Bài giảng toán ứng dụng: Phương pháp tính docx

Chương 1: Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạChương 2: Hàm số và Ma trận Chương 3: Đại số Boole Chương 4: Tính toán và Xác suất Chương 5: Phương pháp tính THI CUỐI MÔN... Giải gần đúng các phương

Chương 1: Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạ

Chương 2: Hàm số và Ma trận

Chương 3: Đại số Boole

Chương 4: Tính toán và Xác suất

Chương 5: Phương pháp tính

THI CUỐI MÔN

I Số xấp xỉ và sai số

II Giải gần đúng các phương trình

III Đa thức nội suy

IV Phương pháp bình phương cực

tiểu

Nắm rõ các khái niệm về số xấp xỉ và sai số

Sử dụng thành thạo các phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của các phương trình

Làm được các bài tập cơ bản tiến tới các bài toán nâng cao

Định nghĩa số xấp xỉ

Các định nghĩa sai số tuyệt đối

Sai số tương đối

1 Số xấp xỉ

Định nghĩa 1:a gọi là số xấp xỉ của số đúng A nếu a khác A không đáng kể

Ký hiệu: a ≈ A Nếu a < A thì a gọi là xấp xỉ thiếu của A Nếu a >A thì a gọi là xấp xỉ thừa của A

Ví dụ: Vì 3.14<∏<3.15 nên 3.14 là xấp xỉ thiếu của ∏ và 3.15 là xấp

xỉ thừa của ∏

Định nghĩa 2: Hiệu Δ= |Δa|= |a - A| gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a

Định nghĩa 3: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a

Gọi Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a thì:

Δ= |Δa|= |a - A| ≤ Δa Suy ra a - Δa ≤A ≤ a + Δa Quy ước: A=a± Δa

Ví dụ: Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a=3.14 thay cho số ∏

3 Sai số tương đối

Định nghĩa 4: Sai số tương đối của số xấp xỉ a, ký hiệu là δ là

δ = Δ/|A|=|A-a|/|A|

Định nghĩa 5: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, ký hiệu là δa là số được xác định như sau:

δa = Δa /|a|

Phương pháp tiếp tuyến(Niu-tơn)

Phương pháp phối hợp

Trước khi dùng 3 phương pháp trên để giải pt f(x)=0 cần cô lập

nghiệm, tức là tìm các đoạn [a,b] thỏa mãn:

 f(a) và f(b) trái dấu (1)

 f’(x) không đổi dấu trong (a,b) (2)

 f’’(x) không đổi dấu trong (a,b) (3)

Lưu ý: Nếu tìm được [a,b] sao cho f(a),f(b) traí dấu nhưng

f’(x),f’’(x) có dấu thay đổi thì trong (a,b) ta sẽ thu hẹp

khoảng đó lại thành khoảng (c,d) (a<c<d<b) sao cho

• f(c),f(d) trái dấu

• f’(x) không đổi dấu trong (c,d)

• f’’(x) không đổi dấu trong (c,d)

Giả sử đã tìm được khoảng (a,b) thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0

nghĩa là f(a).f(b)<0

và

Thì f’(x).f’’(x) giữ̃ nguyên một dấu

Nội dung :Trong [a,b] thay đường cong y=f(x) bởi dây

cung của nó nghĩa là xem nghiệm gần đúng của f(x)=0

trùng với hoành độ giao điểm của dây cung nối 2

điểm A(a,f(a)),B(b,f(b)) với trục Ox

Trong đó có thế lấy là a(hoặc b) thì d sẽ là b(hoặc a)

Vì dây cung cắt trục hoành tại điểm nên ta được: ( ,0) x 1

Để nhận được nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên đối với

khoảng , ta thu được:

Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:

Sự hội tụ của phương pháp: Dãy sẽ dần đến nghiệm đúng của phương trình f(x)=0 nếu chọn sao cho f’’(x) và khác dấu nhau, tức là

1

1

( ) ( ) ( )

Ví dụ: Tìm nghiệm đúng của phương trình f(x)=x 3 -6x+2=0

Tách nghiệm:bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x 3

-6x+2 ta suy ra các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiệm của

pt.

f’(x)=3x 2 -6

f’’(x)=6x

giữ nguyên dấu trong các khoảng trên

Các điều kiện (1)-(3) thỏa mãn Ta tìm nghiệm gần đúng của

phương trình trong khoảng [0,1]

Trong (0,1) thì f’’(x)>0 nên chọn x0=1 vì f(1)<0 và d =0

Theo công thức (4) ta có:

Để nhận nghiệm chính xác hơn,ta lặp lại quá trình trên với [0, 0.4]

Vì f(0.4)=-0.336 và f(0)=2 nên x1=0.4 và d=0

2

0 0.4 0.4 ( 0.336) 0.3424

 2 Phương pháp tiếp tuyến:

Giả sử đã tìm được khoảng [a,b] thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0

Nội dung :Trong [a,b] thay cung cong AB của đường cong

y=f(x) bởi tiếp tuyến của nó tại điểm A hoặc tại điểm B và

xem hoành độ x 1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục

hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng

Giả sử chon x 0 =a thì tại A(x 0 ,f(x 0 )), phương trình tiếp tuyến

với đường cong y=f(x) tại A là:

Vì tiếp tuyến cắt Ox tại (x 1 ,0) nên :

Để tìm nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên với

Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận

được:

1

( ) ( )

Hình 1: f’’< 0,f’ > 0

Hình 2: f’’>0,f’<0

Hình 4: f’’<0,f’<0

và TH 1) hoặc tại mút bên phải (TH3 và TH4) thì giao

điểm của tiếp tuyến với trục hoành sẽ gần nghiệm hơn

Nếu kẻ tiếp tuyến với đường cong tại các mút khác của

cung thì giao điểm của tiếp tuyến và trục hoành có thể nằm

ngoài khoảng nghiệm

Tóm lại do f’’(x) không đổi dấu với mọi x thuộc

Sự hội tụ của phương pháp:

Nếu chọn x 0 thỏa thì ta thu được

dãy x 0 ,x 1 ,… hội tụ tới nghiệm đúng của phương trình

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

f(x)= x 3 -6x+2=0

trong khoảng [0,1]

Ta có: f’(x)=3x 2 -6, f’(0)=-6

f’’(x)=6x>0 với mọi x thuộc [0,1]

Theo (5) ta chọn x 0 =0 vì f(0)=2>0 cùng dấu với f’’(x)

Áp dụng công thức của phương pháp tiếp tuyến ta được:

f’’(x).f(x0) >0 (5)

Áp dụng công thức một lần nữa, thay x0=x1 ta có:

1

2 1 0

6 3



2 1



f(x)=5x3-20x+3=0 trong khoảng [0,1]

Bài tập:

Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm gần đúng của các

phương trình sau:

a x3+3x+5=0

b x4-3x+1=0

c x3 + x - 5 = 0

d x3 - x - 1 = 0

3.Phương pháp phối hợp:

Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của pt f(x)=0

nghĩa là (a,b) thỏa mãn các điều kiện (1)-(3)

Nội dung:

Áp dụng phương pháp dây cung cho nghiệm gần

đúng x 1 còn tiếp tuyến cho nghiệm gần đúng x 1’

thì x 1 và x 1’ sẽ nằm về hai phía của nghiệm.(hình

5) Vì vậy khoảng phân ly nghiệm sẽ thu hẹp

nhanh hơn.

đoạn [x 1’ , x 1 ]

Ta được [x 2’ , x 2 ].

L.ai tiếp tục cho đến khi hiệu số giữa hai nghiệm

gần đúng bên trái và bên phải có trị tuyệt đối bé

hơn sai số cho phép thì dừng.

Nghiệm gần đúng là trung bình cộng của chúng

Hình 5:f’’<0,f’>0

0.01 bằng phương pháp phối hợp

Bằng phương pháp tiếp tuyến: (bên trái)

Dây cung (bên phải):

x 

Chưa đạt sai số yêu cầu nên phải tiếp tục tính (1/3,0.4) là

khoảng chứa nghiệm mới

Phương pháp tiếp tuyến: Do f’’(x)>0,f(1/3)=1/27>0 nên

chọn x1’=1/3.Khi đó

Phương pháp dây cung: f(0.4)=-0.336<0 nên chọn x1=0.4,

0.3398 17

1 ( ) ( ) 0.336

đạt sai số yêu cầu Vậy nghiệm gần đúng của pt là:

Ví du: Tìm một nghiệm của pt: x.ex-2=0 với đô chính xác đến

0.01 bằng phương phap` hỗn hợp

Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến

khảo sát và tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó Tuy nhiên

trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu

thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y0,

y1, , yn tại các điểm tương ứng x0, x1, , xn

Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các

điểm còn lại

Ta phải xây dựng hàm ϕ (x) sao cho:

ϕ (xi) = yi = f (xi) với i = 0,1,…,n

ϕ (x) ≈ f (x) với mọi x thuộc [a, b] và x ≠ xi

Bài toán xây dựng hàm ϕ (x) gọi là bài toán nội suy

Hàm ϕ (x) gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]

Các điểm x i (i = 0,1,…,n) gọi là các mốc nội suy

Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp

đã xác định được biểu thức của f(x) nhưng nó quá

phức tạp trong việc khảo sát, tính toán Khi đó ta

tìm hàm nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân

tích và khảo sát hơn Trong trường hợp đó ta chọn

n+1 điểm bất kỳ làm mốc nội suy và tính giá trị

tại các điểm đó, từ đó xây dựng được hàm nội

suy (bằng công thức Lagrange, công thức

Newton,…)

giá trị hàm tại mốc nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo

2.Tính giá trị của đa thức:sơ đồ Hoóc-ne

Cho đa thức bậc n:

Với hệ số thực ak (k = 0, 1, 2, …, n), cần tính giá trị của đa thức

Để tiện tính toán, người ta thường dùng sơ đồ sau, gọi là sơ đồ

3.Đa thức nội suy Lagrange

Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi( i =0,1,…,n

), khi đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n

và được xác định theo công thức sau:

Vi du: Cho hàm f(x) thoả mãn:

Tìm hàm nội suy của f(x), tính f(5)

W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8

W’(1) = 1 (-1) (-3) = 3 W’(2) = 2 (1) (-2) = -4 W’(4) = 4 (3) (2) = 24

1 ( 4)(4 6 2)

Ví dụ2:Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn

W(x) = x (x - 2) (x - 4)

W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = 8

W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4

W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = 8

1 {5( 2)( 4) 4 ( 4) ( 2)}

8 x x x x x x

      

2

1 (10 48 40)

4 Đa thức nội suy Newton:

Sai phân:

Cho hàm f(x) và h là hằng số, khi đó:

Gọi là sai phân cấp 1 đối với bước h gọi là sai phân cấp 2

gọi là sai phân cấp k

∆f(x) = f (x + h) - f(x)

∆2f(x) = ∆[∆f(x)]

∆kf(x) = ∆[∆k-1 f(x)]

Công thức nội suy Newton:

Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các mốc xi(i=0,2,…,n) cách

đều một khoảng h Khi đó hàm nội suy Newton là một đa

thức bậc n được xác định như sau:

Lập bảng sai phân

Hàm nội suy Newton

số giữa hai đại lượng x,y Ta tiến hành thí nghiệm,quan sát

rồi đo đạcvà nhận được bảng các giá trị tương ứng sau:

Từ bảng trên ta tìm hàm y=f(x) Để đơn giản ta chỉ xét trường

hợp hàm số có dạng:

Y=ax+b

Trong đó a,b được xác định bằng phương pháp BPCT như sau:

Vì các cặp (xi,yi) chỉ là các giá trị xấp xỉ của x,y nên húng không hoàn

toàn nghiệm đúng phương trình y=ax+b, nghĩa là:

Trong đó là các sai số

phương của các sai số nói trên là bé nhất, tức là:

là bé nhất Như vậy, a,b phải thỏa mãn:

2 1

i i i

n

i i

Ví du: Cho bảng các giá trị sau:

Tìm công thức thực nghiệm có dạng y=ax+b

1 2 4 6 8 10 12

7 6

i i

x x

n

i i

y y

x y





Bài 1: Dùng sơ đồ Hooc-ne, tính giá trị của:

Tại x=-1.5

Bài 2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y=f(x)

cho dưới dạng bảng sau:

Bài 3:Dùng phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng của

http://ispace.edu.vn