Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng BDMN.. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC... Gọi H là giao của PQ và AC’.. Suy ra AH là đường cao của hình chóp
Trang 1Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Ôn thi Đại học
www.MATHVN.com - Trang 51
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=x3+ 3x2+mx+ 1 có đồ thị là (C m ); ( m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2) Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho
các tiếp tuyến của (C m) tại D và E vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
=
+
∫
Câu IV (1 điểm): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3
2
a
và góc BAD = 600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Câu V (1 điểm): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c+ + = 1 Chứng minh rằng:
27
ab bc ca+ + − abc≤
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình
đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3
= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3)
Câu VII.a (1 điểm): Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z2− 4z+ = 11 0 Tính giá trị của biểu thức :
2
z z
+
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng∆ : x+ 3y+ = 8 0 , ' :3x 4y 10 0
∆ − + = và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường
thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P):
2 + 2 + – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
2
2 log ( 2 2) log ( 2 1) 6 log ( 5) log ( 4) = 1
Đề số 52
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Trang 2Hướng dẫn Đề số 51
Câu I: 2) PT hoành độ giao điểm: x3 3x2mx 1 1
f x x2 x m
0
x x1, 2 khác 0 và y x 1 .y x 2 1 2 2
9 4 0, (0) 0 (3 6 )(3 6 ) 1.
m f m
x x m x x m
x x1 2 2 x x x1 2 1 x2 m x12 x22 x x1 2 m x1 x2 m2
9
4
9
4
8
Câu II: 1) Điều kiện: cosx 0
PT cos 2x tan 2x 1 cosx (1 tan 2x) 2cos 2x cosx 1 0
x
cos 1
1 cos
2
2 2 2 3
2
2
1
4
1 4
.
x
x y y
x y
y
Trang 3Đặt u x 1,v x y
y
2, 5
, hệ này vô nghiệm
Câu III:
3
2
3
ln
.
ln 2
x
x
1 3ln ln ( 1) ln
dx
x
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
x
t
2 3
1
Câu IV: Gọi P,Q là trung điểm của BD, MN Chứng minh
Trang 4Gọi H là giao của PQ và AC’ Suy ra AH là đường cao của hình chóp A.BDMN
PQ 15,MN
a S
2
3 15 16
3
.
A B MN B MN
a
Câu V:
ab bc ca abca b c a bca a a bc
Xét hàm số: f t ( ) a(1 a) (1 2 ) a t trên đoạn 0;(1 a)2
4
2 2
a
f a a
với a 0;1
27
ab bc ca abc Dấu "=" xảy ra a b c 1
3
Cách 2: Ta có a2a2 (b c )2 (a b c a b c )( ) (1 2 )(1 2 ) c b
(1)
Trang 5Tương tự: b2 (1 2 )(1 2 ) a c (2), c2 (1 2 )(1 2 ) a b (3)
4
4
27
1
27 2
3
Câu VI.a: 1) Gọi C c c( ; 2 3) và I m( ; 6 m) là trung điểm của
BC
nên:
;
6 6
C
Trang 6Tọa độ của 19 4;
3 3
2) Ta có: uuurAB (2; 2; 2), uuurAC (0; 2; 2).
Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC
là: xy z 1 0, y z 3 0.
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là nr uuur uuurAB AC, (8; 4; 4).
Giải hệ:
Suy ra tâm đường tròn là
(0; 2; 1).
I
Câu VII.a: Giải PT đã cho ta được các nghiệm:
z i z i
Suy ra
2 2
3 2 22
z z z z
Do đó:
2
11 4
Câu VI.b: 1) Giả sử tâm I( 3 – 8; ) t t
Trang 7PT đường tròn cần tìm: ( –1)x 2 y( 3)2 25
2) Ta có uuurAB (2; 3; 1), uuurAC ( 2; 1; 1) nr uuur uuurAB AC, (2; 4; 8) là 1 VTPT của (ABC)
x 2 – 4y z 6 0
Giả sử M(x; y; z)
M ( )P
z
2 3 7
M(2;3; 7)
2
2 2 0, 2 1 0, 5 0, 4 0
(*)
0 1 1, 0 2 1
Hệ PT
2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1) log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2)
2 0 ( 1) 0 1.
t
Trang 8log ( 4) log ( 4) = 1 log 1 1 2 0
0 2
x
x