2 Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k... Do đó trong các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị C từ các điểm trên đường thẳng y = 7, thì đường thẳng này là một tiếp tuyến cố định.. Vậy hệ luôn có ng
Trang 1Câu I 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y =2x - x + 1
x-1
2
2) Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đỷờng thẳng y = 7 ?
3) Chứng tỏ rằng trên đỷờng thẳng y = 7, có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450
Câu II Cho hệ phỷơng trình
x2- 4xy + y2= k
y2- 3xy = 4
1) Giải hệ với k = 1
2) Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k
Câu III 1) Giải phỷơng trình
2 (2sinx-1) = 4(sinx-1) - cos(2x+π4) - sin(2x+π
4).
2) Tìm số k lớn nhất để trong mọi tam giác ABC ta đều có
sin2A + sin2B > k sin2C
Trang 2
Câu I
1) y 2x 1 2
x 1
ư Miền xác định : x ≠ 1 Tiệm cận đứng : x = 1 ; tiệm cận xiên y = 2x + 1 Đạo hàm
y ' 2
(x 1) (x 1)
ư
Bảng biến thiên
y
+∞
Đồ thị (Hình vẽ)
2) Đường thẳng y = 7 tiếp xúc với đồ thị tại điểm (2, 7), vậy nó là một tiếp
tuyến của đồ thị Do đó trong các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm
trên đường thẳng
y = 7, thì đường thẳng này là một tiếp tuyến cố định
3) Giả sử A(a, 7) là một điểm trên đường thẳng y = 7, từ đó có thể kẻ đến
đồ thị hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45o Vì y = 7 đã là một tiếp tuyến,
và là đường thẳng nằm ngang, nên tiếp tuyến kia phải có hệ số góc ± 1
Gọi M(x , y )o o là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai này với đồ thị Ta có
o
2
1 y '(x ) 2
(x 1)
ư ⇒ xo= ±1 2, o= ±
2 x
3 Như vậy trên đồ thị có 4 điểm tại đó tiếp tuyến có hệ số góc ± 1
Bốn tiếp tuyến này cắt đường thẳng y = 7 tại 4 điểm phải tìm
Câu II
1) Với k = 1 ta có hệ
2
y 3xy 4
4(x ư4xy+y )=y ư3xy
⇔ 4x2ư13xy 3y+ 2 =0 ⇔ x = 3y, x y
4
= Với x = 3y phương trình thứ 2 trở thành ư8y2=4 : vô nghiệm
Với x y
4
= phương trình thứ hai trở thành y2=16, vậy hệ có nghiệm
x 1
y 4,
=
=
= ư
= ư
2) Trong trường hợp tổng quát, từ phương trình thứ hai suy ra y ≠ 0, vậy
2
x 3y
ư
= Thế vào phương trình đầu
và rút gọn ta được
Trang 3
11y +(9kư49)y ư16= 0 Với mọi k, phương trình luôn có nghiệm y2 > 0 Tính được y, suy ra x Vậy hệ luôn có nghiệm
Câu III
1) Biến đổi 2 (2sinx ư 1) = 4(sinx ư 1) ư 2cos2x == 4(sinx ư 1) ư 2 (1 ư 2 sin x2 )
thì đi đến
2 sin x+( 2ư1)sin xư 2= 0
⇔ sinx = ư 2 loại, sinx = 1 ⇒ x 2k
2
π
= + π (k ∈ Z)
2) Ta cần tìm số k lớn nhất để ta có
a +b >kc (1) với mọi tam giác ABC Để ý rằng
c < a + b ⇒ c2< +(a b)2≤(a2+b )2 ⇒
2
c
2 < + , suy ra k 1
2
≥ Mặt khác xét tam giác cân có a = b, thế thì (1) trở thành
2a >k(2a ư2a cosC) ⇒
2
1 k
C 2sin 2
<
bất đẳng thức này phải đúng cho mọi góc C trong tam giác cân ABC Cho C → π, suy ra 1
k 2
≤ Vậy 1
k 2
=
Trang 4Câu IVa 1) f’(x) = 2x - 8x
(8x + 1)
4
3 2,
vậy hàm số có bảng biến thiên trên[0 ; +Ơ)
6 23
Tiệm cận là y = 0
2) Diện tích phải tìm là
0
1 2
3
0
3
3
0
1
x dx
8x + 1 =
1 24
d(8x + 1) 8x + 1 =
1
24ln(8x + 1) =
ln
Câu IVb 1) SAB, SAC là những tam giác vuông tại A ; AB’, AC’ là các đỷờng cao hạ xuống cạnh huyền của các tam giác ấy, vậy SB’.SB =SA2= = SC’.SC (1), từ đó suy ra BCC’B’ là tứ giác nội tiếp Từ (1) ta cóSB'
SB SB = SC'SC SC
nên nếu B’C’//BC, thìSB'
SB = SC'SC , suy ra SB = SCị AB = AC, trái với giả thiết ABC không phải là tam giác cân.
2) Xét đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đỷờng kính AD : AB’ ^ SB ị AB’ ^ (SBD) ị
AB’^ SD Tỷơng tự AC’ ^ SD Vậy (AB’C’) là mặt phẳng vuông góc với SD ị AI ^ SD.
Trang 5VìAI ^ SA nên AI ^ (SAD) ị AI ^ AD Vậy AI là tiếp tuyến tại A
của đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra IAB ICA^ = ^ (để ý
rằng kết quả không phụ thuộc vào việc B nằm giữa I, C hay C nằm
giữa I, B)
Trang 6Câu IVa Cho hàm số
f(x) = x2
8x3 + 1
với tập xác địnhR+
= [0 ; +Ơ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm y = f(x)
2) Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và đỷờng thẳng
x = 1
Câu IVb
Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy ; đáy ABC không phải là một tam giác cân Gọi B’, C’ là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC
1) Chứng tỏ rằng BCC’B’ là một tứ giác nội tiếp, có các cạnh BC, B’C’ không song song với nhau
2) Gọi I là giao điểm của các đỷờng thẳng BC, B’C’ Chứng minh rằng :
IAB∧ = ICA∧
