Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox.. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH (7,0 điểm )
Câu I :(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3
– 3x2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : − − =
−
2
1
m
x
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 2 os 5 sin 1
12
c π x x
2) Giải hệ phương trình: 2 8
Câu III: (1,0 điểm ) Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
−
+
x
Câu IV :( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 0
60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S=2 x2+ +1 3 y2+16+ z2+36
PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:x − y 2 − = 0 và C 3; 3( − ).Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x + y 2 − = 0,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ( )P : x+y+ − =z 1 0và hai điểm A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2 ( − ) ( − − ) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA−MB đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.a (1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
+
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và
0 6 :
2 x+y− =
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
2 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d 1 : − −
−
, d 2:
2 2 3
y
z t
= −
=
=
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: S =12C20111 +22C20112 +32C20113 + 2010+ 2C20112010+20112C20112011
……….…….Hết
Trang 2http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Trường thpt Chuyờn Vĩnh Phỳc kỳ thi khẢo SÁT đại học năm 2011
Mụn Toỏn 12 -Khối A-Lần thứ 3
Cõ u í Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 y=x − x + . 1,00 T + ập xỏc định: Hàm số cú tập xỏc định D= . +Sự biến thiờn: 2 3 6 y'= x − x. Ta cú 0 0 2 x y' x = = ⇔ = , y > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2 ⇔h/s đồng biến trờn cỏc khoảng (−∞; 0 & 2;) ( +∞) , y < 0 ⇔ 0 < x < 2 ⇔ h/s nghịch biến trờn khoảng (0; 2) 0,25 y CD = y( )0 =2; y CT = y( )2 = −2. Giới hạn 3 3 x x 3 2 lim y lim x 1 x x →±∞ →±∞ = − + = ±∞ 0,25 Bảng biến thiờn: x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
y
2 +∞
−∞ − 2
0,25
+Đồ thị:
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-5
5
x y
0,25
Trang 3Biện luận số nghiệm của phương trình x 2x 2
x 1
− − =
− theo tham số m
1
−
m
phương trình bằng số giao điểm của ( 2 ) ( )
y= x − x− x− , C' và đường thẳng 1
y m, x
0,25
( )
1
f x khi x
f x khi x
>
nờn (C') bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x= 1. + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x =1 qua Ox
Đồ thị hàm số y = (x2−2x−2) x−1 , với x ≠ 1 có dạng như hình vẽ sau
0,25
hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-5
5
x y
0,25
Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m< − 2: Phương trình vô nghiệm;
+ m= − 2: Phương trình có 2 nghiệm kép
+ − < 2 m< 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,25
1
Giải phương trình: 2 2 os 5 sin 1
12
c π x x
1, 0
∑
Trang 4http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
5
12
c π x x
⇔ − + =
0.25
2 cos sin sin
5
π
π π
= +
0,50
2
Giải hệ phương trình: 2 8
1, 0
∑
Điều kiện: x+y>0, x-y≥0
⇔
Đặt: u x y
v x y
= +
= −
⇔
0,25đ
2
3 (2) 2
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv= 0,25đ
Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0
4
uv
u v
=
+ =
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y
=2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2)
0,25đ
III
Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
−
+
x
1, 0
∑
Đặt
2
4 2
4 3
16x
4 x
x 16 v
dv x dx
4
= − =
−
=
0,50
2 4
2
0 0
Gọi H là trung điểm của AB⇒SH⊥AB⇒SH⊥(ABC)
Trang 5( ) ( ) ( ) 0 SAC ; SBC KA; KB 60
⇒ = = ⇒ ∠ AKB = 600∨ ∠ AKB 120 = 0
AKB 60
⇒ ∠ = thì dễ thấy ∆ KABđều ⇒ KA = KB = AB = AC (vô lí)
AKB 120
AKH 60
0
KH
tan 60 2 3
Trong ∆ SHC vuông tại H,đường cao
KH có 1 2 12 12
KH = HC +HS thay KH a
2 3
=
và HC a 3
2
= vào ta được SH a 6
8
=
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S=2 x2+ +1 3 y2+16+ z2+36
1, 0
∑
Ta có: S= ( )2x2+22+ ( )3y2+122+ z2+62Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc
tơ
a = 2x; 2 , b= 3y; 4 , c= z;6
,a+b+c=(2x+3y+z; 2 12 6+ + ) (= 40; 20)
a = 2x +2 , b = 3y +12 , c = z +6
, a b c+ + =20 5
Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :
S=a + b + c ≥ a+b+c
S 20 5
⇒ ≥ .Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ a, b, c cùng hướng
xét hệ điều kiện :2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40 2
x 2, y 8, z 12
Với : x=2, y=8, z=12 thì S=20 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi :
x=2, y=8, z=12
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D 1, 00 Gọi A(t; 3t− +2).Ta có khoảng cách:
−
hay A 3; 7( − )∨A(−1;5).Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A(−1;5)thoả mãn
Gọi D(m; m−2)∈DMthì AD=(m 1; m+ −7 , CD) =(m 3; m 1− + )
Do ABCD là hình vuông
0,25
0,25
Trang 6http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
DA.DC 0
= ∨ = −
=
Hay D(5;3) AB=DC= − −( 2; 6)⇒B(− −3; 1)
Kết luận A(−1;5),B(− −3; 1), D(5;3 )
0,25
0,25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ( )P : x+y+ − =z 1 0…… 1,00 Đặt vt của (P) là:f x; y; z( )=x+y+ − ta có z 1 f x ; y ; z( A A A) (f x ; y ; zB B B)< 0
⇒ A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi '
B đối xứng với B qua (P)
'
B 1; 3; 4
MA−MB = MA−MB ≤AB Đẳng thức xẩy ra khi M, A, B thẳng hàng '
M= P ∩AB.Mặt khác phương trình '
x 1 t
AB : y 3
z 2t
= +
= −
= −
⇒ toạ độ M là
M 2; 3;6
0,25
0,25 0,25
0,25
VII
A Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
+
1,00
Xét khai triển:
0 0
+
+
n 1
+
−
0,25
0,25
0,25 0,25
1 ….cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12… 1,00
Ta có: d1∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
=
=
⇔
=
− +
=
−
−
2 / 3 y
2 / 9 x 0 6 y x
0 3 y x
Vậy
2
3
; 2
9 I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD ⇒M =d1∩Ox
Suy ra M( 3; 0)
0,25đ
Trang 7Ta có: 3 2
2 2
3 2 IM 2
+
−
=
=
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d 1 ⇒d1 ⊥AD
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d 1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có
PT: 1 ( x − 3 ) + 1 ( y − 0 ) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 Lại có: MA =MD = 2
0,25đ
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
= +
−
=
− +
2 y
3 x
0 3 y x
2
±
=
−
−
=
⇔
=
− +
−
+
−
=
⇔
= +
−
+
−
=
⇔
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3 x
3 x y
2 2
2 2
=
=
⇔
1 y
2 x hoặc
−
=
= 1 y
4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ
2
3
; 2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
2 1 3 y y 2 y
7 2 9 x x 2 x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
2 phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 1,00 Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1
( 1; - 1; 2)
và u2
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0) ∈ d1; N( 2; 3; 0) ∈ d2
Xét u u1; 2 MN
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ d1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ d2
1
2
AB u
AB u
=
1 3 ' 0
t t
= −
=
⇒ A 5 4; ; 2
3 3 3
−
; B (2; 3; 0) Đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2
Ta có ∆ :
2
3 5 2
= +
0,25đ
0,25đ
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có
dạng:
0,25đ
VII B
1 x+ =C +C x+C x +C x ++C x (1)
Lấy đạo hàm hai vế( )1 ta được:
2011 1 x+ =C +2xC +3x C ++2011x C
nhân hai vế với x ta được:
0,25
Trang 8http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
2011x 1 x+ =xC +2x C +3x C ++2011x C (2)
Lấy đạo hàm hai vế( )2 ta được
2011 1 x 2010x 1 x
(3)
Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:
( 2010 2009) 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2 +2010.2 =1 C +2 C +3 C +2011 C
Vậy S=2011.2012.22009
0,25
0,25
0,25
