1 ñiểm Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y e lnx x = − , trục hoành và ñường thẳng x=1 Câu IV.. Biết AE vuông góc với
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO HÀ NỘI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2011 (Lần 2)
TRƯỜNG THPT TRUNG GIÃ Môn thi: TOÁN (Ngày thi: 27 – 02 - 2011)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể phát ñề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm)
Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2 2
2
x y x
+
=
− (H)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (H)
2 Gọi M là một ñiểm tùy ý trên (H) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M luôn cắt hai ñường tiệm cận của (H) tạo thành một tam giác có diện tích không ñổi
Câu II (2 ñiểm)
1 Giải phương trình lượng giác: sin sin 5 8 cos cos 3
sin 3 sin
+ + − − =
− − − + + =
Câu III (1 ñiểm) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn
bởi ñồ thị hàm số y e lnx
x
= − , trục hoành và ñường thẳng x=1
Câu IV (1 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD ñều cạnh a Gọi O là trung ñiểm BD, E là ñiểm ñối xứng với C qua O Biết AE vuông góc với mặt phẳng (ABD) và khoảng cách giữa AE và BD bằng 3
4
a
Tính
thể tích tứ diện ABCD cùng tang của góc giữa AC và mặt phẳng (BCD)
Câu V (1 ñiểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương có tổng bằng 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2011
PHẦN RIÊNG (3 ñiểm): Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có A(4; - 2), phương trình ñường cao kẻ từ C và
ñường trung trực của BC lần lượt là x – y + 2 = 0; 3x + 4y – 2 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh B và C
2 Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng : 1 1 2
(P): 2x – y – 2z + 3 = 0 Gọi d là ñường thẳng cắt ∆ tại I và vuông góc với (P) Viết phương trình tham số của ñường thẳng d biết khoảng cách từ I ñến (P) bằng 3
Câu VII.a (1 ñiểm) Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng tọa ñộ biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
(2−z) ( )i+z là số thuần ảo
PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp (C): x2 + y2 = 2 Tìm tọa
ñộ 3 ñỉnh của tam giác biết ñiểm A thuộc tia Ox
2 Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng d: 1 2
x− = =y z+
− và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 2 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M trên d có khoảng cách ñến trục hoành gấp 2 lần khoảng cách ñến mặt phẳng (P)
Câu VII.b (1 ñiểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực: log 2(2 2 1) 2
9.2 4.3 2 3 36
x
x y x y
-Hết - Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ðẠI HỌC MÔN TOÁN (4 trang)
Ngày thi: 27 – 02 – 2011
I
1
ñiểm
1 TXð: R\{2}
6 '
2
y
x
−
=
− < 0 Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh
Tính các giới hạn:
x y x +y x −y
ðồ thị hàm số nhận ñường thẳng x = 2 là tiệm cận ñứng, y = 2 là tiệm cận ngang
ðồ thị hàm số nhận I(2; 2) là tâm ñối xứng
ðồ thị hàm số ñi qua A(- 1; 0), B(0; - 1)
¼
¼
½
1
ñiểm
2
0 0
; 2
x
x
−
phương trình tiếp tuyến tại M là:
0 0
6
2 2
x
x x
+
−
−
− Giao của tiếp tuyến với tiệm cận ñứng: x = 2 là
2;
2
x A x
Giao của tiếp tuyến với tiệm cận ngang: y = 2 là B(2x0−2; 2)
Giao của 2 ñường tiệm cận là I( )2; 2
Tính ñược
0
12 2
IA x
=
− ; IB=2 x0−2 Do ñó: 1 12
2
AIB
¼
¼
¼
¼
II
1
ñiểm
1 ðiều kiện: sin 3x≠0; sinx≠ ⇔0 sin 3x≠0
Phương trình tương ñương: 2
sin x+sin 5 sin 3x x=2 sin 6 sin 2x x
1 cos 2 cos 2 cos 8
cos 4 cos 8 2
2
1 2 cos 4x cos 8x 2 cos 4x 2 cos 4x 0
¼
¼
Trang 3( )
cos 4 0 cos 4 0 cos 4 0
cos 4 1 sin 2 0
x
x
=
2
l x
= +
⇔
= +
(thỏa mãn)
l
Z Z là nghiệm của phương trình
Chú ý: Thí sinh không kết hợp ñiều kiện ñể loại nghiệm thì trừ 0.25
¼
¼
1
ñiểm
2
ðặt
2 2
3
Khi ñó hệ ban ñầu trở thành:
( )
2 2
+ =
− − + =
trình (*) giải tìm ñược u = 1, từ ñó v = 2 suy ra x = - 3, y = 2
Kết luận nghiệm là (- 3; 2)
¼
¼
½ III
1
ñiểm
Giải phương trình e lnx 0
x− = ñược nghiệm x = e
Vậy
2
ln
2
Chú ý: Thí sinh không chứng minh ñược phương trình có nghiệm x = e thì trừ 0.25
¼
¾
IV
1
ñiểm
D O
B
E
C
A
H
2
a
CO= , BD ⊥ (ACE)
Chứng minh ñược khoảng cách giữa AE và BD là AO = 3
4
a
Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD) thì H nằm trên CE
Tam giác AOE vuông tại A có:
2 2
8
AH
EO
Vậy VABCD =
3
a
Có: CE = a 3, 3
8
a
8
a CH
⇒ = Từ ∆ vuông ACH có tan C = 3
7
AH
¼
¼
¼
¼
Trang 4V
1
ñiểm
2
≥ + − − +
thế y + z = 3 – x vào ta ñược
( )
3 2
P≥ − +x x − x+ = f x
Khảo sát hàm f trên (0; 3) ta tìm ñược Min f x(0;3) ( )= f ( )2 =2000
P = 2000 khi x = 2; y = z = 1
2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2000
¼
¼
¼
¼ VI.a
1
ñiểm
1 AB qua A vuông góc với ñường cao kẻ từ C có phương trình: x + y – 2 = 0
Gọi B(b; 2 – b) thuộc AB, C(c; c + 2) thuộc ñường cao kẻ từ C
Tọa ñộ trung ñiểm của BC là ;4
Vì M thuộc trung trực BC nên
3 b c+ +4 4− + − = ⇔ − + + =b c 4 0 b 7c 12 0 1
BC= −c b c b+
là 1 VTPT của trung trực BC nên 4(c – b) = 3(c +b) hay c = 7b (2)
Từ (1) và (2) suy ra c = - 7
4; b =
1 4
− Vậy 1 9; ; 7 1;
¼
¼
¼
¼
1
ñiểm
2 Lấy I(- 1 + 2t; 1 + 3t; 2 + t) ∈ ∆
13 3
t
t
Với t = 5 thì I(9; 16; 7) suy ra d:
9 2 16
7 2
= +
= −
= −
Với t = - 13 thì I(- 27; - 38; - 11) suy ra d:
27 2 38
11 2
= − +
= − −
= − −
½
¼
¼
VII.a
1
ñiểm
Gọi số phức cần tìm z = x + yi, với x, y là số thực và M(x; y) biểu diễn cho số phức z Có: (2−z) ( )i+z =(2− −x yi i)( + −x yi) (= −2 x x) +y(1− +y) ( 2−x)(1− −y) xy i
Do (2−z) ( )i+z là số thuần ảo nên
− + − = ⇔ − + − =
Vậy M nằm trên ñường tròn tâm 1;1
2
bán kính
5 2
½
½
VI.b
1
ñiểm
1 - Tọa ñộ A là giao của tia Ox và ñường tròn tâm O bán kính bằng 2 Giải tìm ñược
A(2; 0)
- Hai tiếp tuyến kẻ từ A ñến ñường tròn lần lượt có pt: x + y – 2 = 0 và x – y – 2 = 0
- Vì tam giác ABC vuông cân nên cạnh BC tiếp xúc với ñường tròn tại trung ñiểm M
của BC, ñiểm M là giao của tia ñối tia Ox với ñường tròn Giải tìm ñược M(- 2 ; 0)
- Phương trình cạnh BC là x = - 2
- Giao của BC với 2 tiếp tuyến là B và C Giải tìm ñược tọa ñộ 2 ñiểm B và C là (-
2; 2+ 2) và (− 2; 2− − 2)
¼
¼
¼
¼
2 Có M(1 + 2t; t; - 2 – 3t)
Trang 51
ñiểm
d(M; Ox) = OM∧i= ( )2 2
2 3t+ +t
+ + − − − = + Có: d(M; Ox) = 2 d(M; (P)) hay 9(10t2 + 12t + 4) = 2(t2 + 8t + 16) Giải ñược
½
½ VII.b
1
ñiểm
- Từ phương trình 2 giải ñược x = 2 hoặc y = 2 thế vào phương trình 1 có 2 trường hợp:
- Với x = 2 giải tìm ñược y = ½
- Với y = 2 giải vô nghiệm Kết luận: (2; ½) là nghiệm của hệ
½
¼
¼
Chú ý: Các cách giải khác ñúng vẫn ñạt ñiểm tối ña
Trang 6
Giải phương trình sau trên tập số phức: 3 ( ) 2
z − +i z + iz+ − =i
+ + − − =
− − − + + =
3 Trong không gian tọa ựộ Oxyz cho ựường thẳng d: 1 2
x− = =y z+
− và mặt phẳng (P): 2x + y + z Ờ 2 = 0 cắt nhau tại I Gọi dỖ là ựường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với
d Tìm tọa ựộ của ựiểm I và viết phương trình ựường thẳng dỖ biết khoảng cách từ I ựến dỖ bằng 30 I(3; 1; - 5); dỖ:
3 Tìm m ựể ựường thẳng y = mx Ờ 1 cắt (H) tại 2 ựiểm A, B (xA < xB) thỏa mãn OB= 73.OA đ/s: m
= 3 (A(0;-1), B(3; 8))
Cho hình chóp S.ABCD có ựáy là nửa lục giác ựều, AD = AB = BC = a, CD = 2a Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tắnh thể tắch khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa AD và SC bằng a 2
Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 4 1
P
− − +
=
− + + + (giỏi vĩnh phúc 2010)
3
4 đáp số bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có ựáy là hình thang cân AB = a, CD = 2a, AD = BC = 10
2
a
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tắnh thể tắch khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai ựường thẳng BD và SC
3
+ + − − =
− − − + + =
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !