S.ABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy bằng a, đỷờng cao SH = h.. 1 Tính theo a và h các bán kính r, R các hình cầu nội, ngoại tiếp của hình chóp... Giả sử M, N, P lần lượt là
Trang 1www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu I
Cho phỷơng trình
cos2x = mcos x 1 + tg2 ,
trong đó m là tham số
1) Giải phỷơng trình với m = 1
2) Tìm m để phỷơng trình có nghiệm trong đoạn [0 ; 3]
Câu II Tìm a, b, c để
|4x3+ ax2+ bx + c|Ê 1
với mọi xẻ [-1 ; 1]
Câu III Trong tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA, c = AB Giả sử 4 $A = 2 $B = $C Chứng minh rằng
1)1
1
1
c;
2) cos2A + cos2B + cos2C =5
4. Câu IVa Với mỗi số nguyên dỷơng k, đặt
Ik=
1
e
ln k
x dx
Xác định k để Ik< e - 2
Câu Va
Viết phỷơng trình các đỷờng trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh là :
M(-1, -1), N(1, 9), P(9, 1)
Câu IVb
S.ABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy bằng a, đỷờng cao SH = h
1) Tính theo a và h các bán kính r, R các hình cầu nội, ngoại tiếp của hình chóp
Câu Vb Chứng minh rằng nếu a + b³ 2, thì với mọi n ẻ N*
an+ bnÊ an+1
+ bn+1
Trang 2Câu I Điều kiện cosx
tgx
³
ỡ ớ
ùù ợùù
0
1) Đặt t = tgx, phỷơng trình đã cho trở thành
1 + t = 1 - t
t = 0
2
2 Û
-ỡ ớ
ùù ùù ùù ợ
ùù ùù ùù
Từ đóx= - +p kp
4 , x = kp, x = a + kp (k ẻ Z) trong đó tg = 1 - 5
2 a
2) Đặt t = tgx thì xẻ 0 ;
p ộ
ở
ỷ
f(t) = 1 - t
2
Ta cóf' (t) = -3t - 4t - 1
2(t + 1) 1 + t < 0
2
vớit ẻ [0 ; 3 ]
Câu II.
Trỷớc hết ta chứng minh |4x3
+ bx|Ê 1với x ẻ [-1 ; 1] Û b = -3
Thật vậy : Với b = -3 thì 4x3- 3x = x(4x2- 3)Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]
Ngỷợc lại, |4x3
+ bx|Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]: x = 1 : |4 + b| Ê 1 ị b Ê -3
x = 1
2 : |
1
b
2| Ê 1 Û b ³ -3 Bây giờ với |4x3+ ax2+ bx + c|Ê1 với x ẻ [-1 ; 1], ta xét j( )x = 4x3
+ ax2+ bx + c, j(-x) = -4x3
+ ax2- bx + c,
j( )x - - = +j( x) x bx
3
_
Trang 3mà |j(x)| Ê 1 x ẻ [-1 ; 1] ị |j(-x)| Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1] Nhỷ vậy từ (*) suy ra
|4x3+ bx| = j( )x - - Êj( x) j( )x + j(-x)
Ê
với xẻ [-1 ; 1] Û b = -3 Từ đó ta có : -1 Ê 4x3
+ ax2- 3x+ cÊ 1 với xẻ [-1 ; 1]
Với x = 1 : -1Ê 4 + a - 3 + c Ê 1 ị a + c Ê 0
Với x = -1 : -1Ê -4 +a + 3 + c Ê 1 ị a + c ³ 0 ị a + c =0 (1)
Với x = ±1
2ta cũng suy ra :
a
Từ hệ (1) và (2) suy ra a = c = 0
Vậy để |4x3+ ax2+ bx + c|Ê 1 với x ẻ [-1; 1] ta phải có a = c = 0, b = -3
Câu III 1) A + B + C =p 4A = 2B = C
Định lí hàm sin cho : a = 2Rsin p
7 , b = 2Rsin
2 7
p
c = 2Rsin 4
7
1
1
2R
1 sin2 7
sin4 7
=
ổ ố
ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ
ử ứ
ữữữ
ữữữ
ữữữ =
1 2R .
sin2
4 7 sin2
7 sin
4 7
=
1
2R .
2sin3
7 cos7 2sin
7 cos7 sin(
-3
7 )
=
1 2Rsin 7
a
2) cos2A + cos2B + cos2C = cos2A +1 + cos2B
1 + cos2C
Cũng dùng định lí hàm sin : a
sinA =
b sinB
a sinA =
b sin2A
2a .
Tỷơng tự: cosB = c
2b, cosC =
-a 2c Nhỷ vậy: cosAcosBcosC = b
2a .
c 2b
-a
-1 8
ổ ố
ỗỗ ỗ
ử ứ
ữữữ
Thay vào (*) : cos2A+ cos2B + cos2C =1 + 1
5
4.
_
Trang 4www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
Câu IVa
e 1
k
I =∫ln kdxư∫ln xdx= ư(e 1) ln kưx ln x e
1
dx (e 1) ln k 1
Phải có (e ư 1)lnk ư 1 < e ư 2 ⇒ (e ư 1)(lnk ư 1) < 0
Vì e > 1, nên suy ra lnk < 1 = lne ⇒ k < e Do k là số nguyên dương,
nên chỉ có thể chọn k = 1 hoặc k = 2
Câu Va Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
Vì NP//BC, nên đường trung trực (dM) vuông góc với NP
Ta có NPJJJG
= (8 ; ư 8), mà vectơ chỉ phương uGM
của (dM) vuông góc với NPJJJG
, suy ra có thể lấy uGM
= (1 ; 1), tức (dM) có hệ số góc k = 1, thành thử (dM) có phương trình y = (x + 1) ư 1 = x
Lập luận tương tự ta được phương trình đường trung trực (dN) : y = ư 5x + 14
và phương trình đường trung trực (d )P : y x 14
Câu IVB
1) Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp của hình chóp đều Chân H của đường cao SH là tâm cầu ngoại tiếp của tam giác đều ABC và I nằm trên SH
Ta có :
3
R 6h
+
Gọi J là tâm cầu nội tiếp của hình chóp, J cũng nằm trên SH ; hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy tại H và tiếp xúc với đáy tại H và tiếp xúc với mặt bên SBC tại điểm T nằm trên SA', với A' là trung điểm của BC, ta có r =
JH = JT Các tam giác vuông SJT và AHA' là đồng dạng suy ra
HA '=SA ' hay
ư
⇒
ah r
=
2)
2
Gọi α là góc nhọn với
2 2
2
h
a
a
6
α
2
k
α
2 cos (1 cos )
1 3cos
=
từ đây ta suy ra phương trình đối với cosα
(2 + 3k)cos α2 ư 2cosα + k = 0 (1)
Để phương trình có nghiệm, trước hết phải có
Trang 5www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
∆' = 1 ư k(2 + 3k) = ư 3k ư 2k + 1 ≥ 0 2
hay 3k2 + 2k ư 1 ≤ 0 ⇔ ư 1 ≤ k ≤ 1
3 Nhưng k > 0, vậy 0 < k ≤ 1
3
R
= chỉ có thể lấy giá trị lớn nhất k 1
3
=
Với giá trị này (1) trở thành 3cos α2 ư 2cosα + 1
3 = 0
3 (chấp nhận được) Khi đó tgα =2 2, h a 3tg a 6
α
Tóm lại với giá trị trên của h thì tỉ số r
R đạt giá trị lớn nhất bằng 1
3 Để ý rằng khi đó
⇒ SA = a, S.ABC là hình chóp đều
Câu Vb
Kết quả phải chứng minh, suy ra từ bất đẳng thức kép sau đây :
Chứng minh 1) Vai trò a, b như nhau, nên có thể coi rằng a ≥ b Cùng với a + b ≥ 2 ⇒ a + b > 0 ⇒ a > ưb ;
suy ra
a ≥ b ⇒ an≥ bn≥ ưbn⇒an+bn≥ 0
2
+
2
+
≥ 0
ta được
2) Bất đẳng thức
≤
tương đương với
(a + b)(an+b )n ≤2(an 1+ +bn 1+ )
suy ra từ giả thiết ở trên vì a ≥ b, an≥bn