Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của C.. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của C sao cho IA+ IB nhỏ nhất.. Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp
Trang 1Câu 1 (2điểm)
Cho hàm số y 2x 1
x 1
-
=
- (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của (C) sao cho IA+ IB nhỏ nhất.
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình ( ) 2 x ( )
tan x s inx1 =2sin sin 2x 2
4 2
p
2. Giải phương trình 3 2 x -16x+64-3 ( 8 x- )( x+27) +3 ( x+27) 2 = 7
Câu 3 (1điểm)
Tính tích phân
1
2
0
dx
I
x 1 x
= + +
ò
Câu 4 (1điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt
phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.
Câu 5 (1điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
( )( )
4
2x 1 ln x + ln x 1 2y 1 ln y+1 y = 0 (1)
ï
í
ï
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
(C) : x +y = đường thẳng d :x1 + +y m= 0 Tìm m để (C) cắt d tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A( -1; 0;1 , B 1; 2; 1 , C) ( - ) ( - 1; 2; 3 ) .
Câu 7a (1 điểm)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
1 2x
x
+
, biết rằng
2 n 1
n n 1
A -C - + =4n+ 6
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2 2
(C) : x +y – 2x – 2y 1+ = 0, (C ') : x2+y2 +4x- = 5 0
Viết phương trình đường thẳng qua M 1; 0 ( ) cắt hai đường tròn (C), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2
x +y +z -4x+2y 6z- + = 5 0
và mặt phẳng (P): 2x+2y z 16- + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (S), điểm N thuộc (P) sao 0
cho đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
Câu 7b (1 điểm)
1
2
www.laisac.page.tl
SỞ GD_DT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐÈ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
MÔN THI: TOÁN; KHỐI: A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian chép đề
Trang 2I. Môn Toán
a 1
-
Î
-
.IM nhỏ nhất Û đ thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M (1) 0,25
Đường thẳng IM có hệ số góc
( ) 2
1
a 1 -
, tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc
( ) 2
1
a 1
-
-
0,25
4
=
é
-
=
0,25 2)
2
p
Pt tan x s inx1 = 1cos x sin 2x 2 tan x s inx1 = 1sinx sin 2x 2
2
æ æp ö ö
0,25
( s inx1 tan x)( sin 2x 2 =0 )
tan x sin 2x 2 0
é
ë
0,25
+ s inx1=0 x k2
2
p
Câu 2
1)
+ Đặt t anx=t sin2x= 2t 2
1+t
Þ pt trở thành ( ) ( 2 )
t 1 t- - +t 2 =0Û = t 1 Ta có
4
p
= Û = + p thỏa mãn đk. Vậy pt có một họ nghiệm x k
4
p
= + p
0,25
Đặt u=38-x , v=3 x+ 27 Ta có
3 3
ï
í
ï
î
0,25
ì
Þ
í
=
î
=
é
=
ë
0,25 2)
3
3
Đặt x+ 1 x+ 2 = t x= Þ =0 t 1, x= Þ = + 1 t 1 2
2
2
0,25
0,25
Câu
III
1 2
2
1
ln t
+
( ) 2 ( )
+
5
Trang 3S
B
C
M
N
Chứng minh SC^ AI : Ta có
0,25
Kẻ IH // BCÞIH^ (SAB) (vì BC^ (SAB) ) VMBAI 1 S MAB .IH
3
2
+
0,25 Câu 4
Đặt x=t+1, hệ phương trình trở thành
( )( )
4
2t 1 ln t+1 + ln t = 2y 1 ln y+1 ln y (1)
ï
í
ï
0,25
Đk: y 1, t 1 ³ ³
Xét hàm số f (x)=( 2x 1 ln x+1 + ln x + ë) é ( ) ( ) ù û đồng biến trên ( 0; +¥ ) (1)Ûf (t)=f (y)Û = t y
0,25
Khi đó (2)Û y 1- -2 (y 1)(y 1)4 - + +m y 1+ = 0 y 1 4 y 1
Đặt 4 y 1
y 1
-
+
0,25 Câu 5
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi pt 2
u -2u+m= có nghiệm u thỏa mãn 00 £u 1 <
g(u)=u - 2u nghịch biến trên (0;1), g(0)=0, g(1)=1 Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi 1- < -m£0Û0£m 1 <
0,25
Đường tròn (C) có tâm trùng với gốc tọa độ O(0;0), bán kính R=1
( ) m
d O, d
2
2
Gọi M là trung điểm AB,
2
m
2
2
2
2
0,5
Câu
6a
1)
Theo bđt côsi
2
1
2
2
AB 2; 2; 2 , AC 0; 2; 2 AB, AC- éë ù û = 8; 4; 4 -
là vtpt của (ABC)
Pt (ABC): 2(x 1)+ -y+ - =z 1 0Û2x-y+ + = z 1 0
0.25
2)
Trang 4. Vậy tâm I(0;2;1)
n n 1
+
(n 1)!
2!(n 1)!
+
n(n 1)
2
+
= -
é
ê =
ë
do n ≥ 2 nên n=12.
0,25
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:
12
1 2x
x
+
Tk +1 =
k
12
1
C (2x)
x
k
12 k
12
C 2x - x - =
24 3k
k 12 k 2
12
-
-
; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12
0,25
ì
í
î
Câu7a
MÎ(C), MÎ (C ) Tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(2; 0) và
R=1, R '= 3
0,25
a(x 1)- +b(y-0)=0Ûax+by- =a 0, (a +b ¹ 0)(*) 0,25
Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có:
MA=2MBÛ IA -IH =2 I ' B - I 'H ' Û -1 ( d(I;d)) 2 =4[9- ( d(I ';d) ] ) 2 ,
0,25
Câu6b
1)
2 2
2 2
-
Pt đt d: 6x+y6=0, 6x+y+6=0.
0,25
Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;3), bk R= 3
Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S). Pt (Q): 2x+2y z- +D= 0
3
= -
ë Suy ra pt (Q): 2x+2y z 10- + = 0 hoặc 2x+2y z 8- - = 0
0,25
Xét (Q) : 2x+2y z 10- + = 0 có VTPT n(2; 2; 1) r -
. Tiếp điểm của (Q) và (S) là A(x;y;2x+2y+10)
. Ta có IA uur
.
r
0,25
2)
N là hình chiếu của M trên (P) N 4; 13 14 ;
3
x 3 log (x 3)(x 2) log
x 2
+
- - >
Câu7b
x 2 (x 3)(x 2)
x 3
-
Trang 52 x 10 (x 3)(x 3) 1 x 10
é >
Û - + > Û > Û ê
< -
ê
. Do x> Þ3 x> 10
0,25