Ta phân chia hình phẳng đố thành các hình thang cong, tam giác cong theo các đường đi qua giao điểm , vuông góc với trục quay , và tình thể tích của từng hình thang cong , tam giác con
Trang 1http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 1
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 1) DẠNG 1:
Hình phẳng
( )
:
y f x
S x a
x b a b
=
ì
ï
=
í
ï =
quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :
( ) 2
b
a
V= pò f x dx
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : y=xln ,x y=0,x=1; x= e
Giải :Ta có thê tích vật thể là :
V=pò x x dx= pò x x dx
Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần
3
2
2 ln
ln
3
dx
x
dv x dx v
ì
=
ï
ì =
Þ
=
ï
î
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có :
( )
1
e
Tiếp tục PP từng phân ta có :
Đặt :
1
1
1
1
ln
3
dx
du
v
ì
=
ï
=
Þ
=
ï
î
Vậy :
2
1
1
e
e
3
5 3
Ví dụ 2:
2
3 2 :
0
y x x
S
y
ì = - +
í
=
î
quay quanh trục Ox
( Dạng 1 , nhưng khuyết x = a và x = b )
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành : 2 3 2 0 1
2
x
x x
x
=
é
- + = Û ê =
ë
2
V=pò x - x+ dx=pò x + x + - x + x - x dx
1
1
3 11
x
ò
Bài tâp : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox
3
c) 1 sin4 cos4 , 0; ,
2
p
= + + = = = d) y=xe yx , =0,x=0,x =1
Trang 2Hình phẳng
( ) ( )
:
y f x
y g x
S
x a
x b a b
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï =
( trong đó đó đồ thị hai hàm số y= f x( ) , y= g x ( ) nằm về cùng một phía đối
với trục quay ox ) quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :
( ) 2 ( ) 2
b
a
V=pò f x - g x dx Nếu trên khoảng (a ; b) hai đồ thị không cắt nhau, và y= f x ( ) nằm ngoài y= g x ( ) so với trục quay Ox, thì công thức trên trở thành : ( ) 2 ( ) 2
b
a
V=p éf x - g x ù dx
ò
2
2
4 6
2 6
ì = - +
ï
í
= - - +
ï
î
( Dạng 2 , khuyết a, b )
Giải : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị 2 2 0
1
x
x
=
é
- + = - - + Û ê =
ë Trên đoạn [0;1], ta thấy ( ) 2 ( ) 2
f x = -x - x+ fg x =x - x + f
Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y= f x ( ) nằm ngoài y= g x ( ) so với trục ox.
1
0
V=p é -x - x+ - x - x+ ù dx
ò
Dễ dàng tính được : V= 3 p
2
2
1
1
2
y
x
x
y
ì
=
í
ï =
ï
î
Giải : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
2
4 2
2
1
1
2 0
1
1 2
x
x
x x
x
x
= -
é
Trên đoạn [ ] ( ) ( )
2
2
1
x
x
( muốn biết hàm số nào lớn hơn ta thử 1 giá trị bất kì của x trong khoảng (1;1) , ở đây ta thử x = 0 thì
( ) 0 1 ( ) 0 0
f = f g = )
Vậy ta có :
2
2
2
1
ææ ö æ ö ö
* Tính :
1 4 5
1
1 1
1
-
-
ò
* Tính :
1
2
2
1 1
dx
B
x
-
=
+
ò
Đặt x= tan t với ;
2 2
t æ p pö
Î - ç ÷
è ø suy ra : 2
1 cos
x
=
1
4
= - Þ = - , 1
4
= Þ =
Trang 3http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 3
Vậy
2
2
1
2
1 tan cos
dt
+
4
t
t
p
p p
-
= ç + ÷- = ç + ÷
Bài tập : Tính V khi quay hình sau quanh Ox
y= -x y=x +
2) y=x y2 , = x
3) DẠNG 3: HÌnh phẳng
( ) ( )
y f x
y f x
S
x a
x b
=
ì
ï
= -
ï
í
=
ï
ï =
î
quay quanh trục Ox.
Khi đó công thức thể tích là : ( ) 2
b
a
V= pò f x dx Nhận xét : Một số đường cong ( đường tròn, elip , hypebol , parabol …) có thể coi như là hợp của hai đồ thị hàm số
2
2
2
2
ê
ê
ê Trong đó nửa trên đường cong là đồ thị của hàm số (1)
Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2)
* Elip :
2 2
2 2
2 2
2 2
1
b
b
a b
a
é
ê + = Û ê
ê = - -
ê
ë
Ví dụ 1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 2 ( ) 2
1 1
x + y - = quay quanh trục Ox
Giải : Ta có đường tròn trên là hợp của hai đồ thị hàm số
y= - -x y= + - x
Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên
2
2
1 1 :
1 1
S
ì = - -
ï
í
= + -
ï
î Hai đồ thị này nằm về một phía đối với trục Ox ( vẽ hình )
( dạng 2 , khuyết x = a , x = b )
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là : 1- 1-x2 = +1 1-x2 Û x = ± 1
Vậy thể tích là : 1 ( ) ( 2 ) 2
1
-
ò
1
2
1
4p 1 x dx
-
= ò - , ta tính tích phân này bằng pp đổi biến sin , ;
2 2
x t t é p pù
4) DẠNG 4: Hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số. Ta phân chia hình phẳng đố thành các hình thang cong, tam giác cong ( theo các đường đi qua giao điểm , vuông góc với trục quay ) , và tình thể tích của từng hình thang cong , tam giác cong đó quay quanh trục
Trang 4( ) 2
:
2
y x
S
y x
=
ì
í
= -
ï
î
. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên
a) Quanh trục Ox
b) Quanh trục Oy
Giải :
a) Quanh trục Ox:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : ( ) 2 2
x= x- Ûx - x+ = Ûx= x = Trên đoạn [ ] 1; 4 , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x³( x -2) 2 ³ , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 ) 0
2
4
1
V=p éx - x- ù dx=p x- dx=p x - x = p
b) Quay quanh trục Oy: ( Viết các hàm số dạng x= f y ( )
Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ): 2
2
x y
ì =
ï
= -
í
ï
= +
î Tung độ giao điểm của các đường trên là:
2
x y
=
ì
í
= -
ï
2
x y
=
ì
í
= +
ï
î
2
2
ì = -
ï
í
= +
ï
Phân chia hình phẳng thành 2 hình ( xem hình vẽ ) : 1: 2 , 2 : 2
2
x y
ì = + ì = +
=
î
1 2
V=V +V =p é + y - - y ùdy+p é + y - y ù dy
Ví dụ 2: Tính thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy:
2
3 2
0
S y
x
ì = - +
ï
=
í
ï =
î
Ta chuyển sang hàm số dạng x= f y ( )
y=x - x+ Ûx - x+ -y = ( coi đây là pT bậc hai ẩn x, y là tham số ) ta có :
9 4 2 y 1 4 y
D = - - = +
,
x= - + x = + +
Dựa vào hình vẽ ta có :
1 2
4
-
Ví dụ 3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
1
x
y
x
-
= + và hai trục tọa độ quanh trục Oy
1
2
0
1
1
1
y
y
p
-
æ + ö
-
ò
Trang 5http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 5
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) y=ln ,x y=0,x=1,x= 2 ( ) Ox
8 , 2 ,
y = x x= Ox Oy
0
x + y b- =a p a £ b Ox
4) x , 0, 0, 1
y=xe y= x= x =
sin cos , 0, 0,
2
4 , , 2 ,
y = x oy y= Ox Oy
y= -x - x- Ox Oy Ox Oy
8) y ln x ,ox x, e Ox [ ]
x
2
3 2
, ,
3
x x
x
- +
=
-
10) y= x+2,ox oy Oy , [ ]
