Chứng tỏ rằng với mọi điểm M trên đỷờng thẳng IJ ta luôn có JA JB MA MB IA IB Câu IVa... Cộng các vế tỷơng ứng thì đi đến kết quả cần chứng minh... Vậy phỷơng trình đã cho không có nghiệ
Trang 1Câu I 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x3- x2.
2) Giả sử đỷờng thẳng y = a cắt đồ thị (C) tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3 Tính tổngx + x + x12
2
2 3
2
Câu II 1) Giải bất phỷơng trình 1+ - - Êx 1 x x
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, thì ta có a2+ b2+ c2< 2(ab + bc + ca)
Câu III 1) Giải phỷơng trình cotg2x + cotg3x + 1
sinx sin2x sin3x = 0.
2) Tứ giác IAJB có các góc A và B vuông, IA > IB Chứng tỏ rằng với mọi điểm M trên đỷờng thẳng IJ ta luôn có JA
JB
MA
MB
IA IB
Câu IVa 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có xdx k xdx
k n
ũ <ồ <ũ
=
2) Từ kết quả trên, hãy suy ra
k=
ồ <
1
100
676;
n
đ+Ơổốỗỗỗỗ 1 ồ= ửứữữữữữ = 2
3 3
1
Câu IVb Một hình chóp cụt đều có các đáy là các hình vuông với cạnh là a và 2a Chiều cao hình chóp cụt là h 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp cụt
2) Xác định quan hệ giữa a và h sao cho tồn tại một hình cầu tiếp xúc với 4 cạnh bên và 2 đáy
3) Tính tỉ số diện tích của hai phần mặt cầu đỷợc tách ra từ mặt cầu nói trên bởi mặt phẳng (P) qua các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh bên
4) Tính tỉ số thể tích của 2 phần hình cầu đỷợc tách bởi mặt phẳng (P)
Trang 2Câu I 1) Bạn hãy tự giải nhé!
2) x1, x2, x3là nghiệm của phỷơng trình 2x3
- x2- a = 0Û x3
- x
2 - a2
2
= 0
ị x3
- x
2 - a2
2
= (x - x1)(x - x2)(x - x3) Từ đó suy ra x1+ x2+ x3=1
2, x1x2+ x2x3+ x3x1= 0.
Vậy :x + x + x12
2
2 3
2 = (x1+ x2+ x3)2- 2(x1x2+ x2x3+ x3x1) =1
4.
Câu II 1) Điều kiện để các căn có nghĩa : - 1 Ê x Ê 1.
Khi đó nhân hai vế với 1 + x + 1 - x > 0, ta đỷợc bất phỷơng trình tỷơng đỷơng
2xÊ x( 1 + x + 1 - x) (1) Nếu x = 0, (1) đỷợc nghiệm Nếu 0 < x Ê 1, (1) tỷơng đỷơng với
2Ê 1 + x + 1 - x Û 4 Ê 2 + 2 1 - x2 Û 1 Ê 1 - x2
không đỷợc nghiệm Nếu - 1 Ê x < 0, (1) tỷơng đỷơng với
2³ 1 + x + 1 - x Û 1 ³ 1 - x2 đ ợc nghiệm Vậy đáp số là - 1Ê x Ê 0
2) Vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, nên
|b - c| < aÛ (b - c)2
< a2, |c - a| < bÛ (c - a)2
< b2, |a - b| < cÛ (a - b)2
< c2 Cộng các vế tỷơng ứng thì đi đến kết quả cần chứng minh
Câu III 1) Điều kiện : sinxsin2xsin3x ạ 0 Biến đổi phỷơng trình đã cho dỷới dạng
sin5x
sin2xsin3x +
1 sinxsin2xsin3x= 0ị sinxsin5x = - 1.
Vậy phải có:
a) Hoặc sin
sin
x
x
=
=
-ỡ
ớ
ùù
ợùù
1
Trang 3Vì sinx = 1ị x = p
2 + 2kp (k ẻ Z) ị5x = p2 + 2k’p ị sin5x = 1 mâu thuẫn
b) Hoặc sin
sin
x
x
=
-=
ỡ
ớ
ùù
ợùù
1
Lập luận nhỷ trên, ta gặp mâu thuẫn
Vậy phỷơng trình đã cho không có nghiệm
2) Tứ giác IAJB đ ợc nội tiếp trong đỷờng tròn đỷờng kính IJ = 2R Gọi O
là điểm giữa của IJ, đặtIOA^ = a,IOB^ = b Thế thì
IA = 2Rsina
2, IB = 2Rsin
b
2, JA = 2Rcos
a
2, JB = 2Rcos
b
2.
Từ IA > IB suy ra JA < JB Ta định hỷớng đỷờng thẳng IJ theo hỷớng từ J đến I (Hình 71), lấy O làm gốc tọa độ, đặt
OM = x Thế thì
AM2= R2+ x2- 2Rxcosa = (R - x)2+ 4Rxsin2a
2, BM
2
= R2+ x2- 2Rxcosb = (R - x)2+ 4Rxsin2 b
2.
2 > sin 2> 0, 0 < cos
2 < cos2 , nên
a) nếu x³ 0 (I và M ở cùng phía đối với O) thì AM2³ BM2
và ta có
1Ê AM
(R - x) + 4Rxsin
2 (R - x) + 4Rxsin
2
2 2
a
b Ê
sin 2 sin 2
= IA IB
2 2
2 2
a
b) nếu xÊ 0 (J và M ở cùng phía đối với O) thì AM2Ê BM2
và ta có
1³ AM
(R + x) - 4Rxcos
2 (R + x) - 4Rxcos
2
2
2
a
b ³
cos 2 cos 2
= JA JB
2 2
2 2 a
b Từ đó suy ra kết luận.
Trang 4Câu IVa
1) k≤ x nếu k ≤ x ≤ k + 1 và k ≥ x nếu k ư 1 ≤ x ≤ k ⇒
⇒
=
2) Ta có :
n 0
n
3/ 2 3/ 2 0
n 1
3/ 2 1
2 xdx [(n 1) 1]
3
+
do đó
n
k 1
3 <∑= < 3 + ư (*)
a) Với n = 100 và n = 99 ta có :
100
k 1
k 666,6
=
>
k 666 666,6 k 666 10 676
> ⇒ < < + =
b) Từ (*) ⇒
3/ 2 n
k 1
k
3 n
Câu IVb
1) 1 7 2
V h(B B' BB') a h
= + + = Đường trung đoạn d = 2+a2 =1 2+ 2
4 2
Vậy = + 2+ 2
toàn phần
S a(5a 3 4h a )
2) Hình cầu đường kính OO' = h tiếp xúc với 4 cạnh bên khi và
chỉ khi h
IJ (IJ AA'
2
= ⊥ , I là tâm hình cần) Dễ thấy ∆ AIA' vuông ở I, do đó :
IJ JA'.JA O'A'.OA 2.a 2 a
2
2 2 h a 2
=
⇒ h = 2a
3) Schỏm cầu= π2 Rh
Ta có : CC1 1
CC2 2
a 2
S =h = OK = JA = a 2 = 2
4)
π
= π ư = π ư =
= ư = π ư =
