2 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Cm luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B.. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên CC′D′D.. Tính thể tích của các hình đa diện do m
Trang 1Ôn thi Đại học www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 38- www.MATHVN.com
Đề số 38
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=x4+mx2− −m 1 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m để
các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm):
1) Giải hệ phương trình: + + =
x x y xy x
2
2) Giải phương trình: sinx 1sin2x 1 cosx cos2x
2
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x
dx x
8 2 3
1 1
− +
∫
Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi K là trung điểm của cạnh BC và
I là tâm của mặt bên CC′D′D Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương
Câu V (1 điểm): Cho x, y là hai số thực thoả mãn x2−xy y+ 2=2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2+2xy−3y2
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d 1: x y 2+ − =0 và d 2:
x y
2 +6 + =3 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x−2y− + =4z 2 0
và đường thẳng d: x 3 y 3 z
Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục
Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: (z2+9)(z4+2z2− =4) 0
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x y− − =8 0 Tìm toạ độ điểm C
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x 1 y 1 z
và d 2:
x 2 y z 1
− Lập phương trình đường thẳng d cắt d 1 và d 2 và vuông góc với mặt phẳng (P):
x y z
2 + + + =5 3 0
Câu VII.b (1 điểm): Cho hàm số x mx m
y
mx
1
+ + −
=
+ (m là tham số) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
www.MATHVN.com
Đề số 39
Trang 2Hướng dẫn Đề số 38:
Câu I: 2) Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có:
y 4 x3 2 mx
Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
y (1) ( 1) y 1 (4 2 ) m2 1
m
3 2 5 2
2
x x x
2
1 3
1; 3 3; 15
1 7; 6 3 7
1 7; 6 3 7
2) PT (sin x 1)(sin x cos x 2) 0 sinx1 x k2
2
8
3
1
8
3
= 1 ln 3 2 ln 8 3
Trang 3Câu IV: Gọi E = AK DC, M = IE CC, N = IE DD
Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa diện:
V2 = VKBBCMAADN
Vhlp = a3, VEAND = 1 ED S ADN 2 a3
EAND
1
8
V2 = Vhlp – V1 = 29 a3
V
1 2
7 29
Nếu y 0 thì đặt t x
y
x xy y
t t
2
2
2 3
2
1
t t
2 2
2 3 1
( m 1) t2 ( m 2) t m 3 0
(1)
(1) có nghiệm m = 1 hoặc = ( m 2)2 4( m 1)( m 3) 0
Trang 4Kết luận: 4( 13 1) M 4( 13 1)
Giả sử: B b ( ; 2 b ) d1, C c ; 3 2 c
6
M(–1; 1) là trung điểm của BC
b c
c b
1 2
3 2 2
2
b
c
1
4
9
4
B 1 7 ;
4 4
4 4
2) (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2 d có VTCP
u r (2;2;1)
(P) // d, Ox (P) có VTPT n ru i r,r(0;1; 2)
Trang 5(P) tiếp xúc với (S) d I P ( ,( )) R D
2 2
1 4
2
D 3 2 5 D
D
3 2 5
3 2 5
(P): y 2 z 3 2 5 0 hoặc (P): y 2 z 3 2 5 0
z
2
2 2
9
z2
3
5 1
z
3
5 1
5 1
ABC
S
AB
2
Giả sử I(a; 3a – 8) d
Phương trình AB: x y 5 0 d I AB ( , ) IK 3 2 a 1
a
a
2
1
I(2; –2) hoặc I(1; –5)
–10)
2)
z t
1
1
1 2
2
,
2
2
2 :
1 2
(P) có VTPT n r (2;1;5) Gọi
A = d d1, B = d d2
Trang 6Giả sử: A(1 2 ; 1 t1 t1;2 )t1 , B((2 2 ; ;1 2 ) t t2 2 t2
AB ( t2 2 t1 1; t2 t1 1; 2 t2 2 t1 1)
uuur
t2 2 t1 1 t2 t1 1 2 t2 2 t1 1
t
1 2
1 1
A(–1; –2; –2)
mx
2
Để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì
m
m3 m2
0
2 1 0
2