Học sinh cần xác định đúng dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu để từ đó phán đoán kết quả giới hạn cần tìm.. Chú ý đối với giới hạn dạng của hàm số có chứa căn thức ta
Trang 1*) x x > 0 x x x 2, 4x 4
Khi đó :
2
3
+
5
5 4
5
3
5 4
9
9 0 3
2
16 0 3
16x 3 1 7
x
x
16
x
Khi đó ta có :
2 2
4
4 4
2 2
3
3
5
1 x x
3 x x
9x 1 1 4
9
x x
1 7
x x
4
3
3 4
5 x
1 x 3 x
1 4 9
9 0 3
x x
2
1 7 16 0 16
x x
lim
Vì +
L L nên ta có : L26 3
2
Kết luận :
So với dạng vô định 0
0, dạng vô định
“dễ tìm” hơn Học sinh cần xác
định đúng dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu để từ đó phán đoán kết quả giới hạn cần tìm Chú ý đối với giới hạn dạng
của hàm số có chứa
căn thức ta không nhân liên hợp Đây là điểm khác biệt cân phân biệt để tránh nhầm lẫn
Với giới hạn khi x, cần lưu ý hai khả năng x và x
trong phép lấy giới hạn có chứa căn bậc chẵn Nếu học sinh không để ý đến vấn
đề này thì rất dễ mắc phải sai lầm Hơn nữa trường hợp này còn liên quan tới bài toán tìm tiệm cận của hàm số chứa căn thức
Bài tập tự luyện
1)
x
2x 3 4x+7 lim
3x 1 10x 9
50 x
(2x 3) (3x+2) lim
(2x+1)
Trang 23)
n+1 x
(x+1)(x 1) (x 1) lim
(nx) 1
4)
2
x 2x 3x lim
4x 4 x+2
5)
3
4
x 1 x 2 lim
x 1 x 2
3
x
ln(1 x x ) lim
ln(1 x x )
Dạng tổng quát của giới hạn này là :
0
x x
(x )
lim f(x) g(x)
trong đó
lim f(x) lim f(x)
Phương pháp chủ yếu để khử dạng vô định này là biến đổi chúng về dạng
vô định 0,
0
bằng cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt, …
Ví dụ áp dụng :
27 x
L lim x x x
Bài giải :
2
( x x x)( x x +x)
L lim x x x
x x +x
lim
x
x x +x x x +x
lim lim
Vì x nên chia cả tử và mẫu cho x ta có :
2
2 1
x
x
Vậy L27 1
2
Trong ví dụ này, bằng cách nhân liên hợp, ta đã chuyển giới hạn cần tìm
từ dạng sang dạng
Trang 3Ví dụ 28 : 28
x
L lim x+ x x
Bài giải :
2
x
Vậy L28 1
2
29 x
L lim x x 3 x
hợp x và x
+) Khi x thì :
x x 3 x x 3x
xlim x x 3 x
+) Khi x thì giới hạn có dạng Ta khử bằng cách nhân liên hợp bình thường
2
( x x 3 x)( x x 3 x) lim x x 3 x lim
x x 3 x
3 1
1
x x
Khi x thì x < 0, do đó x x2
Trang 4x 2 x
2
1
x
xlim x x 3 x
, 2
x
1 lim x x 3 x
2
Qua ví dụ này một lần nữa nhấn mạnh cho học sinh chú ý với giới hạn khi
x cần xét x và x đối với hàm số chứa căn thức bậc chẵn
30 x
L lim x 3x x 2x
Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không
cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp
L lim x 3x x 2x lim ( x 3x x ( x 2x x)
3
lim x 3x x lim x 2x x G G
+)
2 1
3
x 3x G
x 3x x x 3x x
x lim x 3x x lim
1 3
x
+)
2 2
2
2
1 2 2
x 2x x
x x
Vậy L30 = G1 - G2 = 2
Bài giải :
Trang 531 m n m n
+)
m 1 m (1 x x x )
m
x 1
(1 x) (1 x ) (1 x ) lim
1 x
m 2
m 1
x 1
(1 x) 1 (1 x) (1 x x ) lim
(1 x)(1 x x )
m 2
m 1
x 1
1 (1 x) (1 x x ) 1 2 m 1 m 1 lim
Tương tự ta tính được G2 n 1
2
Vậy L31 G1 G2 m 1 n 1 m n
Trong bài tập này ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm thành hai giới hạn và tính các giới hạn này bằng cách biến đổi về dạng 0
0 Việc thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm từng bài
Kết luận :
Đối với dạng vô định , ta phải tuỳ vào đặc điểm từng bài mà vận dụng linh hoạt các kỹ năng thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để biến đổi và khử dạng vô định Ta thường chuyển chúng về các dạng vô định dễ tính hơn là 0
0 ,
Bài tập tự luyện
1)
x
lim x 1 x
Trang 65) xlim ln(5x 8) ln(3x 5)
Dạng tổng quát của giới hạn này là :
0
x ( x x )
lim f (x).g(x)
trong đó
( x x ) ( x x )
lim f (x) 0, lim g(x)
Để khử dạng vô định này, ta thường tìm cách chuyển chúng về dạng giới hạn khác dễ tình hơn như 0
0 ,
bằng cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến …
Ví dụ áp dụng :
32 x
L lim x x 5 x
Bài giải : Ta khử dạng vô định này bằng cách nhân liên hợp để
đưa về dạng vô định
2
Trang 7
x
x x > 0 x x2
Do đó :
2
2
2 5
x 5 x
x x
Vậy L32 5
2
x 1
x
L lim(1 x)tg
2
Bài giải : Đặt t 1 x ta có :
x 1 t 0
33
t
Vậy L33 2
Bài tập tự luyện
xlim x 4x 9 2x
x
lim x 3x 5 3x 2
x
lim x 4x 5 8x 1
4
lim tg2x.tg x
4
x a
x
2a
x
lim x e e 2
Trang 8
0
g( x )
xlim f (x)x
xlim f (x) 1, lim g(x)x x x
Hai giới hạn cơ bản thường được sử dụng khi tính giới hạn dạng vô định 1 là :
+)
x x
1 lim 1
x e
(1)
+) 1x
xlim 1 x e (2)
Trong quá trình vận dụng, học sinh biến đổi về dạng
0
x x
f(x)
1 lim 1
0
xlim f (x)x
0
1 g( x )
xlim 1 g(x)x e
0
xlim g(x)x 0
Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào tính liên tục của hàm số mũ)
“ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn các điều kiện :
1)
0
xlim f (x)x a 0
2)
0
xlim g(x)x b
0
g( x ) b
xlim f (x)x a
Hai giới hạn cơ bản và mệnh đề trên là cơ sở để tính các giới hạn dạng vô định 1
Ví dụ áp dụng
x
34 x 0
L lim 1+ sin2x
Bài giải :
sin 2x
.
Trang 9Ta có : 1
sin 2x
xlim 1+ sin2x 0 e
sin 2x sin 2x
sin 2x
2 sin 2x
34
x 0
Ví dụ 5 :
4 3x
35 x
x 1
Bài giải : Để sử dụng giới hạn cơ bản ta biến đổi :
1
4 3x ( x 2).
4 3x
( x 2)
( x 2)
x
1
4 3
2
x
nên L35 e3
Bài 36 :
tg 2 y 4
36 t 0
L lim tg y
4
Ta có :
2
1 tg y tg2 y
2tgy 4
36
1 tgy
2 2
2tgy 1 tg y
Trang 10Vì
1 tgy 2tgy
y 0
2tgy
1 tgy
2tgy 1 tg y
36
L e
Kết luận :
Với dạng vô định 1, việc nhận dạng không khó khăn đối với học sinh Tuy nhiên, để làm đƣợc bài tập, học sinh phải vận dụng tốt các kỹ năng để đƣa các giới hạn cần tìm về một trong hai giới hạn cơ bản (1) và (2) Hai kỹ năng chủ yếu đƣợc sử dụng là đổi biến và thêm bớt
Bài tập tự luyện
1) 2cot g x 2
x 0
lim 1 x
1 sin x
x 0
1 tgx lim
1 sin x
3)
2
x 2 2 x
x 3 lim
x 2
x 1
lim 1 sin x
1 x
x 0
lim(cos 2x)
x x
lim sin cos