Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1.. Câu V1điểm Cho ba số dương a,b,c có tích bằng
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Hà nội Kì thi thử Đại học , cao đẳng lần 2 năm 2011
Trường THPT Liên Hà Môn toán ,Thời gian làm bài : 180 phút
đề chính thức
I-Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm )
Câu I(2điểm) Cho hàm số 1
1
x
y x
+
=
- (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1
Câu II( 2điểm)
1 Giải phương trình : tan cot 4 sin( 15 )
4
2 Giải hệ phương trình :
2 2 2
ù
ớ
ù
Câu III (1 điểm) Tính tích phân :
2
2
1
( 1)
e
x x
+ +
=
+
ũ
Câu IV (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Tam giác ABC vuông tại A , AB=a ,AC=2a , hai
mặt phẳng (ABB’) và (ABC) hợp với nhau góc 60 ,điểm B’ cách đều các điểm A,B,C Tính thể tích 0
của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Câu V(1điểm) Cho ba số dương a,b,c có tích bằng 1 Chứng minh rằng
1
b a+ c b + a c ³
II-Phần tự chọn (3 điểm )
(Học sinh chỉ được làm một trong hai phần hoặc A hoặc B)
Phần tự chọn A
Câu VI.a(2điểm)
1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 ,đường thẳng AB có phương trình 3x+4y 1+ = , đường thẳng BD có phương trình 20 x- - = Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D y 3 0
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : 1 2 2
d - = + = -
2
:
d - = - =
- Hãy viết phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d và 1 d 2
Câu VII.a(1điểm) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 +2z+10= 0
Tính giá trị biểu thức A= z12 + z 2 2 Phần tự chọn B
Câu VI.b(2điểm)
1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình thoi ABCD Đường thẳng AB có phương trình 2x-3y+ = , 1 0
đường thẳng BD có phương trình x+ - = , đường thẳng AD đi qua M(1;3) Tìm tọa độ các đỉnh của y 2 0
hình thoi
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 2 1
d - = + = -
mf(P): 2x+ -y 3z+ = 5 0 Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mf(P)
Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển x n
1
3 + biết rằng C n n + + 1 4 - C n n + 3 = 7 ( n + 3 ) và x>0
-Hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
phamducduan76@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2Đáp án thi thử môn toán lần 2 năm 2011
*Tập xác định : D=R
* ' 2 2 0 x R
( 1)
y
x
-
= < " ẻ
-
*Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị
0.25
*Giới hạn :
lim 1
x y
đ+Ơ = ; lim 1
x y
đ-Ơ = ị đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1
1
lim
x
y
+
đ
= +Ơ ;
1
lim
x
y
-
đ
= -Ơ ị đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1
0.25
*Bảng biến thiên
y
0.25
1.1
*Vẽ đồ thị x=1
Đồ thị giao với trục ox tại (-1;0)
Đồ thị giao với trục oy tại (0;-1)
Đồ thị nhận điểm I(1;1) làm tâm đối xứng
1 y=1
1 x
0
0.25
*Tiếp tuyến của đồ thị (C) có phương trình dạng
y= f x x-x + f x
0
0
2
1
2
x
+
-
2x (x 1) y x 2x 1 0
Û + - - - + = (*) với x0 ạ 1
0.25
*Tiếp tuyến (*) cắt trục ox tại điểm
2
0 2 0 1
2
*Ta có
2
0
2
OA= Û + - = Ûx = (loại) , x0= -3;x0 = - 1 0.25
1.2
*Kết luận : các tiếp tuyến cần tìm là :
2 1 0
*Điều kiện :
2
x k p
ạ
*Với điều kiện trên , phương trình đã cho tương đương với
sin cos
2 2(sin cos )
sin cos
-
(sinx cos )(sinx x cosx 2 2 sin cos )x x 0
0.25
2.1
sin cos 0 (1) sin cos 2 2 sin cos 0 (2)
ộ
Û ờ
ở
Trang 3*Phương trình (1) tan 1
4
p
*Phương trình (2) 2 sin( ) 2 sin 2
4
sin( ) sin 2
4
2
(tmđk)
0.25
*Kết luận : nghiệm của phương trình là
4
x p k
p
x p k p
*Xét y = 0 hệ vô nghiệm
*Xét y ạ 0 , hệ đã cho tương đương với
2
Û
0.25
*Đặt ẩn phụ
2
y
x
b y
ỡ
- =
ù
ớ
ù =
ù
, hệ trở thành
2
2
3 2 0 (1)
3 2 0 (2)
a b
ù
ớ
ù Trừ theo từng vế các phương trình (1) cho (2) ta được
3
b a
a b a b
=
ộ
ở
0.25
*Với b=a thay vào (1) được a2 -3a+2=0Ûa=1;a= 2
a=1 =>b=1 =>
2
1
1
x
y
x y
ỡ
- =
ù
ớ
ù =
ù
giải hệ này được nghiệm (x;y) là (-1;-1) và (2;2)
a=2
2
2
2
2
x
y
b
x y
ỡ
- =
ù
ù =
ù
giải hệ này được nghiệm (x;y) là (1 5;1 5 )
2
-
1 5
2
+ +
0.25
2.2
*Với b=-a-3 thay vào (1) được a2 +3a+11= phương trình này vô nghiệm 0
*Kết luận : hệ có 4 nghiệm (x;y) là :
(-1;-1) , (2;2) , (1 5;1 5 )
2
-
2
+ +
0.25
( 1)
+
0.25
3
*Tính
2
1
ln (ln )
2 1 2
e
x
0.25
Trang 4*Tính 2 2
1
ln ( 1)
e
x
x
= +
2
ln
1 ( 1)
x
=
ỡ
ù
ớ
=
ợ
ta có
1
1
1
dx dx
x
v x
ỡ
=
ù
ớ
-
ù =
ù
2
e
I
0.25
*Kết quả : ln( 1) 1 1
e
I
e
+
B’ C’
*Hình vẽ
A’
B H C
K
A
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên mf(ABC)
*Ta có B’A=B’B=B’C ị DB AH' = DB BH' = D B CH '
ị H là trung điểm của BC
0.25
* V ABC A B C ' ' ' = B H S' D ABC
2
ABC
SD = AB AC= a
0.25
*Gọi K là trung điểm AB
Ta có AB^KH AB, ^B H' ịAB^ (KHB ')
'
AB KB
[( 'B AB);(ABC)] (KH KB; ') B KH '
Theo giả thiết ịB KH' = 60 0
0.25
4
*Trong tam giác B’KH có ' tan 600 3 3
2
AC
' ' ' ' 3
ABC A B C ABC
*Biến đổi
b a = a ab
*áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương ta có 1+a³ 2 a
0.5
5
*Chứng minh tương tự được
1
2
b cb
c b ³ + +
c ac
c c ³ + +
Công theo từng vế các bđt (1) ,(2) và (3) được
0.25
Trang 51 1 1
b a+ c b+ a c ³ + + + + + + + +
a ab+ b cb+ c ac =
Ta có VT(II)=
1
bc+abc+abbc+ + +b cb+ b+bc+ bac
bc+ +b+ + +b cb+b+bc+ =
*Từ (I) và (II) suy ra đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chi khi a=b=c=1
0.25
*Điểm B là giao của AB và BD => B(1;-1)
*
1
2
1
11
2
ABD
ABD ABCD
ỡ
=
ù
ớ
ù
AB AD
ị = (1) D C
*Đường thẳng AB có vtpt n1 = (3; 4)
uur
,
AC có vtpt n2 =(2; 1) -
uur
1 2
2
5 5
ABD= n nuur uur =
A B
tan
AD ABD
AB
Từ (1) và (2) ị AD= 11 (3)
0.25
*D thuộc BD ịD x( ;2x- 3)
5
x
AD=d D AB = - (4)
*Từ (3) và (4) ị 11x-11=55Û x=6;x= - 4
0.25
*Với x=6 ị D (6;9)
đường thẳng AD đi qua D và vuông góc AB ị AD có pt : 4x-3y+3=0
Điểm A là giao của AD và AB ( 3 1 ; )
5 5
A
Gọi I là trung điểm BD ( ; 4) 7
2
I
ị
C đối xứng với A qua I (38 39 ; )
5 5
C
ị
0.25
6a.1
*Với x=-4 ịD ( 4; 11) - -
đường thẳng AD đi qua D và vuông góc AB ị AD có pt : 4x-3y-17=0
Điểm A là giao của AD và AB (13; 11 )
A
Gọi I là trung điểm BD ( 3 ; 6)
2
I
C đối xứng với A qua I ( 28; 49 )
C
0.25
6a.2
*(d 1 ) có vtcp u1 =(3; 1;2) -
ur
, (d 2 ) có vtcp u2 =(1;2; 1) -
uur
* d 1
d
D ^
ỡ
ị D
ớ
D ^
ợ
có vtcp uD =[ ,u u1 2 ]= - ( 3;5;7)
uur ur uur
0.25
Trang 6*Giả sử D ầd1 =AịA(1 3 ; 2+ a - -a ;2 2 ) + a
* uuur AB=(2+ -b 3 ;3 2a + b+a;- -b 2a- 2)
0.25
*véc tơ AB
uuur
cùng phương với u D
-
;
0.25
*Đường thẳng D đi qua (95; 170 174 ; )
A - và có vtcp uD = - ( 3;5;7)
uur
ị D có phương trình
-
0.25
*Phương trình có 'D = - ị D có căn bậc hai là 9 ' d = 3i
ị có hai nghiệm phân biệt là z1 = - + 1 3 i và z2 = - - 1 3 i 0.5
7a *Ta có
2 2
1 1 10
z = z =
2 2
z = z =
20
A
0.5
*Điểm B là giao của AB và BD ị B (1;1) D
A I C
B
0.25
*Đường thẳng BD có vtpt n1 = (1;1)
uur
, đường thẳng AB có vtpt n2 =(2; 3) -
uur
Giả sử AD có vtpt n3 =( ; ) (aa b 2+b2 > 0)
uur
Ta có (DA DB; )= (BA BD; ) ị cos( ;n n1 3) = cos( ;n n1 2 )
uur uur uur uur 1 3 1 2
n n n n
uur uur uur uur uur uur uur uur
2 2
1
13
a b
+
+
0.25
3
a= - b chọn a=2 ; b=-3 ịn3 (2; 3) -
uur
cùng phương n2 =(2; 3) -
uur
/ /
ị => loại
2
a= - b chọn a=3 ; b=-2 ịn3 (3; 2) -
uur
Đương thẳng AD đi qua M(1;3) và có vtpt n3 (3; 2) -
uur
AD
ị có phương trình 3x-2y+ = 3 0
0.25
6b.1
*Điểm A là giao của AB và AD ( 7; 3 )
5 5
A
*Điểm D là giao của AD và BD ( ; ) 1 9
5 5
D
ị
*Gọi I là trung điểm BD ( ; ) 3 7
5 5
I
ị
0.25
Trang 7*C đối xứng với A qua I (13 17 ; )
5 5
C
ị
*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P)
*(d) đi qua M0 (1; 2;1) - và có vtcp u d =(2; 1;3) -
uur
mf(P) có vtpt n P =(2;1; 3) -
uur
( ) Q
ị có vtpt n Q =ộu n d, P ự = (0;12;4)
uur uur uur
và đi qua M0 (1; 2;1) -
( ) Q
ị có phương trình 3y+z+5=0
0.25
*Ta có d'=( )P ầ ( ) Q
'
d
ị có vtcp u=ộn n Q, P ự = -( 10;2; 6) -
*Giả sử M x y z( ; ; )ẻ d ' 3 5 0
y z
+ + =
ỡ
ị ớ
ợ Chọn y=0 => z=-5, x=-10
ị d’ đi qua M ( 10;0; 5) - -
0.25
6b.2
*Vậy d’ có phương trình 10 5
x+ y z+
*Ta có C n n++ 1 4-C n n + 3 =7(n+ 3)
( 4)! ( 3)!
7( 3) ( 1)!3! ( )!3!
n
+
12
n
0.25
*Với n=12 ta có
12
12
0
k
-
=
11
2
12
0
k
k
k
C x -
=
= ồ
0.25
*Số hạng chứa x ứng với 8 11 36 0 8
2
k
k
7b
*Vậy hệ số của x là 8 8
12 495
