Chứng minh rằng các góc của tam giác đó đều nhọn và thỏa mãn hệ thức 2sin2A = tg B.tg C... Để chứng minh tam giác ABC nhọn ta chỉ cần chứng minh : A nhọn... Gọi Mx, y là điểm bất kì trên
Trang 1Câu I.
Cho hệ phỷơng trình
1
2log x - log y = 03
2
3
|x|3+ y2- ay = 0,
trong đó a là tham số
1) Giải hệ khi a = 2
2) Xác định a để hệ có nghiệm
Câu II
1) Giải phỷơng trình
cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
4 . 2) Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
a4= b4+ c4
Chứng minh rằng các góc của tam giác đó đều nhọn và thỏa mãn hệ thức
2sin2A = tg B.tg C
Câu III
1) Giải bất phỷơng trình
5x + 10x + 12 ≥ 7 - x - 2x2
2) Với những giá trị nào của a thì hàm số
y = x - 2ax + 3a
2a - x
là nghịch biến trên khoảng (1 ; +Ơ)
Trang 2Câu I 1) Khi a = 2:
1
2 0
3
2
3
3 2
3
log x log x log log
x
ỡ
ớ
ùùù
ợ
ùù
ù
+ y2-2y=0
ỡ ớ
ùù ợùù
Û
>
=
ỡ ớ
ùù ù ợ
ùù ù
Û
>
= + - =
ỡ ớ
ùù ù ợ
ùù ù
y
y
0
2 0
0
2 0
Û
>
=
=
=
-ộ
ở
ờ
ờ
ỡ
ớ
ùù
ùù
ùù
ợ
ùù
ùù
ùù
Û
y
Y
0
1
2( )
( X= -1, y = 1);(x = 1, y = 1)
2) Tìm a để hệ có nghiệm:
1
2log3x
2- log3y = 0
Û
|x|3+ y2- ay = 0
y > 0 Û y > 0
y3+ y2- ay = 0 y2+ y - a = 0
Quy về : Tìm a để phỷơng trình y2
+ y - a = 0 có ít nhất một nghiệm dỷơng:
Dy= 1 + 4a ³ 0 ị a ³ -1
4 y1,2=
- 1 1 + 4a
2
±
Để có ít nhất một nghiệm dỷơng cần và đủ là - 1 + 1 + 4a
2 > 0ị a > 0 Đáp số : a > 0
Câu II 1) Giải cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
4
Û cos2xcosxcos3x + sin2xsinxsin3x = 2
4
Û1 + cos2x
2 .
cos4x + cos2x
1- cos2x
2 ´cos2x - cos4x
2 4
Trang 3Û (1 + cos2x) (cos4x + cos2x ) + (1 - cos2x) (cos2x - cos4x) = 2
Û 2cos2x + 2cos2xcos4x = 2 Û 2cos2x + 2cos2x(2cos22x - 1) = 2
Û cos32x = 2
4 =
2 2
3
ổ ố
ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữữ Ûcos2x = 2
2 Û 2x = ± p4 + 2kp Û
Û x = ± p p
8 + k ( kẻ Z).
2) Ta có : a4= b4+ c4ị a > b, a > c ị A > B, A > C
Để chứng minh tam giác ABC nhọn ta chỉ cần chứng minh : A nhọn
Ta có
b
a < 1
b
a <
b a
4 2
ổ ố
ỗỗ
ỗ ửứữữữữ ổốỗỗỗ ửứữữữữ ị c
a < 1
c
a <
c a
4 2
ổ ố
ỗỗ
ỗ ửứữữữữ ổốỗỗỗ ửứữữữữ
ị b + c
a = 1 <
b + c a
4 4
4
2 2
2 Û b2+ c2> a2
Mặt khác theo định lí hàm số cosin: cosA = b + c - a
2bc
2 2 2
> 0 ị A nhọn;
tgBtgC = sinBsinC
cosBcosC =
sinBsinC
a + c - b 2ac .
a + b - c 2ab
=
2 2 2 2 2 2
= 4a bcsinBsinC
(a + c - b ) [a - (c - b )] =
4a bcsinBsinC
2
2 2 2 2 2 2
2
a - (c - b )4 2 2 2 == 4a bcsinBsinC
a - (b + c ) + 2b c =
2a sinBsinC
2
4 4 4 2 2
2
=2.4R sin AsinBsinC
4R sinBsinC = 2sin A
2 2
2
2 (trong đó R - bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp)
Câu III 1) Giải 5x + 10x + 12 ³ 7 - x - 2x2
Û 5(x + 2x) + 12 ³ 7 - (x2+ 2x) (1)
Đặt x2+ 2x = y ta có:
Trang 4(1) Û 5y + 1 ³ 7 - y
7 - y < 0
Û y > 7 5y + 1 ³ 0
5y + 1 ³ (7 - y)2 y2- 19y + 48 Ê 0
Û y ³ 3 Trở lại ẩn x: x2+ 2x ³ 3 Û x2+ 2x - 3 ³ 0 Û x Ê -3 hoặc x ³ 1
2) y’ =-x + 4ax - a
(2a - x)
2 y nghịch biến với mọi x> 1
2 1
1 2
a
a
Ê
ỡ ớ
ùù ợùù
Ê
ỡ ớ
ùùù ợ ùùù
Khi x>1
khi x > 1
Ta tìm a để : f(x) = x2- 4ax + a2³ 0, "x > 1 D‘= 4a2- a2= 3a2³ 0 ị f(x) ³ 0, "x > 1 khi và chỉ khi
a
a a a
( )1 1 4 0
2 1
2 3
2 3 1 2
2
Ê
ỡ
ớ
ùù
Ê
-³ +
ộ ở
ờ ờ ờ
Ê
ỡ ớ
ùù ùù ợ
ùù ùù
Đáp số : aÊ 2 - 3
Trang 5Câu IVa
1) Tọa độ của A, B, C theo thứ tự là nghiệm của các hệ
⇒ A(ư2, 3) ;
=
1
4
;
=
⇒ C(2, 0)
Gọi M(x, y) là điểm bất kì trên phân giác trong của góc A
Khoảng cách đại số từ M đến (D )1 và (D )2 là :
1
t
5
5
=
Vì M(x, y) và nG1
= (3, 4) khác phía đối với (D )1 nhưng M(x, y)
và nG2
= (4, 3) lại cùng phía đối với (D )2 nên ta có
t1 3x 4y 6
5
2
t
5
Từ đó ta có phương trình phân giác trong của góc A là : x + y ư 1 = 0
Tính diện tích ∆ ABC :
ABC
1
2
= AH = 3,
2
= = (đvdt)
2) Phương trình phân giác trong của góc B :
4x 3y 1
5
= y hay 4x ư 2y ư 1 = 0
Gọi I(x , y )1 1 là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC ⇒ x , y1 1 là nghiệm của hệ
+ ư =
1
2
Bán kính r của đường tròn nội tiếp ∆ABC :
r = IK (khoảng cách từ I đến (D )3 ),
vậy r y1 1
2
Phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC :
I
x
y A(-2,3)
C(2,0)
3
0
D D
D
1 1
2
2 3
3
n
n K B M
4
Trang 6www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
C©u IVb
1) Theo gi¶ thiÕt I, K lµ trùc t©m cña ∆SBC, ∆ABC nªn AK ⊥ BC,
c¾t BC t¹i P ; SP ⊥ BC nªn SP ph¶i qua I
NF (CKI) nªn giao tuyÕn lµ KI
K lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng cao QI, PA trong ∆SQP ⇒ SK ⊥ QP
2) ∆KAQ ~ ∆SAP ⇒ AQ AP
KA=SA ⇒
2
a AQ 2x
= ;
V = 1
6(SA + AQ).AP.BC =
+
⇒ V ≥ a2 3.2 x.a2 a3 6
12 2x = 12 ⇒
3
min V
12
= khi
2
a x 2x
2
A
B
C
E
M I
Q
F
S d
x
Trang 7Câu IVa.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 đ ờng thẳng
(D1) : 3x + 4y - 6 = 0,
(D2) : 4x + 3y - 1 = 0,
(D3) :y = 0
Gọi : A = (D1)∩(D2), B = (D2)∩ (D3), C = (D3)∩(D1)
1) Viết phỷơng trình phân giác trong của góc A của tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó
2) Viết phỷơng trình đỷờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu IVb.
Cho tam giác nhọn ABC, đỷờng thẳng (d) qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Trên (d) lấy điểm S với
AS = x >0 Gọi I là trực tâm tam giác SBC, K là trực tâm tam giác ABC.Đỷờng thẳng IK cắt (d) tại Q.
1) Chứng minh rằng AK cắt SI tại một điểm P, IK^ (SBC), PQ ^ SK
2) Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a Tính thể tích V của hình chóp S.QBC theo a và x ; xác định x để V nhỏ nhất