinh bởi một hệ cơ bản ban đầu rất đơn giản Để giúp chúng ta làm
tốt dạng toán này, tôi đưa ra yêu cầu ở cột bên trái và gợi ý ở cột giữa
7.
2
2
2 1
u v uv
1 13
7 13
u v
9.
5 / 4 (1 2 ) 5 / 4
5 / 4
5 / 4
u v uv
35 / 4;3 25 /16)
1 5
u v
11. ( 2 1) 3 02
( ) 5 / 1 0
x x y
3 5
u v
12
6
6
2 5
uv
13 *
3
3
(12 5 ) 1
x y
3
3
12 5
12 5
u v
v u
14 **
2 2
2
3
x y 1
x y
3u v 13
u v 3
Ý tưởng 2:Việc đặt ẩn phụ đối với phương trình đại số cũng rất phong phú và đa dạng Ta có thể đặt một ẩn
phụ và đưa về pt đơn giản hơn, tuy nhiên ta cũng có thể đặt hai, ba ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ
Trang 3THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
3
bản hoặc đưa về phương trình hai ẩn, ba ẩn quen thuộc Việc đặt ẩn phụ cần căn cứ vào đặc điểm từng
phương trình Xin nêu ra 3 VD rất đơn giản như sau:
VD1 (Đưa về pt đơn giản hơn): Giải phương trình: (x5)(2x) 3 x23x (1).
Mấu chốt ở đây là: (x5)(2x) (x23 ) 10x , từ đó ta chỉ cần đặt ẩn phụ t x2 3 ,x t và đưa pt trên 0
về pt bậc 2 ẩn phụ là t
VD2 (Đưa về hệ phương trình cơ bản): Giải phương trình: x2 x 5 5 (2).
Việc có mặt của 2 số 5 làm cho người đọc ko khỏi tò mò và nghi ngờ Đúng như vây: Nếu đặt t x5,t0,
ta sẽ có hệ
Hệ trên chưa đối xứng, tuy nhiên nếu đặt u = -x ta lại có hệ:
2
2
5 5
Việc giải hệ phương trình ẩn t và u giờ đây đã trở nên quá tầm thường
VD3 (Đưa về phương phương trình 2 ẩn quen thuộc): Giải phương trình: 2x23x 1 3 x3 (3).1
Pt(3) có thể viết lại “ cho đẹp hơn” như sau ( Tại sao lại có ý tưởng đó thì xin dành cho bạn đọc):
2x23x 1 3 x3 1 (x 1) 2(x2 x 1) 3 (x1)(x2 x 1)
Ta đặt
2
1 0
1 3 / 2
, đưa pt trên về dạng:
u v uv Đây chính là pt đẳng cấp bậc hai với 2 ẩn
là u và v Cách giải pt này hết sức dễ dàng và cho ta
2
u v
Đến đây pt(3) đã được giải quyết.
15. 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x 1) 16 Rất đơn giản x = 3
16.x335x x3( 335x3) 30 t x 335x3 x = 2; 3
17.
2
2
1
1
t
18. 7x 7 7x 6 2 49x27x42 181 14 x (7 7)(7 6) ?
(7 7) (7 6) ?
20. 3 x3 8 2(x23x2) Xem VD3 x 3 13
21. x22x 2x 1 3x24x1 3x24x 1 m x( 2 2 )x n x(2 1) x (1 5) / 2
22. x3 1 2 2 x 13 Đưa về hệ đối xứng x 1; ( 1 5) / 2
25 2x2-6x-1= 4x5 2t 3 4x 5, đưa về hệ pt x 1 2;2 3
*) Chú ý: Việc đặt ẩn phụ trong 3 bài 23, 24, 25 là ” rất không bình thường”, đơn giản vì ko có cơ sở của
phương pháp Tuy nhiên với mục đích là đưa về hệ pt cơ bản( thông thường là hệ đối xứng ) nên ta có thể đặt 1
x = at +b ( bài 24) và đưa về hệ pt ẩn là x và t, khi đó hệ số a và b được tìm là do ta “ép” hệ trên là hệ đối
xứng loại II
III Kỹ thuật nhẩm nghiệm – nhân biểu thức liên hợp.
Ý tưởng 3: Trước hết có thể nói rằng đây là một phương pháp hay và giải được nhiều bài toán khó, tuy nhiên nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là ta phải nhẩm được một nghiệm của phương trình Việc nhẩm nghiệm của phương trình có thể là rất dễ dàng, nếu khó hơn ta có thể sử dụng phần mềm để vẽ đồ thị và từ đó
dự đoán nghiệm Nếu phương trình có nghiệm phức tạp ( nghiệm vô tỷ chảng hạn) mà ta không nhẩm hoặc không dự đoán được thì hãy nghĩ đến phương pháp khác để giải quyết bài toán Việc nhẩm nghiệm có liên quan mật thiết tới việc nhân biểu thức liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung
Trang 4THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
4
Xin nêu ra một VD đơn giản như sau:
VD4: Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0(4) ( B – 2010)
Không khó khăn khi nhẩm được một nghiệm là x = 5 nên pt(4) viết lại đẹp hơn như sau:
( 3x 1 4) (1 6 x) (3 x2 14x 5) 0
Sở dĩ viết như vậy là do: ( 3x 1 4)( 3x 1 4) 3( x 5)
(1 6 x)(1 6 x) x 5
3x2 14x 5 (x 5)(3x 1)
Sau khi nhẩm nghiệm, nhân liên hợp, ta có ngay nhân tử chung Việc giải pt(4) coi như xong
28.
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x
2 2 x 8 4 x
(2x 4) (8 4 ) ?x x = 2; 2/3
5
x
- Cộng và trừ vế với vế
- Nhân liên hợp đưa về hệ 5 / 5 / 2
10
u v
x = y = 7
(x 5) (y 5) (x 2) (y2) x = y = 11
IV Giải bất phương trình bằng cách sử dụng tính chất của hàm liên tục.
*) Trước hết cần chú ý rằng các hàm sơ cấp( Đa thức, phân thức hữu tỷ, lượng giác, căn thức, mũ, lôgairt,…)
đều liên tục trên khoảng hay các khoảng mà nó xác định
*) Một số tính chất quan trọng của hàm liên tục
Tính chất 1:
( ) liª ôc / ; ( ) 0 ; ( ) 0 « Öm / ; ( ) 0 ;
Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục trên a; hoặc ;a và vô nghiệm trên khoảng đó thì dấu của f(x) cũng chính là dấu của
lim ( )
x f x hoặc
lim ( )
Ý tưởng 4: Ta sẽ mở đầu bằng việc giải bất phương trình sau: VD5: 3 x 7 2 x 3 0 (5)
Mới đầu nhìn đã thấy ngay sự khó khăn vì dạng này ko cơ bản Nhưng nếu là việc giải phương trình thì bài toán trở nên vô cùng dễ dàng: 3 x 7 2 x 3 0 (5a)
Đặt
v x ta có ngay hệ phương trình
3 2
3
( ; ) (2;1),(0;3),( 3;6) 9
u v
u v
u v
Từ đó pt(5a) có các nghiệm x = 1; -7; -34
Ta xét hàm f x( ) 3 x 7 2 x 3 xác định và liên tục trên ;2 , f(x) = 0 có các nghiệm là 1; -7; -34.
f(x) + 0 - 0 + 0 -
Căn cứ vào bảng xét dấu của f(x) ta có tập nghiệm của bpt(5) là: S ; 34 7; 1
Trang 5THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
5
33.3 x3 2x 3 312(x1) Giải pt cho ta 2 nghiệm x = 1 và 3 x < 1
2
4 x 5 x
-Giải pt cho ta 2 nghiệm x = - 4 và 3 -Chú ý 2 điểm hàm ko xác đinh x = -5 và 4 -5 < x < -4; 3 < x < 4
V Phương pháp hàm số
Ý tưởng 5: Phương pháp này được minh họa qua hai VD đơn giản sau đây:
VD6: Giải phương trình: x32x23 x33x2 3 3 x2 3 (6)
Thoạt nhìn thì khá phức tạp, tuy nhiên để ý một chút, ta viết lại pt(6) như sau:
(x33 )x2 3 x33x2 (x2 3) 3 x23 (6a)
Đến đây vấn đề đã được sáng tỏ bằng cách xét hàm f t( ) t 3t t, Hàm này đồng biến
(6a) trở thành: f x( 33 )x2 f x( 2 3) x33x2 x2 3
VD7: Giải bất phương trình: 4x 1 3x 2 5 (7)
Điều kiện: x 2 / 3
Xét hàm f(x) = 4x 1 3x2 trên 2 / 3;, hàm này đồng biến trên 2 / 3;
Bpt(7) trở thành f x f(2) x 2 Vậy tập nghiệm là: S 2 / 3;2
35.
1
Chú ý pt thứ 2 cho ta điều kiện của x , y x = y = 1 / 26
36
2
2
Xét hàm
2
f t t t t
vàg t( ) 3 t2 t3,t0
x = y = 1
37 x2 x 23 x22x 23 x Xem VD6 x = 0; -1
38.CMR pt: x5 x2 2x 1 0có no duy nhất -B1: CM pt có no dựa vào t/chất hàm liên tục
-B2: Hạn chế miến xác định của
x để được hàm đồng biến
39
1
Chú ý pt thứ 2 cho ta điều kiện của x , y x y 4( 1 5) / 2
Sử dụng pp hàm số 2 lần hoặc
pp hàm số và nhẩm no, nhân
VI Một sai lầm khá thú vị
Ý tưởng 6:Xuất phát từ một VD khá đơn giản:
VD8: Giải bất phương trình: (2x5) 2x2 5x 2 0 (8)
Hãy bình luận về hướng suy nghĩ và cách giải sau đây: Ta thấy VT(8) là tích của hai số hạng là ( 2x – 5 ) và
2
2x 5x2 Do tích không âm và có một số hạng ko âm ( 2x2 5x 2 0) nên số hạng còn lại cũng ko
âm và do đó 2
2 2
5 / 2
x
Trang 6THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
6
Lời giải trên thật ngắn gọn, hoàn hảo và chính xác???
Hãy làm thêm một việc nhẹ nhàng: Thay x = 2 và x = 1/2 và bpt(8), ta thấy nghiệm đúng Vậy là cách giải trên
đã làm mất hai nghiệm này ( 25 / 2;; 1/25 / 2; ) Sai lầm ở đâu? Và giải sao cho đúng?
( Xin dành cho độc giả)
41. (x23 ) 2x x23x 2 0
Xét 2 TH:
- TH1: 2x23x ( Thay trực2 0 tiếp)
- TH2: 2x23x (Ta “chia” )2 0
3; x -1/2; x=2
42 (x29 )x x2 5x 6 0 Dễ dàng x0;x9;x2;x3
43. (4x2) x25x 4 0 Dễ dàng 2 x 1; x=4
VII Phương pháp đánh giá
Ý tưởng 7: Trước hết phải nói rằng những bài toán chỉ giải được bằng phương pháp này là các bài toán tương đối khó Trong khuôn khổ của bài viết, tôi chỉ xin đưa ra một vài dạng hết sức cơ bản và đơn giản ( Việc đi sâu nghiên cứu sẽ được trình bày sau) Xin minh hoạ qua một VD sau đây:
VD9 : Giải phương trình: 1 2 3 1
x
(9)
Cách số 1: Đưa về tổng bình phương của các số không âm.
2 2 2 2
A A A A A A A
2
Cách số 2: Sử dụng các BĐT cơ bản Chẳng hạn : , a,b 0
2
a b ab
VT x x x x VP
Dấu “ = “ xảy ra 1 1 2
2 3 1
x
x x
Để giải pt trên còn rất nhiều cách khác ( Xin dành cho độc giả) Chẳng hạn có một cách khác như sau:
(9) 4x 4 2x 3 (4x 4) (2x3) Đưa về dạng: u v u 2v2
46 x2 x 1 x 3 4 x 1 1 a b Dấu “ = “ xảy ra a b ab0 2 x 5
4
1 1
1 1
49 *
4 1
4 1
4 1
1
2
Tương tự sau đó cộng vế với vế
x = y = z = 1/2
Trang 7THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
7
50 **
3 3
3 (1 )(1 )(1 ) (1 )
Trong pt thứ 2 hãy chứng tỏ VT VP x = y = z = 1
VIII Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số.
Về vấn đề này cũng có rất nhiều hướng khai thác và cũng có thể phân chia ra nhiều loại, dạng cụ thể
Tuy nhiên trong bài bài viết này chỉ xin nêu một số dạng hết sức cơ bản và quen thuộc
Ý tưởng 8: Vấn đề về nghiệm duy nhất.
Xin minh hoạ qua một số VD điển hình sau đây:
VD 10: Xác định m đề pt sau đây có nghiệm duy nhất: x 1 x 2m x(1x) 2 4 x(1x)m3 (10)
: Điều kiện cần: Ta viết lại pt(10) như sau:
3 4
3 4
1 2 (1 ) 2 (1 )
1 (1 ) 1 2 (1 (1 ))(1 ) 2 (1 (1 ))(1 )
Từ đó ta thấy, nếu x0 là một nghiệm thì 1 – x0 cũng là nghiệm Để pt có no duy nhất thì x0 = 1- x0 x0 1 / 2 Thay x0 = 1/ 2 vào pt ta tìm được m 0; m= 1
: Điều kiện đủ:
*) Với m = 0, ta có pt: x 1 x 24 x(1x) 0 (4 x41x)2 0 x 1 / 2
Do đó m = 0 thoả mãn
*) Với m = -1, ta có pt:
x 1 x 2 x(1x) 2 4 x(1x) 1 (4 x41x)2 ( x 1x)2 0 x 1 / 2
Do đó m = -1 thoả mãn
*) Với m = 1, ta có pt: x 1 x 2 x(1x) 2 4 x(1x) 1
Pt trên có ít nhất 2no là x = 0 và x = 1, nên giá trị m = 1 ko thoả mãn
Kết luận: Giá trị m cần tìm là: m = 0, m = -1.
VD 11: XĐ m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1 7
: Điều kiện cần:
Cách 1: Ta viết lại hpt(11) như sau: 1 7 7 (6 ) 1 (6 )
Ta thấy rằng nếu hệ có no ( x0; y0) thì cũng có no là ( 6-x0; 6-y0)
Để hệ co no duy nhất thì 0 0
6
3 6
Thay vào hệ cho ta m = 4.
Cách 2: Ta thấy rằng nếu hệ có no ( x0; y0) thì cũng có no là (y0; x0) Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0.
Thay vào hệ ta có m 1x0 7x0 (*)
Xét f x( ) 1 x 7x trên 1;7 Lập bảng biến thiên của hàm đó trên đoạn 1;7
Để thoả mãn bài toán thị pt(*) với ẩn x0 phải có duy nhất nghiệm, tức là đồ thì hàm f(x) chỉ có một điểm chung duy nhất với đường thẳng y = m Căn cứ vào bảng biến thiên ta có m = 4
: Điều kiện đủ: Với m = 4, ta có hệ pt: 1 7 4 3
x y
Hệ phương trình trên có thể giải theo các cách sau đây: +) Phương pháp hàm số( Trừ vế với vế)
+) Phương pháp đánh giá( Cộng vế với vế)
+) Phương pháp nhân liên hợp ( Cộng và trừ vế với vế)
Kết luận: Giá trị cần tìm là m = 4.
Trang 8THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
8
Qua VD 11 một câu hỏi khá thú vị sau đây đã được trả lời: Ta biết rằng hệ có no ( x 0; y 0 ) thì cũng có no là ( 6 - x 0 ; 6 - y 0 ) Vấn đề đặt ra là ngoài nghiệm ( 6 - x 0 ; 6 - y 0 ) thì ta còn tìm được nghiệm nào khác nữa hay ko? Và nếu tìm được thì liệu kết quả có khác nhau không?
51. x 2 x 4 x4 2 x m x0; 2-x0 là nghiệm m = 4
52. 1x2 2 13 x2 m x0; -x0 là nghiệm m = 3
( ; ); (x y0 0 y02;x0 là nghiệm2) m 2 6
54.
2
4 3
( ; ); (x y0 0 x y0; )0 là nghiệm m = 1; m = 2
Ý tưởng 9: Vấn đề về tính có nghiệm và nghiệm đúng với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định.
Phương pháp chung là ta thường cô lập tham số ( khi tham số đồng bậc) Xét hàm số nào đó và lập bảng biến
thiên của hàm đó trên điều kiện của bài toán, từ đó suy ra kết quả Việc cô lập tham số phải cẩn thận, nhất là đối với bài toán về bất phương trình
Xin đưa ra một số VD hết sức đơn giản như sau:
VD 12: Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : m x2 (12)2 x m
HƯỚNG DẪN
2
x
Xét hàm số
2
x y
2 2
2 2 2
x
y '
2
2
Giới hạn
xlim y 1
Bảng biến thiên
x 2 2
y’ – 0 + 0 –
y –1 2
1 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+) m 2 m 2: (12) vô nghiệm
+ ) 1 m 1 m 2: (12) có 1 nghiệm
+ ) 2 m 1 1 m 2: (12) có 2 nghiệm phân biệt
VD13: Xác định m để bất phương trình x 1 1 x m (13).
a) Có nghiệm x 1;1
b) Nghiệm đúng x 1;1
Trang 9THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
9
HƯỚNG DẪN
2
f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)
2 1 x
Bảng biến thiên
x –1 0 1
f’(x) + 0 –
f(x) 2
2 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: a) 2 m b) m 2 55 x 1 3 x (x 1)(3 x) m Tìm m đề pt trên có nghiệm t x 1 3 x 1 m 2 56 mx x 3 m 1 Tìm m để bpt trên a) Có no x 3 b) No đúng x 3 Cô lập tham số a) 1 3 4 m ; b) m 0 Để kết thúc bài viết xin giới thiệu một VDvới phương pháp giải ấn tượng: VD 14: Giải phương trình: x2 x (14)5 5 Bài toán trên đã được đề cập đến trong VD 2 mục II và thông thường ta giải bằng cách đặt ẩn phụ rồi đưa về hệ pt quen thuộc Tuy nhiên pt trên có thể giải theo phương pháp ấn tượng sau đây: 2 2 2 2 2 4 5 0 5 5 5 5 5 5 2 5 (14 ) x x x x x x x x a Xét pt(14a): Đặt u = 5 ta có pt: u2 (2x21)u x 4- x=0(*) Ta coi pt(*) là pt bậc hai với ẩn là u và tham số là x Khi đó: pt(*) 2 2 5
Trong cách giải trên ta đã thay đổi vai trò của biến số và hằng số: Ẩn x phải tìm chuyển thành vai trò tham số, còn hằng số 5 chuyển thành vai trò của ẩn số Chính vì sự thú vị đó phương pháp trên còn được gọi là
phương pháp hằng số biến thiên.
59 3
3
68 15
x
2
khá vắn tắt, có tính chọn lọc Tuy nhiên không thể bao quát hết các dạng của chuyên đề Toán học luôn cần sự tìm tòi, khám phá nhằm tìm ra cái mới mẻ Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học sinh.
Lào Cai, ngày 28 tháng 8 năm 2010
Trần Hoài Vũ