Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600.. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.. Lập phương trình đường thẳng song song với mặ
Trang 1Ôn thi Đại học www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 22- www.MATHVN.com
Đề số 22
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2
3
y x x m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −4
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho 0
120
=
Câu II (2 điểm )
1) Giải phương trình: sin 3 sin 2 sin
2) Giải bất phương trình: 1 3 3 1 3
8 + 2+ −x − 4 −x + 2+ −x ≤ 5
Câu III (2 điểm) Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường y= + 1 2x−x2 và y = 1
Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân tại A, AB = AC = a Mặt
bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt
đáy các góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Câu V (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:
+ +
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 2
∆ + = − = −
−
và
mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (∆)
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; − 1) và đường thẳng (∆): x − 2y −1 = 0 Tìm điểm C thuộc đường thẳng (∆) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6
Câu VII.a (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z 2+ + =bz c 0 nhận số phức
1
z= +i làm một nghiệm
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng ( ) :d x− − =y 3 0 và có hoành độ 9
2
=
I
x , trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là ( ) :S x2 +y2 + −z2 4x+ 2y− 6z+ = 5 0, ( ) : 2P x+ 2y− +z 16 = 0 Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác
định vị trí của M, N tương ứng
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình:
2009 2
2008
(1 )
(1 )
+
−
i
i trên tập số phức
www.MATHVN.com
Trang 2Hướng dẫn Đề số 22
0
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m +
4)
Ta có: uuur OA (0; ),m OB uuur ( 2;m 4) Để · 0
120
2
AOB
2
m m
3
m
m m
Câu II: 1) PT sin 3x cos3x sin 2 (sinx x cos )x
(sinx + cosx)(sin2x 1) = 0 sin cos 0 tan 1
4
4 4
2) Điều kiện: x 3 Đặt t 2 3x 0 BPT 8 2tt2 2t 5
Trang 32 2
2
t
5 0 2
17 1;
5
t
0 t 1 2 x 1 3 x 0 x 3
Câu III: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
2
1 2xx 1 x 0; x 2
Đặt x 1 = sin t; ;
2 2
t dx = cost ; Với
2
2
Câu IV: Kẻ SH BC Suy ra SH (ABC) Kẻ SI AB; SJ
AC
60
SIH SJH SIH = SJH HI = HJ AIHJ là
hình vuông
I là trung điểm AB IH a 2
Trang 4Trong tam giác vuông SHI ta có: 3
2
a
3
.
a
Câu V: Sử dụng BĐT: ( )11 1 9 11 1 9
ab
Tương tự đối với 2 biểu thức còn lại Sau đó cộng vế với vế ta được:
1
Câu VI.a: 1) Đường thẳng () có phương trình tham số:
1 3
¡
Mặt phẳng (P) có VTPT r n (1; 3; 2)
Giả sử N(1 + 3t ; 2 2t ; 2 + 2t)
uuuur
Trang 5Để MN // (P) thì uuuur r MN n 0 t 7 N(20; 12; 16)
Phương trình đường thẳng cần tìm : 2 2 4
2) Phương trình AB : x + 2y 1 = 0 ; AB 5
Gọi h c là đường cao hạ từ C của ABC
3
c
Vậy có hai điểm cần tìm: C1(7; 3) và C2(5; 3)
Câu VII.a: Từ giả thiết suy ra:
2
I
2 2
Gọi M = d Ox là trung điểm của cạnh AD, suy ra M(3;0)
Trang 63 2
ABCD
S
AB
( )
1.(x 3) 1.( y 0) 0 x y 3 0
Lại có MA = MD = 2
Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
1
x
Vậy A(2;1), D(4;-1),
9 3
;
2 2
2
I
I
y
Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4) Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)
2) Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3
Trang 7Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):
3
Do đó (P) và (S) không có điểm chung Do vậy, min
MN = d –R = 5 –3 = 2
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0
Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S)
Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì
N0 là giao điểm của và (P)
Đường thẳng có VTCP là r n P 2; 2; 1 và qua I nên có phương trình là
1 2 3
¡
Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình:
2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0 15 5
Trang 8Suy ra 0
3 5
IM IN Suy ra M0(0;–3;4)
2008
PT z2 2(1 + i)z +2i = 0 z2 2(1 + i)z + (i + 1)2
= 0
(z i 1)2 = 0 z = i + 1
