Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Biết AA' hợp với mặt phẳng đáy ABC một góc 60.. Chứ
Trang 1TỔ TOÁN TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 2011
Môn: TOÁN Khối A + B
Ngày thi: 28/12/2010 Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 - 5 x 2 + 4, có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để phương trình x4-5x2 +4 = log 2 m có 6 nghiệm phân biệt.
Câu II. (2,0 điểm)
cos
1
sin
2 )
1 cos
2 ( cos
1
=
-
- +
-
x
x
x
x
2. Giải hệ phương trình :
2
1
log 2
xy
y
x
ì
ï
í
ï
î
Câu III. (2,0 điểm)
1. Tính tích phân: I =
4
2
0 ( x sin 2 ) cos 2 x xdx
p +
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
3 4 0
x x
ì - - £
ï
í
ï
Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a . Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA' hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60 .
1 Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2 Tính thể tích khối lăng trụ .
Câu V (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5 , C(1;1), đường thẳng AB có phương trình: x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và B.
2. Giải bất phương trình: 2 2 1 2 2 1 4
(2 3) (2 3)
2 3
-
Câu VI. (1,0 điểm) Tính tổng: S = C20100 + 2 C12010+ 3 C20102 + 2011 + C 2010 2010 .
… Hết …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………; Số báo danh: ……… http://aotrangtb.com
http://aotrangtb.com
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM: 2010 2011
* Tập xác định D = R
* Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 4x 3 10x = 2x(2x 2 5); y’ = 0 Û
0
5
2
=
é
ê
ê = ±
ê
x
Dấu của y’:
2
2 +¥
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ¥; 5
2 ) và (0;
5
2 ).
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 5
2 ; 0) và (
5
2 ; + ¥).
Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 5
2 , yCT =
9
4 ; Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4.
0,25
Giới hạn: 4
5 4 lim lim (1 )
x x
Bảng biến thiên:
x ¥ 5
2
2 +¥
y’ 0 + 0 0 +
y
+¥
9
4
4
9
4
I1
(1
điểm)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm:
(1;0), (1; 0), (2; 0), (2; 0)
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0)
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
0,25
Số nghiệm của phương trình: x4 -5x2 +4 = log 2 m là số giao điểm của đường thẳng y
= log m với đồ thị của hàm số 2 y= x4-5x 2 + 4 .
0,25
Vẽ được đồ thị hàm số y= x4-5x 2 + 4
0,25
Xác định được điều kiện: 0<log2 m<4Û <1 m < 16 0,25
I2
(1
điểm)
5
4
3
2
1
1
2
3
6
5
4
3
2
1
1
http://aotrangtb.com
Trang 3+ ĐK : cos x ¹ 1 Û x ¹ m 2 p 0,25
(2)
0 sin
2 ) sin
1 (
2 cos
1 sin
2 cos cos
2
1 - 2 - - = - Û - - 2 - =
2 sin
2
2 sin
0
2 sin
2 sin
2 2 - - = Û = - Ú =
0,5
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
=
+
-
=
Û
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
=
p
p
p
p
p
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
k
x
k
x
II1
(1 điểm)
+) Thế vào (2) ta có:
2
4x 8x 4 16x 4x x 8 x
æ ö + + = + Ûç + ÷ = +
Đặt x 1
x
+ (t > 0), ta có phương trình: t 4 = 8t Û t = 2 (vì t > 0).
Với t = 2 ta có: 1 1 2
+ = Û + = Û - + = Û x =2± 3
0,25
0,25
II2
(1 điểm)
+) KL : Hệ có các nghiệm là : 2 3; 4 ; 2 3; 4
I =
( x sin 2 ) cos 2 x xdx x cos 2 xdx sin 2 cos 2 x xdx I I
+ Tính I1: Đặt: 1
cos 2 sin 2
2
du dx
u x
=
ì
=
Þ
.
4
1
0
sin 2 sin 2 cos 2
p
0,25
0,25
+ Tính I2:
4
2
0
sin 2 cos 2 x xdx
p
ò Đặt t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx.
x = 0 Þ t = 0, x =
4
p
Þ t = 1
Þ I2 =
2
0
1
0
.
2 2 3 6
t
t dx = =
0,25
III 1
(1 điểm)
Vậy I = 1
8 12
p
III 2
(1 điểm)
Ta có: x2 -3x- £4 0Û - £1 x £ 4
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
Û PT 3 2
x - x x-m - m ³ có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
Û - ³ + có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
Đặt ( )
3
3
f x x x x
ì + - £ <
ï
= - = í
ï
0,25
Trang 4Ta có : ' ( ) 3 2 6 1 0
f x
x x khi x
ì + - < <
ï
= í
- < <
ï
; f'( ) x =0Ûx=0;x = ± 2
Ta có bảng biến thiên :
( ) 2
15
f x ³m + m có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
[ ] ( ) 2 1;4
max f x m 15 m
-
Û ³ + Û16³m2 + 15 m
2
15 16 0 16 1
Û + - £ Û - £ £
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Û -16£m £ 1 .
0,25
0,25
0,25 0,25
1. Ta có A 'O ^ (ABC) Þ OA là hình chiếu của AA'
trên (ABC).
Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60 =¼ = o
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO ^ BC tại trung điểm H của BC nên BC ^ A 'H .
Þ ^ Þ ^ mà AA'//BB' nên
BC ^ BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
0,25
0,25
IV
(1 điểm)
ABC
V đều nên 2 2 a 3 a 3
o AOA ' Þ A 'O = AO t an60 = a
V
Vậy V = SABC.A'O =
3
a 3
4
0,25 0,25
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:
Có G thuộc đường thẳng x + y 2 = 0 nên:
x x y y
+ - + -
+ - = Û + + + = (1).
0,25
Có A, B thuộc đường thẳng : x + 2y – 3 = 0 nên 1 1
3 2
3 2
= -
ì
í
= -
î
(2), suy ra
x +x + y +y = (3).
Từ (1) và (3) suy ra: 1 2 2 1
Û
+ = - = - -
0,25
V.
1
(1 điểm)
+ AB = 5 Û AB 2 = 5 Û (x2-x1)2+(y2- y 1 )2 = 5 Û (10-2 )x1 2+ - -( 2 2y 1 )2 = 5
Kết hợp với (2) ta được:
1
1
3
2 (4 4 ) ( 2 2 ) 5
1
2
y
y
é
= -
ê + + - - = Û ê
ê = -
ê
0,25
H
O
o
60
C'
A
a
B' A'
C
B
x
f’(x)
f(x)
1
+
4
4
2
0
0
16
Trang 5+ Với 1 3
2
y = - Þ x1 = 6, x2 = 4, y2 = 1
2
- Vậy A(6; 3
2
- ), B(4; 1
2
- ).
+ Với 1 1
2
y = - Þ x1 = 4, x2 = 6, y2 = 3
2
- Vậy A(4; 1
2
- ), B(6; 3
2
- ).
Vậy A(6; 3
2
- ), B(4; 1
2
- ).
0,25
+ BPT Û 2 2 2 2
(2+ 3)x- x+(2- 3)x - x £ 4 0,25 + Đặt t = 2 2
(2+ 3) x - x (t >0), ta có BPT:
2
1
t
2- 3£(2+ 3)x - x £2+ 3Û - £1 x -2x £ 1 0,25
V.
2
(1 điểm)
+ Nhân cả hai vế với x ta được:
x +x =xC +x C +x C + + x C
Lấy đạo hàm từng vế ta được:
(1+x) +2010 (1x +x) =C +2xC +3x C + + 2011 x C
0,25
0,25
0,25
VI.
(1 điểm)
+ Cho x = 1 ta được: 0 1 2 2010 2010
2010 2 2010 3 2010 2011 2010 1005.2
http://aotrangtb.com