Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Tìm tọa độ điểm C biết ∆ABC vuông tại B, nội tiếp đường tròn C và xB.
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm)
1
x y x
+
=
− có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng
(d): x +2y –3 =0
Câu 2: (2 điểm)
1 Giải phương trình 1 sin 2 s inx os
1 sin 2 s inx cos
2 log ( 2) 2 log ( 4) log ( 6)
Câu 3: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 13và đường thẳng ∆ : x – 5y – 2 = 0 Gọi giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng ∆ là
A, B Tìm tọa độ điểm C biết ∆ABC vuông tại B, nội tiếp đường tròn (C) và xB<0
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1), B(b;0;0), C(0;b;0) (b≠0) và
đường thẳng (d): 3
x− y z
= = Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết rằng mặt phẳng (ABC) song song với đường thẳng (d)
Câu 4: (1 điểm)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ biết A’A = AB = a; AC = 2a, = 60 Gọi M
là giao điểm của A’C và AC’ Tìm thể tích của tứ diện MBB’C’ và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp lăng trụ
Câu 5: (2 điểm)
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x + y2 = 3 và x+ − =y 1 0
2 Cho z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 − +(i 2)z+ =i 0. Tính : 1 2
z z
z + z
Câu 6: (1điểm)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1
1 8a +1 8b +1 8c
-HẾT -
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:………SBD:………
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm)
1 TXĐ: R\{1}
2
2
( 1)
x
− Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞) Giới hạn:
1
1 1
lim
x
x x
±
→
+ = ±∞ ⇒
− đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =1
1 1
1
lim
x
x x
→±∞
+
= ⇒
− đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =1
bảng biến thiên
x -∞ 1 +∞ y’ - -
y
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Gọi (d’) là đường thẳng qua AB
Phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với d có dạng: y=2x+m (d’) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A,B ⟺ 1
2 1
x
x m x
phân biệt ⇔ 2 x2+ ( m − 3) x − − = m 1 0có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
f
∆ >
≠
0,25
Gọi I là trung điểm của AB
3
3 2
2
A B I
I I
x
m
⇒
+
0,25
2
-2
1
-∞
+∞
1
y
www.VNMATH.com
Trang 3Vì AB ⊥(d) nên A đối xứng với B qua (d)⟺ trung điểm của AB thuộc (d)
m
= ⇒ = −
− = ⇔ = ⇒ =
Vậy 2 điểm cần tìm là A(0;-1) và B(2;3)
0,25
2
(2điểm)
1 Điều kiện : sin 2 x ≠ 1
(1) ⇔
2 2
(s inx cos ) s inx cos
s inx cos (s inx cos )
x x
−
Đặt s inx cos
s inx cos
x t
x
+
=
−
3
t
t
=
+ − = ⇔ = −
0,25
⇔
s inx cos
1
os 0
x
x
x
π
+
thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là : 2
1 arctan
2
π
= +
0,5
2 Điều kiện: x> −2;x≠4
2log (x 2) 2 2log x 4 2log (x 6)
log 2(x 2) log x 4 (x 6) 2(x 2) x 4 (x 6)
28
2 7 ( )
x x
=
= −
4 20 0
2 2 6( )
x
= − +
= − −
Vậy phương trình có hai nghiệm là x=2 7;x= − +2 2 6
0,25
3
(2điểm)
1
Giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ
( 1) ( 2) 13
Giải hệ được A(2;0) ; B(-3;-1)
0,25
0,25
Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của (C)
Mà đường tròn (C) có tâm I(-1;2) ⟹ I là trung điểm của AC Suy ra C(-4;4)
0,5
2
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng : x y z 1
Trang 4Vì (ABC) đi qua A(1;1;1)⟹ 2 1
1
b+ =c
Mặt phẳng (P) có vtpt 1 1 1
( ; ; )
n
b b c
Đường thẳng (d) có vtcp u(2;1;3)
(d)//(P)
2 1 3
1 1 0
0 0
3 (3;0;0) ( ), ( )
3 1
b c
b b
0,25
Ta có hệ :
2 1
1
1
1 1
3 3
c
b c
b b
+ =
=
+ = ⇔ = −
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : x+ − − =y z 1 0
0,25
4
(1điểm)
+)Tính VMBB’C’
'
2 0
.sin 60
ABC
a
Vậy
' '
MBB C
0,25
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:
2 os60 3
BC = AB +AC − AB ACc = a
Suy ra AC2 =BC2 +AB2⇒ ∆ABC vuông tại B
0,25
M
C
B A
C'
B' A'
www.VNMATH.com
Trang 5Ta có MA =MB =MC =MA’ =MB’ =MC’
Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
AC a
0,25
5
(2điểm)
1 Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
2
y
y
= −
− = − ⇔ =
0,25
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x + y2 = 3 và
1 0
x+ − =y là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
2
x= −y x= − +y 1và hai đường thẳng y=-1; y=2
2
2 1
(3 ) (1 )
−
0,25
2 1
9
y
−
0,5
2
Theo định lý viet ta có: 1 2
1 2
2
z z i
z z i
+ = +
=
0,25
2
+
( )2
2 3
i
Vậy 1 2
z z
i
6
(1điểm) Với mọi x,y > 1 ta có : 2 2
1
1 x +1 y ≥ xy
+
thật vậy
1
1 x +1 y ≥ xy ⇔ +x + y +xy ≥ +x + y
+
2
(xy 1)(x y) 0
⇔ − − ≥ luôn đúng với mọi x,y >1 dấu bằng xảy ra khi x =y
0,25
0,25
Vì a,b,c dương nên 8 ,8 ,8a b cđều lớn hơn 1.Áp dụng kết quả trên ta có:
1 2
1 8a +1 8b +1 8c + ≥1 8a b+ +1 2.8c
+
3
1 8a b+ 8 2c
+ +
1
1 8a 1 8b 1 8c
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a =b =c =1
3
0,25
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa