2 Chứng minh rằng với mọi mạ -1, đồ thị hàm số 1 luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định tại một điểm cố định... Điểm E và F di chuyển nhỷng luôn luôn nhìn đoạn cố định SO d ới một góc
Trang 1Câu I Cho hàm số
x - m
2
1) Với m = 1, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Chứng minh rằng với mọi mạ -1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định tại một điểm cố
định
3) Xác định m để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng (1;+Ơ)
Câu II
1) Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có
a2+ b2+ c2+ d2+ e2³ a(b + c + d + e)
2) Cho aÊ 6, b Ê - 8, c Ê 3 Chứng minh rằng với mọi x ³ 1 ta đều có
x4- ax2- bx ³ c
Câu III 1) Giải phỷơng trình
2 cos23x
5 + 1 = 3 cos
4x
5. 2) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
2(sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C) < (sinA + sinB + sinC)(sin2A + sin2B + sin2C)
Trang 2Câu I
1) Đề nghị tự giải
2) Trước hết tìm điểm cố định A(x , y )o o sao cho (1) qua A với ∀m ≠ ư 1 Khi đó
2
o
o
2x (1 m)x 1 m
y
=
y (x ưm)=2x + ư(1 m)x + +1 m (∀m) ⇔ (xoưyoư1)m+y xo oư2x2oưxoư =1 0 (∀m)
2
Giải hệ đó ta được xo= ư1, yo= ư2
Dễ kiểm tra rằng m ≠ ư 1 (1) đều qua (ư1, ư2)
Mặt khác
2
y '(x)
(x m)
=
2 2
(m 1)
(m 1)
+
+ với ∀m ≠ ư1
Từ đó ta thấy, các đường cong (1) đều tiếp xúc với đường thẳng y = x ư 1 tại (ư1, ư2)
3) Muốn hàm đồng biến trong khoảng 1 < x < + ∞ thì ta cần chọn m sao cho
2
0 (x m)
ư với 1 < x < + ∞ ⇔
2x2ư4mx+m2ư2m 1 0ư ≥ trong (1 ; + ∞)
m ≤ 1
Đặt f(x)=2x2ư4mx+m2ư2m 1ư ; ∆' =4m2ư2m2+4m+ =2 2(m 1)+ 2≥0
Nếu m = ư1 thì thỏa mãn
Nếu m ≠ ư1 ta cần có
2f(1) 0 4m 1 4
≥
<
2
m 1
<
⇔ m≤ ư3 2 2 Kết luận : m≤ ư3 2 2
Câu II
1) a2+b2+c2+d2+e2 ≥ a(b + c + d + e) ⇔
ư + ư + ư + ư ≥
2) Đặt f(x)=x4ưax2ưbx
Ta có : f'(x) = 4x3 ư 2ax ư b,
f''(x) = 12x2 ư 2a = 2(6x2 ư a) Do a ≤ 6 và x2 ≥ 1 nên f''(x) ≥ 0 ⇒ f'(x) đồng biến trong khoảng [1 ; + ∞)
f'(1) = 4 ư (2a + b) ≥ 0 (do 2a + b ≤ 4)
Vậy f'(x) ≥ 0 trong khoảng [1 ; + ∞) ⇒ f(x) đồng biến trong khoảng đó Lại có
f(1) = 1 ư (a + b) ≥ 3 (do a + b ≤ ư2)
Vậy với mọi x ∈ [1 ; + ∞) ta đều có f(x) ≥ 3 ≥ c
(điều phải chứng minh)
Trang 3Câu III
1) Đặt cos2x t (| t | 1)
5 = ≤ ta sẽ tới
4t ư6t ư 3t + 5 = 0
Phương trình này có hai nghiệm t1=1, t2 1 21
4
ư
= thích hợp, còn nghiệm t3 1 21
4
+
= > 1 bị loại
Từ đó tìm ra x
2) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
0 < sinA(ưsin2A + sin2B + sin2C) + sinB(sin2A ư sin2B + sin2C) + sinC(sin2A + sin2B ư sin2C).(1)
Ta có :
ưsin2A + sin2B + sin2C = ư2sinAcosA + 2sin(B + C)cos(B ư C) = 2sinA[cos(B + C) + cos(B ư C)]
= 4sinAcosBcosC,
vậy (1) tương đương với
2
a cosBcosC + b2cosAcosC + c2cosAcosB > 0 (2)
Nếu ABC là tam giác nhọn hay vuông thì (2) hiển nhiên đúng Giả thử ABC là tam giác tù, chẳng hạn có góc A
tù Thế thì
a =b +c ư2bc cos A>b +c , do vậy (cosB, cosC > 0)
2
a cosBcosC + b2cosAcosC + c2cosAcosB > (b2+c )2 cosBcosC + b2cosAcosC + c2cosAcosB =
2
b cosC(cosA + cosB) + c2cosC(cosA + cosC) > 0
bởi vì dẫu cosA < 0 nhưng
cosA + cosB = 2 cosA BcosA B
> 0
Trang 4Câu IVb 1) Gọi K là chân đỷờng vuông góc hạ từ O xuống (d) Ta có:
sina = OK
sina. Trong tam giác vuông SOA ta có: SA2= SO2+ OA2 Nhỷng
SO =8
3
a
; SA =5
3OA =
5 3
a
sina Vậy 25
9
64
9
2
2
2x + 9
Û sin2a
=1
4ịsina= ị =1 a
0 (ở đây ta không lấy giá trị
sina = - 1
2vìa là một góc trong tam giác)
2) Đoạn SO cố định,OES OFC^ = ^ = 90o Điểm E và F di chuyển
nhỷng luôn luôn nhìn đoạn cố định SO d ới một góc vuông, do
đó E và F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO
Mặt khác E và F di chuyển nhỷng luôn luôn nằm trong mặt phẳng (S, d) cố định Vậy E và F nằm trên giao tuyến của hai mặt nói trên Giao tuyến ấy là một đỷờng tròn, kí hiệu là (g), nằm trong mặt phẳng (S, d)
HạOH ^ SK ta có H thuộc mặt cầu đỷờng kính SO
Mặt phẳng(SOK) là mặt đối xứng của hình cầu đỷờng kính SO Ta lại có mặt phẳng (S, d) vuông góc với mặt
phẳng(SOK) Do đó đỷờng tròn (g) nằm trong mặt phẳng (S, d) phải nhận SK làm trục đối xứng Do H cũng thuộc (g) nên SH chính là đỷờng kính của đỷờng tròn đó
Đảo lại : Lấy một điểm F trên (g), F khác S và khác H Nối SF, vì SF thuộc mặt phẳng (S, d) do đó SF kéo dài cắt (d)
ở B Nối OB,dựng góc vuôngBOA^ trong mặt phẳng P (A trên d) Nối SA, nó cắt đỷờng tròn (g) tại E Vì E, F nằm trên (g) nên E, F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO, do đó OE ^ SA, OF ^ SB
Vậy tập hợp các điểm E và F là đỷờng tròn (g) - giao của mặt cầu đỷờng kính SO và mặt phẳng (S, d) - trừ hai điểm S
và H
_
Trang 53) Gọi M là điểm giữa của AB Vì tam giác AOB vuông ở O nên M chính là tâm đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó Tâm I của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOAB phải nằm trên giao của mặt phẳng trung trực R của đoạn SO với đỷờng thẳng (D) vuông góc với P tại điểm M Do đó ta có MI//SO và SO = 2MI
Nối OI, nó gặp trung tuyến SM của tam giác SAB tại G’:
Ta có:G'M
MI
1
1
3. Vậy G’ trùng với tâm G của tam giác SAB Hay nói cách khác ba điểm O, G, I là thẳng hàng
_
Trang 6Câu IVa Trong mặt phẳng cho hai đỷờng thẳng (D1), (D2) có phỷơng trình
(D2) : (1 - k2)x + 2ky - (1 + k2) = 0
1) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đỷờng thẳng (D1) luôn luôn đi qua một điểm cố định
2) Với mỗi giá trị k, hãy xác định giao điểm của (D1) và (D2)
3) Tìm tập hợp các giao điểm đó, khi k thay đổi
Câu IVb Trong mặt phẳng (P), cho điểm O cố định, một đỷờng thẳng (d) cố định không đi qua O, một góc vuông
XOY∧ quay quanh điểm O : các cạnh Ox, Oy cắt (d) theo thứ tự tại A và B Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua O, lấy điểm S Gọi a là khoảng cách từ O đến (d),OAB∧ =α
1) Tính gócαkhi OS =8a
3, SA =
5
3OA.
2) Hạ OE⊥SA, OF⊥SB Tìm tập hợp các điểm E, F khi góc vuôngXOY∧ quay quanh O
3) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OSAB Chứng minh rằng 3 điểm O, G, I thẳng hàng