Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 27 ppsx

Mỗi mặt của tứ diện cắt mặt cầu theo giao tuyến là đỷờng tròn nội tiếp trong tam giác đó chẳng hạn mặtBCD tại các trung điểm K, M, L của các cạnh các tam giác đó.. N là trung điểm của AD

Câu I

Cho hàm số bậc hai

f(x) = 2x2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m + 3

1) Với giá trị nào của m thì f(x) = 0 có nghiệm ?

2) Tìm m để f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1

3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của f(x) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = |x1x2- 2(x1+ x2)|

Câu II

Xem hàm số

y = -2x + k x + 1.2

1) Với k = 3 hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị

2) Với giá trị nào của k thì hàm số có cực tiểu?

Câu III 1) Chứng minh rằng

tg 30o+ tg 40o+ tg 50o+ tg 60o=8 3

o

2) Chứng tỏ rằng nếu trong tam giác ABC ta có

tg A + tg B = 2 cotgC

2, thì ABC là một tam giác cân

Câu I

1) Để f(x) = 0 có nghiệm, ta phải có :

∆ = + ư + + = = ưm2ư6mư ≥5 0 ⇒ ư 5 ≤ m ≤ ư 1

2) Với điều kiện trên, gọi x1, x2 là các nghiệm của f(x) = 0, x1≤x2 Thế thì

1

x

2

2

Điều kiện của bài toán được nghiệm nếu x2≥1, suy ra

2

Nếu m ≤ 3 bất phương trình được nghiệm Với m ≥ ư 3, bình phương hai vế, đi đến

2

Kết hợp các điều kiện ta được :

2

ư +

3) Theo hệ thức Vi ét

Xét hàm g(m) = m2 + 8m + 7 trên đoạn [ư 5 ; ư 1]

Đồ thị của parabol có đỉnh tại mo = ư 4, suy ra

5 mmin 1g(m) g( 4) 9

5 mmax g(m)1 g( 1) 0

Vậy

5 m 1

max | g(m) | 9

ư ≤ ≤ư = Vì A | g(m) |

2

= , vậy max A = 9

2 đạt được khi m = ư 4

Câu II

1) Với k = 3, ta có hàm số

y = ư 2x + 3 x2+ 1 Hàm số được xác định với mọi x và có đạo hàm

2

Ta có y' > 0 ⇔ 3x > 2 x2+1 , suy ra x > 0, bình phương hai vế thì được 9x2>4x2+4 ⇒ x > 2

5, từ đó lập

được bảng biến thiên

x ư∞

2

y + ∞

5

+ ∞ Các tiệm cân xiên của đồ thị :

Tiệm cận xiên về bên trái y = ư 5x ; Tiệm cận xiên về bên phải y = x

2) Trong trường hợp tổng quát hàm số có đạo hàm

2

kx

= ư +

+ , 2 3 / 2

k

y ''

= + Hàm số đạt cực tiểu tại x=xo nếu y '(x )o =0 và y ''(x )o >0, suy ra k > 0 và

2

kx =2 x + ⇒ 1 x > 0 và o k x2 2o=4x2o+ ⇒ 4 2 2

o (k ư4)x = 4 Phương trình này phải có nghiệm, vậy

2

k ư > ⇒ k > 2 4 0 Tóm lại với k > 2 thì hàm số có cực tiểu, khi đó hoành độ điểm cực tiểu là o

2

2 x

=

ư

Câu III

1) (tg30o+tg60 ) (tg40o + o+tg50 )o =

cos 20 3

2) Hệ thức đã cho có thể viết

C cos A cos B cos A cos B cos A cos B sin

2

+

Vì cosC 0

2 > , suy ra 2cosAcosB = 2 2C

sin

2 ⇒ cos (A + B) + cos (A - B) = 1 ư cos C

⇒ cos (A ư B) = 1

Do ư π < A ư B < π , ta phải có A ư B = 0 ⇒ A = B

Câu IV Mỗi mặt của tứ diện cắt mặt cầu theo giao tuyến là đỷờng tròn nội tiếp trong tam giác đó (chẳng hạn mặt

BCD) tại các trung điểm (K, M, L) của các cạnh các tam giác đó

N là trung điểm của AD thì N cũng là một tiếp điểm và MN là một đỷờng

kính của mặt cầu

Ta có : MN2= AM2- AN2=a

a 2 2

2

R =a 2

4 (bán kính).

Ta lại có : OE2= OM2- EM2= a

24

2

12 .

Suy ra chiều cao của chỏm cầu ngoài mặt (BCD) là:

EH = OH - OE =a 2

Suy ra thể tích chỏm cầu: Vc=pEH2R - EH

ổ ố

ỗỗ

ỗ ửứữữữữ pa 2(9 - 4 3)3 432

và thể tích cần tính là 4Vc

c = a + b2 2

Hai đỷờng chuẩn tỷơng ứng là

D1,2: x = ±a

c

a

= ±

Hai đỷờng tiệm cận của hypebol là y = ± b

a x.

Theo Hình vẽ, gọi H là giao điểm của đỷờng chuẩn D1với tiệm cận

y = b

a x Ta có xH=

a

a + b

2

2 2 , yH= ab

a + b2 2 , _

bởi vậy OH = xH2 + y = a

H 2

2) Gọi d là khoảng cách từ F1(c ; 0) đến tiệm cận y =b

a x (hay bx - ay = 0) Ta có

d = |bc - 0|

a + b2 2 = b

3) Theo Hình vẽ, ta cần chứng minh OH^ F1H Ta có

OHđ = (xH; yH), = F Hđ1 = (xH- c ; yH)

suy ra OH F H = x (x - c) + y =đ 1đ H H H2

= x + y - cx = a - a = 0H2

H

2 H

của D và BB1, AA1; khi đó I là giao điểm của BC1và CN, J là giao điểm của DA1và D1P

Để chứng minh I, M, J thẳng hàng ta chứng minh IN

JP =

MN

MP .

Thật vậy : IN

IC =

BN

CC1 .

Đặt NB = x, CC1= a, ta có IN = x

a IC =

x

a(CN - IN);

đặt CN = y ta có IN = x

a (y - IN) hay

xy a

ổ

ố

ỗỗ

a + x.

Tỷơng tự nhỷ trên, ta tính đỷợc : JP = xy

a - x;

JP =

a - x

a + x .

Ngoài ra : MN

NB

a - x

a + x

_

Nhû vËy : IN

JP =

MN

MP VËy I, M, J th¼ng hµng.

2) Tõ I kÎ ®ûêng th¼ng song song víi BB1c¾t B1C1t¹i I’ Tõ J kÎ ®ûêng th¼ng song song víi A1P c¾t D1A1t¹i J’ Khi trung ®iÓm K cña IJ n»m trong mp (A1B1C1D1) th× II’ = JJ’, ta cã:

II'

C I

C B =

C I / IB

C B / IB =

C I / IB (C I + IB) / IB =

1

1

1

1 1

1 1

C I / IB (C I / IB) + 1 =

a

a + x

1 1

a + x

2

vµ JJ'

A J

A J

1 JD

JA - 1

a - x

1

1 1

1 1

1

Þ JJ’ = ax

a - x.

II’ = JJ’ Û a

ax

a - x

2

Û x2+ 2ax - a2= 0 Û

Û x = -a ± a 2

Do x> 0 nªn chän x = a( 2 - 1)

VËy vÞ trÝ cña M ®ûîc chän nhû sau:

MB

B N

a - x

a - a( 2 - 1)

1

hay MB

2

1 1

_

Câu IV Một hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của khối tứ diện đều Tính thể tích của phần hình cầu nằm ngoài khối tứ diện, biết các cạnh của tứ diện đều bằng a

Câu Va Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, xem hypebol

x

-y

2

2

2

1) Tính độ dài của phần đuờng tiệm cận chắn bởi hai đỷờng chuẩn

2) Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của hypebol tới các đỷờng tiệm cận

3) Chứng minh rằng chân đỷờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đỷờng tiệm cận nằm trên đỷờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó

Câu Vb Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1 Lấy M là một điểm tùy ý trên đỷờng chéo AB1 của mặt bên

(AA1B1B) Gọi I, J lần l ợt là các giao điểm của mặt phẳng (MCD 1) với các đỷờng thẳng BC1 và DA1

1) Chứng minh ba điểm M, I, J thẳng hàng

2) Xác định vị trí của M trên đoạn AB1để trung điểm của đoạn IJ nằm trên mặt phẳng (A1B1C1D1)