Tỷỏ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA tỷơng đỷơng, và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 1800 .Chỷỏng tỏ rằng các cạnh đối của tỷỏ diện là bằng nhau tỷõng đôi một... 1 Trỷớc hết ta hãy ch
Trang 1Câu I.
1)Chỷỏng tỏ rằng hệ thỷỏc
kb22= (k + 1)22ac (kạ -1)
là điều kiện cần và đủ để phỷơng trình bậc hai
ax2+ bx + c = 0 (aạ 0)
có hai nghiệm, trong đó một nghiệm bằng k lần nghiệm kia
2) a, b, c là 3 số khác 0.Chỷỏng minh rằng
a
b +
b
c +
c a
a
b +
b
c +
c a
2
2
2
2
2
Câu II 1) Giải phỷơng trình
2sin 3x +
4 = 1 + 8sin2x cos 2x2
π
2) Giải phỷơng trình
x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 = x + 3
2 . Câu III
Tỷỏ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA tỷơng đỷơng, và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 1800
.Chỷỏng tỏ rằng các cạnh đối của tỷỏ diện là bằng nhau tỷõng đôi một
Trang 2Câu I 1) Trỷớc hết ta hãy chứng tỏ rằng từ hệ thức đã cho, suy ra phỷơng trình có nghiệm Quả vậy nếu k = 0, suy ra ac = 0 ịc
=0 (vì aạ 0), vậy phỷơng trình có nghiệm Nếu k ạ 0 (k ạ -1), suy ra
b2= (k + 1)2ac
k ị ack ³ 0,
do vậy:
D = b2- 4ac = (k + 1)
k - 4
2
ộ ở
ờ ờ
ự ỷ
ỳ
ỳac = (k - 1)2 ack ³ 0.
Gọi x1, x2là các nghiệm của phỷơng trình bậc hai Theo các hệ thức Viet:
(x1- kx2)(x2- kx1) = (1 + k2)x1x2- k(x + x12
2
2) = (1 + k2)x1x2- k[(x1+ x2)2- 2x1x2] =
= (1 + k2) c
a - k ba - 2 ca =
(k + 1) ac - kb
a
2 2
2
ổ ố
ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữ
ta đỷợc kết quả cần chứng minh
2) Nếu A, B, C là ba số không âm, thì ta có
A + B + C ³ 3 3 ABC,
và với mọi A, B, C ta luôn có A2+ B2+ C2³ 1
3(A + B + C)
2
vì nó tỷơng đỷơng với
3A2+ 3B2+ 3C2³ A2+ B2+ C2+ 2AB + 2BC + 2CA
hay
(A - B)2+ (B - C)2+ (C - A)2³ 0
Vì vậy
a
b + bc + ca
1 3
a
b + bc + ca
2
2
2
2
2
2 ³ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ổ ố
ỗỗ
ỗ ửứữữữữ2 ³ 1
3
a
b + bc + ca 3 3 ab
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ổ ố
ỗỗ
ỗ ửứữữữữ ẵẵẵ ẵ
ẵ
ẵ b c
c a
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ =
Trang 3= a
b + bc + ca
a
b + bc + ca
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
Câu II 1) Phỷơng trình đã cho tỷơng đỷơng với
sin( ) ( )
sin ( ) sin cos ( )
3
4 0 1
4 3
4 1 8 2 2 2
x
+ ³
+ = +
ỡ
ớ
ùù
p
ù
ợ
ùù
ùù
Giải(2) : (2) ổ
ố
ỗỗ ỗ
ử ứ
ữữữ
ộ ở
ờ ờ
ự ỷ
ỳ ỳ
2 1 - cos 6x +
2 = 1 + 8sin2xcos 2x
2
p
Û 2(1 + sin6x) = 1 + 8sin2x(1 - sin22x)
Û 2(1 + 3sin2x - 4sin32x) = 1 + 8sin2x - 8sin32x
Û sin2x = 1
2Û
= +
= +
ỡ ớ
ùù ùù ợ
ùù ùù
Û = +
=
2
6 2
2 5
6 2
12 3 5
1
1
2
x
p p
p p
p p p
( )
2+ 4
ỡ ớ
ùù ùù ợ
ùù
Thay thế (3), (4) vào (1) :
sin(3 ) sin( )
1
x + p = p + kp = 1 2
khi k n khi k n
=
ỡ ớ
ùù ợùù
sin(3 ) sin( )
4
3
2 3
2
= +
ỡ ớ
ùù ợùù
khi k m khi k m
Vậy nghiệm của phỷơng trình là
x =
12 + 2n , x = 512 + (2m + 1) (n, m )
2) Trỷớc hết xét hàm
y = x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1
Hàm số đỷợc xác định khi x ³ 1, bởi vì khi đó x - 1 ³ 0 và ta có:
Trang 4y = (x - 1) + 2 x - 1 + 1 + (x - 1) - 2 x - 1 + 1 = ( x - 1 + 1) + ( x - 1 - 1)2 2 =
2 khi 1 Ê x Ê 2,
= x - 1 + 1 + | x - 1 - 1| =
2 x - 1 khi x ³ 2.Vậy:
a) nếu 1 Ê x Ê 2, ta có phỷơng trình
2 = x + 3
2 ị x = 1 (nghiệm thích hợp);
b) nếu x ³ 2, ta có phỷơng trình
2 x - 1 = x + 3
2 ị x = 5 (nghiệm thích hợp).
Tóm lại phỷơng trình đã cho có nghiệm x = 1, x = 5
Câu III Đặt a = SA, b = SB, c = SC, a = BSC^ , b =CSA^ ,
g = ASB^ Vậy a b g p+ + = Các mặt ASB, BSC, CSA có diện tích bằng nhau, suy ra
absing = bcsina = acsinb
ị sin
a = sinb = sinc
Xem tam giác KLM có các gócK = a, L =b , M = g và cạnh LM = a áp dụng định lí hàm sin cho tam giác này, ta
đỷợc
sin
a = sinKM = sinKL
a b g ị KM = b, KL = c
Các tam giác ASB và KLM bằng nhau (c.g.c), suy raAB = c Tỷơng tự BC = a, AC = b
Trang 5Câu IVa
1)
/ 2
n n
0
π
n 1
dv sin xdx
ư
=
=
n 2
ư
= ư
= ư
/ 2
n
0
⇒ In=(n 1)Iư n 2ư ư ư(n 1)In
= +
mà :
n 1
=
n 1
n 2
Câu Va Ta có BO
JJJG
JJJG
= 6,
BA
JJJG = ( 1, 6, 2) ⇒ BAJJJG
= 41 , BO.BAJJJG JJJG
= 14 ⇒ cosB = 7
3 41 ⇒ sinB =
8 5
3 41 ,
41
Câu IVb
1) Dễ thấy CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ AE SB ⊥ AE (giả thiết)
⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC
Tương tự, chứng minh được AF ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AEF)
(nằm trong mặt phẳng cố định (CAx)) trừ điểm C, A
3
2
3V
a
2
2
2 a
≤
hay
3 1
a
3 2
S
A
D E
H I
Trang 6www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu IVa
Xét tích phân In= 02sinn xdx
Π
∫ (nẻ N).
1)Chỷỏng tỏ rằng In+2= n +1
n + 2 In 2)Chỷỏng minh rằng hàm f : N đ R
f(n) = (n + 1) In Inn+1
là một hàm hằng số
Câu Va
Trong không gian, cho các điểm A(-3, -2, 6), B(-2, 4, 4) Hãy tính độ dài đỷờng cao OO’ của tam giác OAB, (O là gốc tọa
độ)
Câu IVb
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và cạnh bên SA vuông góc với đáy Tỷõ A hạ các đỷờng vuông góc AE^ SB, AF ^ SD (E ẻ SB, F ẻ SD)
1)Chỷỏng minh rằng mặt phẳng (AEF) vuông góc với SC
2) Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC Tìm tập hợp điểm P khi S chạy trênnỷóa đỷờng thẳng Ax vuông góc với đáy (ABCD)
3)Chỷỏng minh rằng có 2 vị trí của S trên Ax sao cho hình chóp P.ABCD có thể tích V cho trỷỳỏc, với điều kiện V nhỏ hơn một giá trị V1 Chỉ rõ giá trị lớn nhất của V