Ta biến đổi phương trình thứ hai của hệ đã cho thành 3sinxcosy ư sinycosx = 0... 2 Gọi D là giao tuyến của các mặt phẳng ABCD và AB’C’D’.. Hiển nhiên rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trên mặt
Trang 1Câu I.
Cho hàm số
f(x) = x n+ −(c x)n
trong đó c > 0, và n là một số nguyên dỷơng lớn hơn 1
1) Khảo sát sỷồ biến thiên của hàm số đó
2) Tỷõ kết quả ấy, chỷỏng minh bất đẳng thỷỏc
a + b
2
a + b 2
≥
với a, b là hai số tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b³ 0, còn n là số nguyên dỷơng bất kì
Câu II.
1) Giải phỷơng trình
x+34− x−3
2)Chỷỏng minh rằng từ bốn số cho trỷỳỏc luôn luôn có thể chọn ra đỷợc hai số x, y sao cho
0Ê x - y
1+xyÊ 1
Câu III.
Giải hệ phỷơng trình
sin cos
tgx tgy
=
=
1 4 3
Trang 2Câu I
1) Hàm số f(x) xác định với mọi x
Ta có : f '(x)=n x n 1ư ư ư(c x)n 1ư
f'(x) = 0 ⇔ xn 1ư = ư(c x)n 1ư (1)
Để giải phương trình (1) ta xét 2 trường hợp : n chẵn và n lẻ Kết quả là phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = c
2
f ''(x)=n(n 1) xư ư + ư(c x) ư
n 2
ư
Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại x c
2
= (khi đó
n
Bảng biến thiên :
f(x) + ∞
c f 2
+ ∞
Kết quả của việc khảo sát chứng tỏ với mọi x và c > 0 ta đều có :
n
2
2) Lấy x = a, c = a + b, trong đó a, b là hai số tùy ý sao cho a + b > 0 thì (2) trở thành
n
2
+
+ ≥ hay
n
+ ≥ + Hiển nhiên rằng bất đẳng thức cũng đúng cả khi a + b = 0
Đẳng thức xảy ra khi n = 1 hoặc khi a = b hoặc khi a = ư b và n lẻ
Câu II
1) Lập phương hai vế phương trình đã cho ta được :
x + 34 ư 33x+34 3xư3(3x+34ư3xư3) x + 3 = 1
Lập phương hai vế phương trình cuối này ta được :
2
x +31x 102 1728ư = hay x2+31x 1830ư = 0 Giải phương trình bậc hai này ta được
x = 30 và x = 61
Cả hai giá trị đó là nghiệm của phương trình đã cho
2) Gọi α, β, γ , δ là các giá trị mà tang của chúng bằng các số đã cho
Giả sử α, β, γ, δ được sắp xếp theo thứ tự tăng, khi đó :
Trang 32
π
ư < α ≤ β ≤ γ ≤ δ <
2
π < α + π Các điểm β, γ, δ chia khoảng [α ; α + π] thành 4 đoạn Có ít nhất một trong các đoạn đó có độ dài không vượt quá
4
π Có thể chọn tang của các mút trái và phải của đoạn đó làm x và y Thật vậy, nếu
chẳng hạn
4
π
β ư α ≤ thì với chú ý rằng β ư α ≥ 0 ta có 0 ≤ tg(β ư α) ≤ 1 và
tg(β ư α) = tg tg x y
Trường hợp (α + π) ư δ ≤
4
π cần sử dụng đẳng thức
tg(α + π ư δ) = tg (α ư δ)
Câu III Đặt điều kiện : cosx ≠ 0 ; cosy ≠ 0
Ta biến đổi phương trình thứ hai của hệ đã cho thành
3sinxcosy ư sinycosx = 0
Thay giá trị của sinx cosy trong phương trình thứ nhất của hệ đã cho vào đẳng thức vừa nhận được ta có
hệ :
sinxcosy = 1
4 cosxsiny = 3
4 cộng, trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được : sin(x + y) = 1
sin(x ư y) = 1
2
Từ đó
x y 2k
2
π
x y 2
6
π
và
x y 2k
2
π
x y 5 2
6
π
Từ hệ (3) ta có :
6
π
3
π
= + ư πl (k, l ∈ Z)
thỏa mãn điều kiện
Từ hệ (4) ta có :
6
π
3
π
= + ư πl (k, l ∈ Z)
thỏa mãn điều kiện
(3) (1)
(4) (2)
Trang 4Câu IV Ta có : A = p p
2
3
sinA = cos 3B
2 = cos B2 4cos B2 - 3
2
ổ ố
ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữ;
sinB = 2sin B
2 cos B2; sinC = cos B2 .
áp dụng định lí hàm số sin ta có:
a
cos B
2 4cos B2 - 3
2sin B
2 cos B2
cos B 2
2
ổ
ố
ỗỗ
a
4cos B
2 - 3
2sin B 2
2
= c
Theo tính chất tỷ lệ thức ta đỷợc:
a + b
4 1 - sin B
2 - 3 + 2sin B2
2
ổ
ố
ỗỗ
a + b = c - 4sin B
2 + 2sin B2 + 1
2
ổ
ố
ỗỗ
Do (1) ta có:
B
2 = 6 - A3
2 < p ị 06 <sin B
2 < 12 ị
1 < - 4sin2B B
2+2sin2+ Ê1 54 .
Vậy: a + b Ê 5
4c.
Câu Va 1) Ta có
P = a c Q a b o
2, , ,0 , , ,2
ổ
ố
ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữ ổốỗỗỗỗ ử
ứ
ữữữ
ữ
Trang 5R = a b o S b c
2, , , 0, , 2
æ
è
çç
ç öø÷÷÷÷ =æèççç öø÷÷÷÷
§ûêng th¼ng PR ®i qua P vµ cã vect¬ chØ phû¬ng PR® = (0 ; b ; -c),
nªn cã phû¬ng tr×nh tham sè
x a
y bt
z c ct
=
=
=
-ì
í
ïï
ïï
ï
î
ïï
ïï
ï
2
§ûêng th¼ng QS ®i qua Q vµ cã vect¬ chØ phû¬ng QS® = -æèççç a b c; ; öø÷÷÷÷
2 2 nªn cã phû¬ng tr×nh tham sè
x a at
y b b t
z c t
=
-= +
=
ì
í
ïï
ïï
ïï
î
ïï
ïï
ïï
' ' '
2 2
2
2) PR^ QS Û PR QS® = ® = 0 Û b
2 - c2
= 0 Û b = c
3) PR vµ QS c¾t nhau khi vµ chØ khi tån t¹i t vµ t’ nghiÖm hÖ phû¬ng tr×nh
a a at
bt b b t
c ct c t
2
2 2 2
=
-= +
- =
ì
í
ïï
ïï
ïï
î
ïï
ïï
ïï
' ' '
HÖ nµy cã nghiÖmt = 3
4, t’ = 12 Suy ra c¸c ®ûêng th¼ng PR vµ QS c¾t nhau t¹i ®iÓm I = a2 , 3b4 , c4
æ è
çç
ç öø÷÷÷÷ 4) Gäi a lµ gãc gi÷a c¸c vect¬PR vaQS® ® Ta cã
Trang 6
cosa = PR QS
|PR| |QS| =
b - c
b + c 4a + b + c
Vì0 Ê a Êπ, suy ra
4
cos
từ đó suy ra diện tích của tứ giácPQRS:
S = ` 1 sin
2 2 2 2 2 2
PR QRđ đ a= a b +b c +c a
Câu Vb.
1) Ta có (AB’C’D’) ^ SC nên AB’ ^ SC ; mặt khác (SAB) ^ BC
(vì BC ^ AB và BC ^ SA) nên AB’ ^ BC, do đó AB’ ^ (SBC) Từ đó suy
ra
AB’ ^ B’C’.Chứng minh hoàn toàn tỷơng tự ta có AD’⊥D’C’.Vậy tứ
giácAB’C’D’ có các góc B’, D’ vuông
2) Gọi D là giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD) và (AB’C’D’) Vì D thuộc
(ABCD) nên D⊥SA ; vì D thuộc (AB’C’D’) nên D⊥SC; vậy D^ (SAC),
do đó D^ AC
VìD đi qua điểm cố định A và D^ AC cố định nên D cố định
Hiển nhiên rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu (cố định) đỷờng kính AC Ta có AC’^ C’C, vậy C’ cũng nằm trên mặt cầu ấy
Mặt khác, ta thấy AB’^ (SBC) nên AB’ ^ B’C và AD’ ^ (SDC), do đó
AD’ ^ D’C
VậyB’ và D’ cũng nằm trên mặt cầu đỷờng kính AC cố định
3) Gọi cạnh của hình vuông đáy làa
VìBC⊥(SAB) nên CSB^ = x
Trang 7
Ta có: V = VS.ABCD= 1
3a
2 SA;
V’ = VS.AB’C’D’= 1
3SC’ dt(AB’C’D’).
VìAB = AD nên các tam giác vuông ASB và ASD bằng nhau Mặt khác, AB’ ^ SB, AD’ ^ SD, do đó SD’ = SB’ Xét tam giácSBD ta có : B’D’//BD, do đó B’D’ ^ (SAC) và vì vậy B’D’ ^ AC’ Vậy
dt(AB’C’D’) = 1
2AC’ B’D’.
Ta có : SB = acotgx ; SC = BC
sinx = asinx;
SA = SB - AB = a cos2x
sinx
SB = acos2xsinxcosx
2
;
SC’ = SA
SC = acos2xsinx
2
; B’D’ = BD SB'
SB = a 2 cos2xcos x2 ; AC’ = SA AC
do đó V = a cos2x
3sinx ; V' = a cos 2x cos2x3sinxcos x
V = cos 2xcos x
2 2
Cách khác :
Vì ABCD là hình vuông, (SAC) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên ta có:
V'
V = 2V2VSAB'C'SABC = VVSAB'C'SABC .
Mặt khác ta có:
V
VSAB'C'SABC = SASA SB'SB SC'SC = SB' SC'SB SC .
Ta cũng tính SB, SB’, SC, SC’ nh cách trên và thay vào thì đỷợc cùng kết quả
Trang 8
Câu IV.
Chỷỏng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện 2A + 3B =π, thì các cạnh tỷơng ỷỏng của nó thỏa mãn :
a + bÊ 5
4c.
Câu Va
Trong không gian với hệ tọa độtrỷồc chuẩn, cho hình hộp chỷọ nhật ABCD.A’B’C’D’, với A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0),
D’(0, b, 0), A(0, 0, c), trong đó a, b, c>0 Gọi P, Q, R, S lầnlỷỳồt là trung điểm các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’ 1) Viết phỷơng trình tham số của hai đỷờng thẳng PR, QS
2) Xác định a, b, c để hai đỷờng thẳng PR, QS vuông góc với nhau
3)Chỷỏng tỏ rằng hai đỷờng thẳng PR, QS cắt nhau
4) Tính diện tích tỷỏ giác PQRS
Câu Vb
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chỷọ nhật, và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD theo thỷỏ tỷồ tại B’, C’, D’
1)Chỷỏng minh rằng tỷỏ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông
2) Cho S di chuyển trên đỷờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A Chỷỏng tỏ rằng mặt phẳng (AB’C’D’) luôn đi qua một đỷờng thẳng cố định và 7 điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định
3) Gọi x là góc nhọn tạo bởi cạnh SC và mặt bên (SAB) Biết rằng ABCD là hình vuông, hãy tính tỉ số giữa thể tích của hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD
