Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng P và D cắt hai đường thẳng d1 , d2.. Viết phương trình cạnh BC.. Viết phương
Trang 1TRƯỜNG THPT LÊ THẾ HIẾU
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20102011
Môn thi : TOÁN ; Khối : A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm):
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 2
1
x
y
x
-
= + (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình: sin 2x cos 2x tgx cot gx
cos x + sin x = -
2. Giải bất phương trình: 2
2
1 log (4x 4x 1) 2x 2 (x 2) log x
2
Câu III: (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= e x + 1 , trục hoành, x = ln3
và x = ln8.
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD
= 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V: (1 điểm) Cho x, y Î R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2 )
( 1)( 1)
P
=
PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; 2), đường cao CH x: -y + = 1 0 , phân giác trong : 2 5 0
BN x+y + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 1 1 1
= = và mặt phẳng (P): x y 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng (P) và D cắt hai đường thẳng d1 , d2 .
Câu VII.a (1 điểm) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển (x 2 + 2) n , biết: 3 2 1
A -8 C +C = 49 .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x y 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh
BC.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : 1 3
= = và điểm M(0 ; 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng D đồng thời khoảng cách
giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức : z 25 8 6 i
z
………….… Hết ……….
www.laisac.page.tl
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM: 20102011
Tập xác định D = R\{ 1}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: ' 4 2 0,
( 1)
x
= > " Î
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ¥; 1) và ( 1 ; + ¥).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0,25
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
x®-¥ x x ®+¥ x
+ + . Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
x®- - x x ®- + x
+ + . Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
0,25
Bảng biến thiên:
y
0,25 I1
(1 điểm)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (1;0)
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 2)
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm
hai tiệm cận I( 1; 2).
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 + mx + m + 2 = 0 , (x ≠ 1) (1) 0,25
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û m 2 8m 16 > 0 (2) 0,25 Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1).
Theo ĐL Viét ta có
1 2
2
2
2
m
x x
m
x x
ì + = -
ï
í
+
ï =
ï
î
I2
(1 điểm)
AB 2 = 5 Û (x1-x2)2 +4(x1 -x 2 )2 = 5 Û (x1+x2)2 -4x 1x 2 = 1 Û m 2 8m 20 = 0
Û m = 10 , m = 2 ( Thỏa mãn (2))
y
x
x= 1
1 O
1
2
Trang 3PT
x sin
x cos
x cos
x sin
x cos
x sin
x sin
x
2 sin
x cos
x cos
-
=
+
Û
x cos
x sin
x cos
x sin
x cos
x sin
x
x
2 cos 2 - 2
=
-
Û
0,25
cos x cos 2x s in2x 0
2
2 cos x cos x 1 0 s in2x 0
1 cos x ( cos x 1 :loại vì sin x 0)
2
II1
(1 điểm)
3
p
2
1
x
2
1
x
2
1
x
0 )
1
x
2 (
2
1
x
0
1
x
x
0
x
2
1
2
2
<
Û
ï
ï
ỵ
ï
í
ì
¹
<
Û
ï
ï
í
ì
>
-
<
Û
ï
ï
í
ì
>
+
-
>
-
0,25
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
[ log ( 1 2 x ) 1 ] )
2
x (
2
x
2 )
x
1 ( log
2 2 - - > + + 2 - - [ log ( 1 x ) 1 ] 0
x 2 - + <
Û
0,25
ê
ê
ë
é
<
>
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
-
<
ỵ
í
ì
<
-
>
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
-
<
ỵ
í
ì
<
-
>
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
+
-
<
ỵ
í
ì
<
+
-
>
Û
0
x
4
1
x
1 )
x
1 (
2
0
x
1 )
x
1 (
2
0
x
0 )
x
1 (
2 log
0
x
0 )
x
1 (
2 log
0
x
0
1 )
x
1 ( log
0
x
0
1 )
x
1 ( log
0
x
2
2
2
2
0,25
II2
(1 điểm)
Kết hợp với điều kiện (*) ta cĩ:
2
1
x
4
1
<
Diện tích
ln 8
ln 3
1
x
S = ị e + dx ; Đặt 2 2
t = e + Ût =e + Þe =t - 0,25
Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta cĩ 2tdt = e x dx Û 2 2
1
t
t
=
Do đĩ
2
t
III
(1 điểm)
= 2 ln 1 3 2 ln 3
2
t
t
t
-
è ø
Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuơng gĩc với nhau tại trung điểm O của mỗi
đường chéo.Ta cĩ tam giác ABO vuơng tại O và AO = a 3 ; BO = a , do đĩ · 0
60
A D B =
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) nên giao
tuyến của chúng là SO ^ (ABCD).
0,25
IV
(1 điểm)
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta cĩ
DH ^ AB và DH = a 3 ; OK // DH và 1 3
a
OK = DH = Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta cĩ OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
0,25
Trang 4Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ 12 12 1 2
2
a
SO
ABC ABO
đường cao của hình chóp
2
a
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
S ABC ABC
a
0,25
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT : 4xy £ (x + y) 2 ta có
2
4
t
(3 2)
1
P
xy t
- - -
=
- + Do 3t 2 > 0 và
2
4
t
xy
- ³ - nên ta có
2
2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t
t
P
t
-
- -
-
- +
0,25
Xét hàm số
2
4 ( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
-
- - f’(t) = 0 Û t = 0 v t = 4.
t 2 4 +¥
f(t)
8
0,25
V
(1 điểm)
Do đó min P =
( 2;min) f t ( )
+¥ = f(4) = 8 đạt được khi 4 2
Û
0,25
Do AB^ CH nên AB: x+y + = 1 0 .
Giải hệ: 2 5 0
1 0
x y
x y
+ + =
ì
í + + =
î
ta có (x; y)=(4; 3).
Do đó: ABÇBN =B ( 4;3) -
0,25
Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A ' Î BC .
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x-2y - = 5 0 . Gọi
( )
I = d Ç BN . Giải hệ: 2 5 0
2 5 0
x y
x y
+ + =
ì
í
- - =
î
. Suy ra: I(1; 3) ÞA '( 3; 4) - -
0,25
VI.a 1
(1 điểm)
Phương trình BC: 7x+y +25= 0 . Giải hệ: 7 25 0
1 0
x y
x y
+ + =
ì
í
- + =
î Suy ra: ( 13; 9 )
4 4
0,25
S
A
B K
H
C
O
I
D
3a
a
Trang 52 2 450 ( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
7.1 1( 2) 25
7 1
d A BC = + - + =
+
.
Suy ra: 1 ( ; ) 1.3 2 450 45 .
ABC
0,25
Gọi A = d1Ç(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 Ç (P) suy ra B(2; 3; 1) 0,25
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng D là u =r (1; 3; 1) -
0,25
VI.a 2
(1 điểm)
Phương trình chính tắc của đường thẳng D là: 1 2
= =
Điều kiện n ³ 4
Ta có: ( ) å
=
-
= +
n
0
k
k
n
k
k
n
n
Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4 n 4
n 2
Ta có: 3 2 1
A -8C +C = 49
Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
Û n 3 – 7n 2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n 2 + 7) = 0 Û n = 7
0,25
VII.a
(1 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT: 2 0
2 5 0
x y
x y
=
ì
í + =
î
Gọi B(b; b 2) Î AB, C(5 2c; c) Î AC 0,25
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên 3 5 2 9
+ + - =
ì
í + - + =
î
Û 5
2
b
c
=
ì
í
=
î Hay B(5; 3), C(1; 2) 0,25
VI.b 1
(1 điểm)
Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là u= BC = -( 4; 1) -
r uuur
. Phương trình cạnh BC là: x 4y + 7 = 0 0,25 Giả sử n a b c r ( ; ; )
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
Đường thẳng D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u = r (1;1; 4) 0,25
Từ giả thiết ta có
| 5 |
4
P
d A P
D
=
=
+ +
î
r r
0,25
Thế b = a 4c vào (2) ta có 2 2 2 2 2
(a+5 )c =(2a +17c +8ac)Ûa 2ac-8c = 0
Û a 4 v a 2
0,25
VI.b2
(1 điểm)
Với a 4
c = chọn a = 4, c = 1 Þ b = 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x 8y + z 16 = 0.
Với a 2
c = - chọn a = 2, c = 1 Þ b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y z + 4 = 0.
0,25
Giả sử z = a +bi với ; a,b Î R và a,b không đồng thời bằng 0. 0,25
VII.b
(1 điểm)
Khi đó z a bi ; 1 1 a2 bi 2
-
Trang 6Khi đó phương trình z 25 8 6i a bi 25(2a bi 2 ) 8 6 i
-
Û
( 25) 8( ) (1)
(2)
ì + + = +
ï
í
+ + = +
ï
î
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có 3
4
b= a thế vào (1)
Ta có a = 0 v a = 4
Với a = 0 Þ b = 0 ( Loại)
Với a = 4 Þ b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i.
0,25