Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số.. Viết phương trỡnh cỏc tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y= 3 x một gúc 0 45.. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B.
Trang 1HÀ TĨNH
đề THI THử ĐạI HọC Lần 3 năm học 2010-2011
MễN: TOÁN Khối D; Thời gian làm bài: 180 phỳt
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2( 1 )
2
x
y
x
+
= + cú đồ thị là ( ) C
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trỡnh cỏc tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y= 3 x một gúc 0
45 Cõu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trỡnh: ( ) 2
1 2 cos 3 sin sin 2 2 sin 2 0
4
2. Giải hệ phương trỡnh: ( )
185
65
ù
ớ
ù
Cõu III. (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
4
3
0
sin
cos
x
p
Cõu IV. (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi tõm O, cạnh bằng a, éBAD = 60 0 ;
( )
SO^ mp ABCD Biết khoảng cỏch từ điểm A đến mp(SBC) bằng 3
4
a
. Tớnh thể tớch khối chúp
S.ABCD.
Cõu V (1,0 điểm) Cho cỏc số thực , , a b c thỏa món ab bc+ +ca = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
B. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).
a. Theo chương trỡnh Chuẩn:
Cõu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho cỏc đường thẳng d1 : 3x+2y - = ; 4 0
2 : 5 2 9 0
d x- y + = và điểm A( -2; 5 ) ẻ Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm d 1 Iẻ d 2 và tiếp xỳc với
1
d tại A.
2. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD với A( 1 ; 2; 1),- B (2 ; 3 ; 2) . Tỡm tọa độ cỏc
đỉnh C, D biết tõm I của hỡnh thoi thuộc đường thẳng : 1 2
Cõu VIIa. (1,0 điểm) Tỡm số phức z thỏa món z - = và 1 5 1 1 5
17
z + z =
b. Theo chương trỡnh Nõng cao:
Cõu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giỏc ABC cú B - ( 2;1 ) , phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh AC là 2x+y + = , phương trỡnh đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A là 1 0
3x+2y + = Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A và C. 3 0
2. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng : 3 6
- và mặt phẳng ( ) : 6P x+6y-7z +42= Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc d , tiếp xỳc với mặt phẳng (P) và cú 0
bỏn kớnh R = 11 .
Cõu VIIb. (1,0 điểm)Viết dạng lượng giỏc của số phức z=( 1+ 3 i ) 8 . Trong cỏc acgumen của số phức z,
hóy tỡm acgumen cú số đo dương nhỏ nhất
Trang 2HÀ TĨNH
ĐáP áN đề THI THử ĐạI HọC Lần 3 năm học 2010-2011
MễN: TOÁN Khối D; Thời gian làm bài: 180 phỳt
1. (1,0 điểm)
a. Tập xỏc định: R \ - { } .
b. Sự biến thiờn:
* Chiều biến thiờn: Ta cú ' 2 2 0, 2.
( 2)
x
= > " ạ - +
Suy ra hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ( -Ơ ; - 2 ) và ( - 2 ; + Ơ ) .
* Giới hạn: lim 2
đ+Ơ = ; lim 2
đ-Ơ = ;
( 2)
lim
+
đ - = -Ơ ;
( 2)
lim
-
đ - = +Ơ
Suy ra đồ thị cú tiệm cận ngang là y = - 1 và tiệm cận đứng là x = - 2 .
0,5
* Bảng biến thiờn
'
y + +
y
Ơ
c. Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại (ư1; 0);
cắt Oy tại ( ) 0;1
Đồ thị nhận giao điểm ( 2; 2) I -
của hai tiệm cận làm tõm đối xứng.
0,5
2. (1,0 điểm)
Phương trỡnh đường thẳng d viết lại thành: 3x-y = 0
Nhận thấy cỏc đường thẳng cú dạng x= m khụng tiếp xỳc với ( ) C Xột cỏc tiếp tuyến cú
dạng y=kx b+ Ûkx- + = Do gúc giữa d và tiếp tuyến bằng y b 0 45 nờn 0
2
2
2
k
k
+
+
Do 'y > nờn chỉ lấy 0 1
2
k =
0,5
I.
(2,0
điểm)
Khi đú
2
2
2
2
x
+
* Với x=0ị y ( ) 0 = 1 ta cú phương trỡnh tiếp tuyến 1 1
2
y= x +
* Với x= - ị4 y ( ) -4 = ta cú phương trỡnh tiếp tuyến 3 1 5
2
y= x +
0,5
y
x
0
2
ư2
ư1 1 I
Trang 31. (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với sin sin 4 sin 2 sin 2 1 cos 4 0
2
0,5
sin sin 4 1 sin 4 0
2
p
2. (1,0 điểm)
Cộng từng vể của hai phương trình ta được:
( 2 2) 2 2 ( 2 2) 3 2 2
2 x +y x +y =250Û x +y =125Û x +y = Thay vào hệ có 5 xy = 12
0,5
II.
(2,0
điểm)
12
x y
xy
=
. Giải hai hệ trên ta được các nghiệm ( 3; 4 , 4; 3 ,) ( ) ( - -3; 4 ,) ( - - 4; 3 )
0,5
Đặt , sin 3
cos
xdx
x
2 cos
du dx v
x
0,5 III.
(1,0
điểm) Theo công thức tích phân từng phần ta có
4
4
4
0 0
tan
p
p
p
Kẻ OM ^BCÞBC ^ mp SOM ( ) .
Kẻ OH ^SM ÞOH ^ mp SBC ( ) .
Khi đó:
3
4
3
2
8
a
a
0,5
IV.
(1,0
điểm)
Từ giả thiết tính được , 3
Ta có: 1 2 12 12 42 42 16 2
a
OS
2
0,5
V.
(1,0
điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
2 2
2 2
2 2
0,5
S
C
M
B
A
O
H
D
Trang 4Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2 3 4 1 , 4 , 2
ab bc ca
= =
ì
í
î
hoặc
Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 24.
0,5
1. (1,0 điểm)
1. Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
1
d tại điểm A nên IA^ d 1
Vậy phương trình IA là:
( ) ( )
2 x+2 -3 y-5 =0Û2x-3y +19= 0
0,5
Kết hợp I Î nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ d 2 5 2 9 0 1 ( ) 1; 7
I
Bán kính đường tròn R=IA = 13 .
Vậy phương trình đường tròn là: ( x-1) ( 2+ y -7) 2 = 13
0,5
2. Gọi I( - - -1 t; t ; 2 +t) Î Ta có d IAuur=( t; 2+ - -t; 1 t) ,IBuur =( 3+t;3+ - t ; t )
.
Do ABCD là hình thoi nên 2
IA IB= Û t + t+ = Û = -t t = -
uur uur
VIa.
(2,0
điểm)
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên:
* Với t= - Þ1 I( 0;1;1) ÞC( 1; 0;1 ,) ( D - - 2; 1; 0 ) .
* Với t= - Þ2 I( 1; 2; 0) ÞC( 3; 2; 1 ,- ) ( D 0;1; 2 - ) . 0,5
Đặt z=a bi + , ta có: ( ) 2 2 2 2 ( )
2 2
2
a
0,5 VIIa.
(1,0
điểm)
Thay (2) vào (1) được 24 24 5
5 a= Ûa = . Kết hợp với (1) có
2
b = Ûb= b = -
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là: 5 3i + và 5 3i - .
0,5
1. Tọa độ điểm A là nghiệm hệ:
1; 3
A
Phương trình AC: 2 x+y + = 1 0 Û y= -2x - , suy ra 1 C a( ; 2- a - 1 ) .
Gọi M là trung điểm BC, ta có ; 3 3
2
b
M b æç - + ö ÷
0,25
VIb.
(2,0
điểm)
0,25
A
B
I
d2
d1 A
Trang 5Kết luận: A( 1; 3 ,- ) ( C 0; 1 - )
2. Gọi I t( ; 3+ + - - t 6 t ) là tâm mặt cầu. Ta có:
( )
( ) 2
2 2
19
* Với t= Þ1 I ( 1; 4; 5 - Phương trình mặt cầu là ) ( x-1) ( 2+ y-4) ( 2+ z +5) 2 = 121
* Với 223 223; 166 109 ;
Phương trình mặt cầu là
121
0,5
Ta có 1 3 2 1 3 2 cos i sin
+ = çç + ÷ ÷ = ç + ÷
0,5 VIIb.
(1,0
điểm)
Theo công thức Moavơrơ ta có 28 cos8 i sin 8
Nhận thấy 8 2 2
p
= + và 0 2 2
3
p p
< < nên acgumen dương nhỏ nhất của z là 2
3