Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm trên đồ thị C các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x+4.. Tính thể tích của khối chóp.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2011
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y 2x 1
x 1
-
=
-
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x+4.
Câu II (2,0 điểm)
1.Giải phương trình 1 cos x 1 2sin x 2 sin2 x tan x
2 Giải hệ phương trình : xy2 y 2 2x 2 2
+ - =
ì
í
î Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I=
1
0
6
9 3.6 2.4
x
dx
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AD=2a, AB=BC=CD=a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng a 2 . Tính thể tích của khối chóp. Câu V: (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A và đường cao tương ứng
đỉnh C có phương trình lần lượt là d1: xy=0, d2: x+2y+3=0. Biết đỉnh B thuộc trục Oy và M(0;1) là điểm
của thuộc đường thẳng AC. Tìm toạ độ ba đỉnh của tam giác.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(2;0;0). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OH.
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 )
2 1
1
i z
i
+ + =
Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Cho (P) y 2 = x và đường thẳng (d): x – y – 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm điểm C thuộc cung AB sao cho DABC có diện tích lớn nhất
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng( ) P : x + 2 y - z + 5 = 0 , đường thẳng d:
3 2
1
3
= - +
ì
ï
= - +
í
ï = +
î
và điểm A( -2; 3; 4). GọiD là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm trên
D điểm M sao cho độ dài AM ngắn nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z sao cho z i
z i
- + có một acgumen bằng 2
p
và z+ =1 z i - ……….Hết………
Họ và tên thí sinh , Số báo danh www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu
ý
I.1 *Tập xác định : D = ¡ \ 1 { }
Tính
2
1
( 1)
x
-
= < " Î
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥ ;1) và (1;+¥ )
*Hàm số không có cực trị
Giới hạn
1 +
®
= +¥
x lim y
1 -
®
= -¥
x lim y
2
®+¥
=
®-¥
=
x lim y
Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2
*Bảng biến thiên
y
*Vẽ đồ thị
0.25
0.25
0.25
0.25 I.2
*Xét đt dm vuông góc vơi d: y= 1
2 x+ m . PT hoành độ giao điểm của dm với
(C): 2 1 1
x
x m
x
-
1
¹
ì
í
ï
x
m
*Gọi x1, x2 là các nghiệm của PT(1): Þx1+x2 = - 5 2 m . Toạ độ giao điểm của dm với
(C): 1;1 1 , 2; 1 2
A xæç x +mö÷ B xæç x + m ö ÷
è ø è ø .Gọi I là trung điểm của AB thì
5 2 5 2
;
*A,B đối xứng nhau qua d 3
2
2 1 0
1 2
x
x
é = -
- - = Û ê
= +
ê
.
Vậy 1 2;4 2 , 1 2; 4 2
là cặp điểm cần tìm.
0.25
0.25
0.25 0.25
II.1
*ĐK: osx 0 x
2
p
*Phương trình đã cho tương đương với: 1 cos x 1 2 sin x ( 1 cos x tan x )
cos x
-
* Û( cosx+sinx)( sinx -1) = 0
* ox+sinx=0 x=
4
p
Û + (thoả mãn đk)
0.25
0.25 0.25
0.25
Trang 3s inx=1 x= 2
2 k
p p
KL:
4
p
= - +
II.2
*Xột x=0 khụng thoả món hệ PT. Xột x ạ 0 hệ tương đương với 2
2
2
2
y
y
x x
y
y
ù
ù
ớ
ợ
*Đặt ẩn phụ u y 2 ; v y
= - = , ta được hệ 2 2
u v
u v
+ =
ỡ
ớ
ợ
*Giải hệ trờn được nghiệm (u;v) là (1;1)
*Từ đú giải được nghiệm (x;y) là (ư1;ư1) và (2;2)
0.25
0.25
0.25 0.25 III
*
1
2
0
3
2
x
dx
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
=
ũ
*Đăt 3
2
x
t = ỗ ữ ổ ử
ố ứ
3
2
2
1
1
ln 3 ln 2 3 2
dt
I
=
*
3
3
1
1
ln
t
dt
+
* ln15 ln14
ln 3 ln 2
-
=
-
0.25
0.25
0.25
0.25
IV *Vẽ hỡnh
4 ABCD
*Gọi I là trung điểm của AD ịIA=IB=IC=ID= a nờn ABCD nội tiếp đường trũn
đường kớnh AD ị éACD = 90 0
^ ỹ
^ ỵ CD^(SAC)ị(SCD)^ (SAC )
*Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn SC thỡ AH =d A SCD( ;( ) ) = a 2
Tam giỏc SAC vuụng tại A 12 12 1 2
*Vậy
3
3 2
4 ABCD
a
0.25
0.25
0.25
0.25
V *Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta chứng minh được:
z
y
x
9
z
1
y
1
x
1
9 xyz
3 xyz
3
z
1
y
1
x
1 )
z
y
x
(
3
3
+ +
³ + +
ị
=
³
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ + +
*Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có
0.25
Trang 44
+ + + Ê
+ + + Ê
+ + + Ê
(a 3b) 4
a 3b 4
2 (b 3c) 4
b 3c 4
2 (c 3a) 4
c 3a 4
2
Suy ra a 3b+ + b 3c+ + c 3a+ Ê 6
6 2
P
*Dấu = xảy ra Ûỡ ớ + + = Û = = =
ợ
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3
2 khi a=b=c = 1
0.25
0.25
0.25
VIa.1 *Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d1 thỡ M’=(ư1;0) và M’ thuộc đường thẳng AB
*Đường thẳng AB qua M’ và vuụng gúc với d2 cú PT: 2xưy+2=0
* ịA=d AB 1 ầ = - - , ( 2; 2) B=ABầOy = (0; 2)
*Đường thẳng AC qua A,M cú phương trỡnh: xư2yư2=0
2
1 5
;
2 4
0.25 0.25 0.25 0.25
VIa.2
*Ta cú AH BC BC (AOH ) BC OH
^ ỹ
ý
Tương tự AB^ OH Suy ra OH ^ (ABC ) .
-
*mp(ABC) cú vtpt n =r ( 1; 2 1 - )
nờn OH cú vtcp u=n =(1; 2; 1) -
r r
*Phương trỡnh đường thẳng OH: 2
x t
y t
x t
=
ỡ
ù
=
ớ
ù = -
ợ
0.25
0.25
0.25
0.25 VIIa
*Đăt z = x + yi x y , ( ; ẻ R ) thỡ (1 ) 2 1
1
i z
i
+ + =
- Û ( 2-y) +xi = 1
* 2 ( ) 2
Û + - = (C) .
*Gọi M(x;y) là điểm
biểu diễn số phức z thỡ M thuộc đường trũn (C) tõm I(0;2) bỏn kớnh r=1 v à z = OM
*Xột đường thẳng OI (x=0) cắt (C) tại M1(0;1) và M2(0;3).
OM nh ỏ nh ất khi M tr ựng v ới M1 ị z= i
OM l ớn nh ất khi M tr ựng v ới M2 ị z= 3 i
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 5+Tọa độ A;B là nghiệm hệ:
2
2 0
y x
x y
ỡ =
ớ
- - =
ợ
A(1;ư1); B(4;2)
+C(yo 2 ;yo)ẻ(P); h=d(C;d)=
2
2
2
o o
y -y -
ABC
SD = h AB = y o2 -y o - 2
+Xột hàm số f = y o2 -y o - 2 Với 1- Ê y o Ê 2
Suy ra Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2)
0.25 0.25 0.25
0.25
VIa.2 *Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ị I ( 2 t - 3 ; t - 1 ; t + 3 )
Do I ẻ ( ) P ị 2 t - 3 + 2 ( t - 1 ) - ( t - 3 ) + 5 = 0 Û t = 1 ị I ( - 1 ; 0 ; 4 )
* (d) có vectơ chỉ phương là a ( 2 ; 1 ; 1 ) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n ( 1 - ; 2 ; 1 ) Ta cú
a n
ộ ự = -
ở ỷ
r r
*Gọi u là vectơ chỉ phương của D ị u - ( 1 ; 1 ; 1 ) Phương trỡnh đt
1 :
4
y u
= -
ỡ
ù
D ớ =
ù = +
ợ
*Vì M ẻ D ị M ( - 1 - u ; u ; 4 + u ) , ị AM ( 1 - u ; u - 3 ; u )
AM ngắn nhất Û AM ^ D Û AM ^ u Û AM u = 0 Û - 1 ( 1 - u ) + 1 ( u - 3 ) + 1 u = 0
3
4
u =
ứ
ử
ỗ
ố
ổ -
3
16
;
3
4
;
3
7
M
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIb
*Đăt z = x + yi x y , ( ; ẻ R ) . Khi đú Z0=
( )
2 2
2 2 2
2
( 1)
1
i
*Z0 cú một acgumen bằng
2 2
1 0
x y x
ị ớ
<
ợ
(1)
*Lại cú z+ =1 z i- Ûx= (2) y
*Từ (1) v à (2) suy ra x=y= 2 2 2
2 ịz= 2 + 2 i
0.25
0.25 0.25
0.25 Lưu ý : Nếu thớ sinh làm cỏch khỏc đỳng thỡ giỏm khảo chấm theo cỏc bước làm của cỏch đú