2 Xác định a để hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.. Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông... 1 Gọi α là góc tạo bởi mặt phẳng BDM với đáy... Trên các nửa đỷờng thẳng Ax, C
Trang 1Cho hàm số y = x4 + 8ax3 + 3(1 + 2a)x2 - 4.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0
2) Xác định a để hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại
Câu II 1) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện
3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông
2) Giải phỷơng trình
sin2x + 1
4sin
2
3x = sinxsin23x
Câu III
1) Chứng minh rằng nếu n là một số tự nhiên chẵn, và a là một số lớn hơn 3, thì phỷơng trình
(n + 1)xn+2- 3(n + 2)xn+1+ an+2= 0
không có nghiệm
2) Giải và biện luận theo a hệ bất phỷơng trình
2
Câu I
Trang 2Câu I 1) Đề nghị bạn hãy tự giải nhé!
2) Ta có: y’ = 4x3+ 24ax2+ 6(1 + 2a)x = 2x[2x2+ 12ax + 3(1 + 2a)]
y’ luôn có nghiệmxo= 0 với mọi a Để hàm chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại thì:
a) hoặc tam thứcf(x) = 2x2+ 12ax + 3(1 + 2a) không có nghiệm;
b) hoặc f(x) có nghiệm képx1= x2ạ 0 ;
c) hoặc f(x) có nghiệmxo= 0 (Đề nghị giải thích !)
D‘ = 6(6a2- 2a - 1)
Trỷờng hợp 1 Û D‘ < 0 Û 1 - 7
6 < a <
Trỷờng hợp 2 Û D'
=
ạ
ỡ ớùù
= +
ỡ ớ
ùùù ợ
ùù ù
0
6
f
a a
Ûa = 1 ± 7
Trỷờng hợp 3 Û f(0) = 0 Û 3(1 + 2a) = 0 Û a = - 1
2.
Vậy ta đỷợc 1 - 7
6
2 .
Câu II 1) Ta có 3cosB + 4sinB Ê 3 + 42 2 = 5,
dấu = chỉ xảy ra khi cos B = 3
5 , sin B = 45. (1)
Tỷơng tự 6sinC + 8cosC = 2(3sinC + 4cosC) Ê 10, dấu = chỉ xảy ra khi sinC = 3
5, cosC = 45.(2) Thành thử đẳng thức 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
khi ta có đồng thời (1) và (2), mà B và C là hai góc của một tam giác, vậyB = p
2 - C và A = p2. 2) Viết lại phỷơng trình:
_
Trang 3sin2x + 1
4sin
23x - sinxsin23x = 0 Û (sinx - 1
2sin
23x)2+ 1
4sin
23x(1 - sin23x) = 0
Thay 1 - sin23x = cos23x vào ta đỷợc :
(sinx - 1
2sin
23x)2+ 1
16sin
26x = 0 Û sin sin ( )
x
=
=
ỡ ớ
ùùù ợ
ùù ù
1
2
Giải (2) ta đỷợc x = k p
6. Cần chọn k nguyên sao cho:
sin k
6 = 12sin 3k6
2
6 = 12sin k2 6
ỡ ớ
ùùù ợ
ùù ù
1
Nếu k = 2m thì : Sin sin2 sin
mp= Û mpÛ =m n vậy k = 6n (n nguyên).
Nếuk = 2m + 1 thì :sin(2m + 1) p
6 = 12 Khi đó :(2m + 1) p
6 = 6 + 2n hoặc (2m + 1) p
6 = 56 + 2n
Từ đó sẽ đỷợc k = 1 + 12n hoặc k = 5 + 12n
Kết luận : Phỷơng trình ban đầu có ba họ nghiệm là x1= np, x2= p
6 + 2np, x3= 56p + 2np (n nguyên)
Câu III 1) Đặt f(x) = (n + 1)xn+2- 3(n + 2)xn+1+ an+2ta có
f’(x) = (n + 1)(n + 2)xn+1- 3(n + 1)(n + 2)xn= (n + 1)(n + 2)xn(x - 3)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên f’(x) có dấu của (x - 3), trừ khi x = 0 và x = 3 thì f’(x) = 0, ta có bảng biến thiên của hàm
số f(x) nhỷ sau :
m
Trang 4vớim = an+2- 3n+2.
Nhỷ vậy, nếu a > 3 thì m > 0, do đó f(x) luôn dỷơng, chứng tỏ rằng phỷơng trình f(x) = 0 vô nghiệm
2) Viết lại hệ nhỷ sau :
(x2- 1)(x - 2) ³ 0 (1)
(x - a)[x - (2a + 1)] Ê 0.(2)
a) Giải (1) sẽ đỷợc nghiệm là : -1 Ê x Ê 1 hoặc 2 Ê x < +Ơ
b) Giải (2) :
Nếua> 2a + 1(a < - 1) thì nghiệm của (2) là :2a + 1 Ê x Ê a (< -1)
Nếua Ê 2a + 1 (a ³ -1) thì nghiệm của (2) là a Ê x Ê 2a + 1
c) Kết hợp nghiệm :
Nếua < -1 thì dễ thấy hệ vô nghiệm
Nếua ³ 2 thì nghiệm của hệ là a Ê x Ê 2a + 1
Nếu1 < a < 2 thì nghiệm của hệ là 2 Ê x Ê 2a + 1 (vì khi đó : 3 < 2a + 1 < 5)
Nếu 1
2 Ê a Ê 1 thì nghiệm của hệ là :a Ê x Ê 1 hoặc
2 Ê x Ê 2a + 1 (vì lúc đó : 2 Ê 2a + 1 Ê 3)
Nếu0 Ê a < 1
2thì nghiệm của hệ là: a Ê x Ê 1
(lúc đó :1 Ê 2a + 1 < 2)
Nếu-1 Ê a < 0 thì nghiệm của hệ là :
a Ê x Ê 2a + 1 (lúc đó - 1 Ê 2a + 1 < 1)
_
Trang 5Câu IVa Trong mặt phẳng, các đường thẳng
1 1
(d)
y y nt , (d')
2 2
theo thứ tự có vectơ chỉ phương u(m;n)G , v(p;q)G
1) Để (d) và (d') cắt nhau : uG không song song với vG ⇔ mp ư np ≠ 0
2) Để (d) // (d') ⇔ u // vG G ⇔ mq ư np = 0
3) Để (d) trùng với (d') : trước hết phải có (d) // (d'), tức là mp ư np = 0
Sau đó phải tồn tại to sao cho
+ =
Khử to ra khỏi hệ này, ta được : m(y1ưy ) n(x2 = 1ưx ).2
Vậy điều kiện phải tìm là
mq np 0
mq np 0
4) Để (d) ⊥ (d') ⇔ uG⊥vG ta cần có mp + nq = 0
Câu IVb
1) Gọi α là góc tạo bởi mặt phẳng (BDM) với đáy Để xác định α,
kẻ AK ⊥ BD Theo định lí ba đường vuông góc, MK ⊥ BD,
nên
ab AK
= + ,
tg
+
Tương tự, nếu β là góc tạo bởi mặt phẳng (BDN) với đáy,
thì
tg
ab
+
β =
Để các mặt phẳng (BDM) và (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là α + β =90o hay
2 2
1 tg tg
a b
+
a b xy
=
3
Ta có
dt(BDC) dt(BDN)
cos
=
β ,
mà
2
β
2
Trang 6www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
V
+
=
+
do hÖ thøc ë phÇn 1)
V nhá nhÊt nÕu x2+y2 nhá nhÊt, mµ ta cã x2 y2 2xy 2a b22 22
dÊu = x¶y ra khi
ab
x y
= =
2 2
V
=
+
Trang 7Câu IVa Trong mặt phẳng, cho 2 đỷờng thẳng
= +
= +
1 1
= +
= +
2 2
' '
(x1, y1, x2, y2là 4 số cố định) Tìm điều kiện cần và đủ (viết theo m, n, p, q) để các đỷờng thẳng ấy :
1) cắt nhau ;
2) song song với nhau ;
3) trùng với nhau ;
4) vuông góc với nhau
Câu IVb
Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b Trên các nửa đỷờng thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), lấy các điểm M và N Đặt AM = x, CN = y
1) Tính tang các góc nhị diện do các mặt phẳng (BDM), (BDN) tạo với (P) Từ đó suy ra rằng để các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là
xy = a b
a + b
2 2
2) Với giả thiết các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, hãy tính thể tích tứ diện BDMN Khi nào thì thể tích ấy nhỏ nhất?