Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, xem điểm A2, 0 và điểm M di chuyển trên đỷờng tròn C tâm O, bán kính 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Oy.. 1 Tính góc nhọnj
Trang 1Câu I Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2+ 1
x. Câu II Giải và biện luận theo tham số a bất phỷơng trình 2x + 32 < x - a
Câu III
1) Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 60okhi và chỉ khi
sinA + sinB + sinC
cosA + cosB + cosC = 3.
2) Một tứ giác lồi có 4 cạnh là a, b, c, d, và diện tích là S Chứng minh rằng
SÊ 1
2(ab + cd).Khi nào thì xảy ra dấu đẳng thức?
Câu IVa
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, xem điểm A(2, 0) và điểm M di chuyển trên đỷờng tròn (C) tâm
O, bán kính 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Oy
1) Tính các tọa độ của giao điểm P của các đỷờng thẳng OM và AH theo góc a= OA OMổ đ đ
ỗ , ửứữ
2) Xác định và vẽ tập hợp điểm P khi M chạy trên (C)
Câu IVb
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, cạnh SA = h vuông góc với đáy Gọi D
là trung điểm cạnh AB
1) Tính góc nhọnj giữa các đỷờng thẳng AC và SD
2) Tính khoảng cách giữa các đỷờng thẳng AC và SD
3) Tính khoảng cách giữa các đỷờng thẳng BC và SD
_
Trang 2Câu I Bạn hãy tự giải nhé!
Câu II Bất phương trình xác định với ∀x Vì vế trái dương nên ta chỉ có thể tìm nghiệm trong khoảng
a < x < + ∞
Khi đó, ta có thể bình phương 2 vế được :
2x + <3 x ư2ax a+ ⇔ x2+2ax 3 a+ ư 2<0 (*)
| a | 2
≤ thì bất phương trình (*) vô nghiệm
Nếu ∆' > 0 ⇔ 6
| a | 2
> thì (*) nghiệm đúng với ưa+ 2a2ư3< < ư +x a 2a2ư3
Xét f(x) x= 2+2ax 3 a+ ư 2, ta có f(a) 2a= 2+ >3 0 và s/2 = ưa
Xem hình vẽ ta kết luận :
a
2
> thì bất phương trình (*) vô nghiệm
a
2
ư
< thì nghiệm của bất phương trình (*) là :ưa+ 2a2ư3< < ư +x a 2a2ư3
Câu III
1) (Đề nghị bạn đọc tự chứng minh rằng với mọi tam giác ABC,
2) ta luôn có : cosA + cos B + cosC > 1)
Khi đó sin A sin B sin C
3 cosA cosB cosC
=
⇔ +π+ +π+ +π=
⇔ 8cos(A B / 3)cos(B C / 3)cos(C A / 3) 0
6
π ư
< < Vì vậy (*) ⇒ 4 3C
= ⇒ C 60o
3
π
2) a) Trường hợp 1 : a đối diện với e Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B D 90l= =l o
b) Trường hợp 2 : a đối diện với b
Ta chọn điểm D' sao cho ∆ ACD = ∆ CAD' và đưa về trường hợp trên
b b
Trang 3Câu IVa 1) Điểm P có tọa độ
xP= OPcosa, yP= OPsina
Để tính OP, xét các tam giác đồng dạng PMH và POA (Hình vẽ)
Ta có
OP
OM =
OA
OA - MH =
2 2(1 + cos )a
(MH = - HM = - 2cosa), vậy OP = 2
1 + cosa , do đó
xP= 2cos
1 + cos ,
a
a
y = 2sin
1 + cos
a . 2) Ta có
(1 + cos ) = 4(1 - cos )(1 + cos ) = 4(1 - cos )1
P
2
2 2
a a
a a
a + cosa = 4 -8cos
1 + cos
a
a = 4 - 4xP= 4(1 - xP).
Kết quả này chứng tỏ điểm P nằm trên parabol y2= 4(1 - x)
Ngỷợc lại, lấy Polà một điểm tùy ý thuộc parabol y2= 4(1 - x) Hiển nhiên phải cóxPo Ê , do đó1
- 1 < x
2 - x
P
P
o
o
Ê 1,
vậy tồn tại góc a (- p < a < p) sao cho cosa = x
2 - x
P P o
o
1 + cos Po
a
a .
Ta xác địnhyPo bởiy = 2sin
1 + cos
a ,
thế thì Polà giao điểm của các đỷờng thẳng OMovà AHo, với Mo= (2cosa , 2sina) và Holà hình chiếu vuông góc của Molên Oy
_
Trang 4Thành thử tập hợp điểm P là toàn bộ parabol y2= 4(1 - x).
Câu IVb 1) Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm H sao cho
AH^AC và DH ^ AC Khi đó j = SDH^ Vì AH^ DH, nên theo
định lí ba đỷờng vuông góc, SH ^ DH, vậy
tgj = SH
DH =
b + 4h a
2) Vì AC // DH, nên AC // (SDH), khoảng cách giữa AC và SD là
khoảng cách từ AC đến mặt phẳng (SDH), cũng là khoảng cách từ A
đến (SDH) Trong tam giác vuông SAH, kẻ AK^ SH Vì AK ^ DH
nên AK^ (SDH), vậy khoảng cách phải tìm là AK Ta có
1
AK = 1AS +
1 AH
b + 4h2 2
3) Gọi I là trung điểm của AC, ta có DI // BC, vậy khoảng cách
giữa BC và SD là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SID), suy ra
đó là khoảng cách từ C đến SI Tam giác SIC có diện tích
S = 1
2IC.SA =
1
4 ah,vậy khoảng cách phải tìm bằng
d = 2S
SI =
ah
a + 4h2 2
_