Chứng minh rằng đường thẳng :d y=2 x+ m luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau.. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.. Trong mặt phẳng P cho tam giác đề
Trang 1Sở GD & ĐT Hà Tĩnh Đề thi thử đại học lần 2 - năm 2011
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1
1
x
y
x
+
=
- ( 1 ) có đồ thị ( ) C
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1)
2 Chứng minh rằng đường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình:
cot 2
x co x
x
+
2 Giải hệ phương trình: 3 2 1
0
x y x y
ù
ớ
ù
Câu III (1 điểm) Tính
2
0
1
cosx
p
=
+
ũ
Câu IV (1 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Trên các tia Bx,
Cy vuông góc và nằm cùng một phía với mặt phẳng (P) lấy lần lượt các điểm M, N sao cho
BM = CN = a Tính thể tích khối chóp A.BCNM; Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và mặt
phẳng (ANM)
Câu V (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 -x+ 3 -y+ 3 - z = 1 Chứng minh rằng:
PHầN RIÊNG (Thí sinh được chọn một trong hai phần, không bắt buộc chọn phần nào cả)
Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm) 1 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hai đường
thẳng: ( ) :d1 x- 2y+ 2 = 0; (d2 ) : 2x+ 3y - 17 = 0 Đường thẳng (d) đi qua giao điểm của ( ) d 1 và (d 2 )
cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho: 12 1 2
OA + OB
nhỏ nhất
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (1, 2, 1) - và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình ( ) :P1 x-y+ -z 13 = 0 và (P2 ) : 3x+ 2y- 12z + 2011= 0
VIIa (1 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ - 4 3i = 2 Tìm số phức z có mô đun
nhỏ nhất
Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm) 1 Cho tam giác ABC, có A (3; 4), ( 1; 2) B - , có diện tích 3
4
S = (đvdt) và có trọng tâm thuộc đường thẳng ( ) :d x- 3y + = 4 0 Tìm tọa độ đỉnh C
2 Cho n là số nguyên dương Tính tổng:
n
n
n
+
+
VIIb (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x2 +mx- 3 =x + 1
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
www.laisac.page.tl
Trang 2Câu Đáp án vắn tắt Điể
m Câu I
2
2 Chứng minh rằng đường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình.
1
2
1
x
x m
x
+
- có hai nghiệm phân biệt với mọi m và x1< < 1 x 2
1
x
ỡ
Û ớ
ạ
ợ
có hai nghiệm phân biệt x1< < 1 x 2
2
1
x
Û ớ
ạ
ợ
có hai nghiệm phân biệt x1< < 1 x 2
f
D >
ỡ
ớ
<
ợ
2
Û ớ
ợ
Vậy với mọi giá trị của m thìđường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau
Gọi A x( ; 21 x1+m B x), ( ; 22 x2 + m ) là hai điểm giao giữa (d) và (C).( x x 1; 2 là hai nghiệm của phương trình (*))
AB= x -x x -x ị AB = x -x + x -x = x - x
uuur
2
Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm (R)
Câu
II
1
2
1 Giải phương trình:
cot 2
x co x
x
+
Điều kiện:sin 2x 0 x k (k )
2
p
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
2
1
x
x
-
2
1
2
9
2
1 cos 2
2
x
ộ
=
ờ
Û ờ
ờ
6
p
Û = ± + ẻ Â ( R)
2 Giải hệ phương trình: 3 2 1
0
x y x y
ù
ớ
ù
Điều kiện: x y 0
ỡ
ớ
ợ
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với 1 3 2
0
x y x y
ù
ớ
ù
0
x y x y
ù
ớ
ù
x y x y
x y y x
ỡ
ù
Û ớ
ợ
y x x y
x y y x
ỡ
ù
Û ớ
ợ
Trang 34 1 4 1
ợ
1
3
x
y
=
ỡ
Û ớ
=
ợ
(R ) Câu
III
Câu
IV
Câu
V
Tính
2
0
1
cosx
p
=
+
ũ
+
Tính
2
0
2011
1 cos
x
x
p
+
= +
2011
tan
x
ị
ợ
2011 ln 2
2
K p
Tính
2
0
sin
1 cos
x
x
p
= +
2011
2
Hạ đường cao AH của tam giác ABC Suy ra AH là đường cao của hình chóp A.BCNM Đáy BCNM của hình chóp trên là một hình thang vuông có diện tích:
3
2
a
a
+
2
a
AH =
Thể tích khối chóp A.BCNM là
3
3
8
a
V = (đvtt)
MN, BC kéo dài cắt nhau tại K ị C là trung điểm của BKị ABK D vuông tại
A ịAK^ AM Từ đó suy ra MAB ã là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P ) và (ABC)
Ta có tanMABã MB 3 MAB ã 60 0
MA
= = ị = Vậy góc giữa hai mặt phẳng (P) và (AMN) bằng 0
60 (R)
Đặt 3x =a,3y =b ,3 z = c Do đó : a b c , , 0
ab bc ac abc
>
ỡ
ớ
ợ
Ta có
a+bc =a +abc =a +ab+ac+bc= a+b a+ c
a+ac=b +abc =b +ab ac bc+ + = b c b+ + a
c+ab =c +abc =c +ab+ac bc+ = c+a b+ c
áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :
a b a c
3
3
a b b c
3
3
a c b c
Trang 4Câu
VIa
1
VIa2
Câu
VIIa
Câu
VIb
1
Cộng vế với vế ta có
4
a bc b ac c ba
+ +
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c Ûx= y= z
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng ( ), (d1 d 2 ) thì M (4;3) Xét tam giác OAB vuông tại O ta có: 12 12 1 2
OA +OB = OH ( trong đó H là chân đường cao hạ từ
O xuống AB của tam giác OAB ) Để 12 1 2
OA + OB nhỏ nhất thì 1 2
OH nhỏ nhất Û
OH lớn nhất Û H º M Khi đó (d) nhận véc tơ OM uuuur
làm véc tơ pháp tuyến
(4; 3)
OM =
uuuur
Phương trình đường thẳng (d) là: 4x+ 3y - 25= 0 ( R)
Ta có:
p
n = -
uur
,
p
Vì ( P ) vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình ( ) :P1 x- + -y z 13 = 0 và (P2 ) : 3x+ 2y- 12z +2011 0 =
nên
n =ộn n ự = =
Phương trình mặt phẳng ( P ) là: 2 x + 3 y + z - 7 = 0 ( R)
.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ - 4 3i = 2 Tìm số phức z có mô
đun nhỏ nhất
Gọi z=x+yi ( ,x y ẻ Ă ) ta có z+ - 4 3i = 2 Û (x+ 4) + (y- 3)i = 2
Û + + - = là đường tròn (C) tâm I(-4;3) bán kính R = 2
2
z = x +y Û z =x + y ( C 1 ) Đặt z = r Để r nhỏ nhất thì ( C) và ( C 1 )tiếp xúc ngoài
Tọa độ điểm tiếp xúc của hai đường tròn là giao điểm của đường tròn (C) và
đường thẳng IO Mà OI = - ( 4; 3)
uur
Phương trình đường thẳng OI là
4
3
x t
t
y t
= -
ỡ
ẻ
ớ
=
ợ
Ă Tọa độ giao điểm của OI và ( C) là nghiệm của hệ:
12 9
5 5
3
28 21
y t
M
ộ
ờ
ù
ớ
ờ
Ta thấy với ( 12 9 ; )
5 5
M - thì z đạt giá trị nhỏ nhất và 12 9
z= - + i (R)
.Tọa độ trung điểm của AB là I (1;3)
Ta có AB= - - ( 4; 2) ịn AB =(1; 2) -
Phương trình đường thẳng AB là: x- 2y + = 5 0
Ta có d C AB( ; ) = 3 ( ;d G AB ) Mà 1 ( ; ) 3 ( ; ) 3
ABC
S = AB d C AB = ịd C AB =
Trang 52
Câu
VII b
1
4 5
d G AB
ị = Điểm G nằm trên đường thẳng ( ) :d x- 3y + = 4 0 nên
0
0
4
3
x
G x + Ta có
0
0
4
1
3
4 5
x
x
d G AB
+
+ -
0
0
0
25
7
31
4
4
x
x
x
-
ộ
=
ờ
-
ờ =
ờ
ộ
ờ
Û ờ
ờ
( R)
2 Cho n là số nguyên dương Tính tổng:
n
n
n
+
(1 +x)n =C n +xC n+x C n + + x C n n n Lấy tích phân hai vế trên đoạn [ ] 1; 2 ta
có.
1
n
n
+
ũ
1
S
n
+
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2
2x +mx- 3 = x + 1 (*)
Đặt t = x+1 suy ra x = t – 1, khi đó với x³ - ị ³ 1 t 0 Phương trình (*) trở thành:
t + m- t- m + = Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1
x ³ - thì phương trình (**) phải có hai nghiệm phân biệt t ³ 0
2
4
Chú ý:Thí sinh có thể sử dụng các cách khác để giải các bài toán trên
Tính giới hạn sau:
3
2
4
lim
1 2 cos
đ
-
=
-
x
x
I
x
p
Trang 6Cho 0 < x y , v x+y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 2 1 2 1
x y xy
+