Điểm M0;1 nằm trên cạnh AB.Xác định tọa độ các đỉnh còn lai của hình thoi.. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều ,tam giác SCD vuông cân tại S.Gọi I,J,K
Trang 1SỞ GD ĐT QUẢNG NINH KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20102011
TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG
MÔN TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút)
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )
2. Tìm m để phương trình: ( x 2 - 1 ) x 2 - 3 = log 2 m có 2 nghiệm phân biệt.
Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình: tan 2 x sin 2 x - 3 cos 2 x = 1 + 2 sin 2 x
b) Giải hệ phương trình :
ï
ï
í
ì
+
=
-
= + +
-
x
xy
y
y
x
y
y
xy
y
x
3
4
1
2
2
2
2
2
2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân ò
+ +
+
=
4
4 sin(
2
2 sin
1
2 cos
p
p dx
x
x
x
I
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều ,tam giác SCD vuông cân tại S.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD,SA .Chứng minh rằng ( SIJ ^ ) ( ABCD ) .Tính thể tích khối
chóp K.IBCD.
Câu V(1 điểm):
a,(Thí sinh thi khối B,D không làm câu này) Cho các số thực dương a , , b c thỏa mãn: 2 2 2 1
= +
+ bc ca
Tìm giá trị nhỏ nhất của
a
c
c
c
b
b
b
a
a
P
2
2
2
4
4
4
+
+ +
+ +
=
b(Thí sinh thi khối A không làm câu này).Tìm mđể phương trình sau có nghiệm:
m
x
m
x
m
x
x 4 + 8 = ( - 2 ) 2 - 2 ( + 2 ) + 4
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Phần dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3;2),trọng tâm và tâm đường tròn ngoai tiếp
tam giác ABC lần lượt là G(
3
2
;
3
2
),I(1;2) .Xác định tọa độ đỉnh C.
. 2.Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
2
2
3
2
1
1 :
;
1
2
1
2
1 : 2
1
-
-
= +
=
-
-
+
=
=
- x y z
d
z
y
x
d
Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau.Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P)
0
7 =
- +
+ y z
Câu VIIa(1 điểm) Gọi z 1 , z 2 , z 3 là các nghiệm của phương trình: z 3 - z 2 + 2 = 0 , z Î C .Tính z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 - 2 i
Phần dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC có phương trình : x - y + 3 = 0 ;đỉnh B(4; 1).
Điểm M(0;1) nằm trên cạnh AB.Xác định tọa độ các đỉnh còn lai của hình thoi.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
2
2
3
2
1
1 :
;
1
2
1
2
1
1
-
-
=
+
=
-
-
+
=
=
d
z
y
x
d
Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) x + y + z - 7 = 0 cắt
1
d , d 2 tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: - 3 x 2 - 5 x + 2 - 4 x 2 . e x + 2 x > 2 x . e x . - 3 x 2 - 5 x + 2
…… HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁNHƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu I Cho hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C )
1 Học sinh tự làm
1 điểm
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x 2 - 1 ) x 2 - 3
(C ’) và đường thẳng y = log 2 m .
0,25
Ta có:
ï
î
ï
í
ì
<
<
- +
-
-
+¥
È
- -¥
Î +
-
=
-
-
=
3
3 )
3
4 (
)
;
3 [ ]
3
; (
3
4
3 )
1 (
2
4
2
4
2
2
x khi
x
x
x khi
x
x
x
x
y
Từ đó ta có :Với x Î ( -¥ ; - 3 ] È [ 3 ; +¥ ) thì(C ’)º (C )
Với - 3 < x < 3 thì(C ’) đối xứng với(C) qua Oy
0,25
0,25
2
Từ đồ thị ta có:Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û
ê
ê
ë
é
<
<
>
Û
ê
ë
é
<
<
-
>
1
8
1
2
0 log
3
1 log
2
2
m
m
m
Câu II
a)
Giải phương trình: tan 2 x sin 2 x 3 cos 2 x 1 2 sin 2 x
+
=
Điều kiện : x ¹ Û x ¹ + n , n Î Z
2
0
Chia cả hai vế cho cos 2 x ta được:
x
x
x 3 1 tan 4 tan tan 4 2
+ +
=
-
ê
ê
ë
é
-
-
=
+
=
Û +
=
Û
2 tan tan
2 tan tan
)
2 (tan tan
2
2
2
4
x
x
x
x
x
x
0,25
ë
é
=
-
=
Û
=
-
-
Û
2 tan
1 tan
0
2 tan tan 2
x
x
x
y
x
m
y = log 2
-3
1
3
Trang 3k
k
x
k
x
Î
ê
ê
ë
é
+
=
+
-
=
2 arctan
4
p
p
p
= + +
Û
-
-
k
x
k
x
Î
ê
ê
ë
é
+
=
+
-
=
,
2 arctan
4
p
p
Giải hệ phương trình :
ï
ï
í
ì
+
=
-
= + +
-
x
xy
y
y
x
y
y
xy
y
x
3
4
1
2
2
2
2
2
+Nhận xét:Nếu x = 0 ta có
ï
ï
í
ì
=
-
= +
0
8
1
2
2
y
y
y
vô lý ,nếu y = 0 ta có
î
í
ì
=
=
0
0
1
Từ đó ta có hệ có nghiệm thì x ¹ 0 ; y ¹ 0
0,25
+Ta có hệ tương đương
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
= +
- +
3
1
4
1
1
2
2
y
x
y
x
y
y
x
x
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
=
- + +
Û
3 )
1 (
4 )
1 ( )
1 ( 2 2
x
y
y
x
y
x
y
Đặt
ï
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
x
y
v
y
x
Hệ trở thành:
ï
ï
í
ì
=
-
= + +
3
4
2
2
v
u
u
v
u
î
í
ì
-
=
±
=
=
Û
3
7
;
2
u
v
u
b)
2
7
38
100
7
3 7
; )
7
3 (
2
7
38
100
7
3
7 ( );
1
;
1
+
+
±
-
-
+ +
+
=
4
4 sin(
2
2 sin
1
2 cos
p
p dx
x
x
x
I
1 điểm
4
0
2
2
2
) cos (sin
2 ) cos (sin
sin cos
p
dx
x
x
x
x
x
x
I
0,25
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
=
4
0 (sin cos )(sin cos 2 )
) sin )(cos sin (cos
p
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
4
0 sin cos 2
) sin (cos
p
dx
x
x
x
x
0,25
4
0
4
0
)
2 cos ln(sin
2 cos sin
)
2 cos
p
+ +
= +
+
+ +
x
x
x
x
d
0,25 Câu III
1
2
2
2
+
=
Trang 4Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều ,tam giác SCD
vuông cân tại S.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD,SA Chứng minh rằng
) (
)
( SIJ ^ ABCD .Tính thể tích khối chóp K.IBCD.
K '
K
J
I
A
D
S
H
Từ giả thiết ta có:
)
(SIJ
AB
IJ
AB
SI
AB
^
Þ
þ
ý
ü
^
^
Do AB Ì ( ABCD ) Þ ( SIJ ) ^ ( ABCD )
0,25
) (
) (
) (
)
(
ABCD
SH
IJ ABCD SIJ
ABCD SIJ
^
Þ
þ
ý
ü
=
Ç
^
+Goi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên (ABCD) khi đó KK // ' SH do K là trung điểm SA
2
1 ' = .
0,25
Từ đó ta có: V K IBCD = KK '. S à IBCD
3
1
.
Dễ thấy:
2
3
a
SI = ;
2
2
1 a
CD
SJ = = ; IJ = a Þ D SIJ vuông tại Svì: SI 2 + SJ 2 = IJ 2
0.25 Câu IV
Từ hệ thức SI.SJ=SH.IJ
4
3
. a
IJ
SJ
SI
Þ
8
3
' a
KK =
Þ
Ta có à IBCD là hình thang vuông tai B và C nên
4
3
2
).
a
BC
CD
IB
Thay vào ta được
32
3
3
.
a
V K IBCD =
0.25
Cho các số thực dương a , , b c thỏamãn: ab 2 + bc 2 + ca 2 = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
a
c
c
c
b
b
b
a
a
P
2
2
2
4
4
4
+
+ +
+ +
=
1 điểm
4
6 )
2 (
2
9
a
a
b
a
b
a
a
³ +
+
4
2
5
2
9
-
³
0,25 Câu V
c
b
2
5
2
9
-
³
2
5
2
9
-
³ +
³
Þ P 9 5 ( a 3 + b 3 + c 3 ) - 2 ( a 2 b + b 2 c + c 2 a )
0,25
Trang 5+ Ta có : a + a + b ³ 3 a b ; b + b + c ³ 3 b c ; c + c + a ³ 3 c a
Þ a 3 + b 3 + c 3 ³ a 2 b + b 2 c + c 2 a Þ P 9 ³ 3 ( a 3 + b 3 + c 3 )
0,25
= + +
³ +
+ b c ab bc ca
a
3
1
3
9 ³ Û ³
Þ P P
Dấu “=” xảy ra
3
3
1
=
=
= b c
m
x
m
x
m
x
x 4 + 8 = ( - 2 ) 2 - 2 ( + 2 ) + 4
Điều kiện: ê
ë
é
-
£
³
2
0
x
x
Phương trình trương đương: ( x 2 + 2 x )( x 2 - 2 x + 4 ) = - 2 x 2 - 4 x + m ( x 2 - 2 x + 4 ) (1)
m
x
x
x
x
x
x
x
x
+ +
-
+
-
= +
-
+
Û
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
³
= +
-
+
t
x
x
x
x
0.25
Ta có:
3
3
2
3 )
1 (
3 )
1 (
3
2
1
3 )
1 (
)
1 (
4
2
2
+
= +
-
+
- +
£ +
-
- +
=
x
x
x
x
Dấu “=” xẩy ra Û x = 1 + 3 .
Do t (x ) là hàm số liên tuc trên các khoảng ( -¥ ; - 2 ] và [ +¥ 0 ; ) nên
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é +
Î
3
3
2
;
0
bảng biến thiên để chỉ ra điều này)
0.25
Phương trình trở thành 2 t 2 + t = m (2).Phương trình(1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
(2 )có nghiệm
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é +
Î
3
3
2
;
0
t
Xét
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é +
Î
"
+
=
3
3
2
;
0 ,
2 ) ( t t 2 t t
f có f ' ( t ) = t 4 + 1 > 0
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é +
Î
"
3
3
2
;
0
t
Do đó
3
3
2
3
3
2
4 ) (
0 £ f t £ + + +
0.25
Vậy phương trình có nghiệm khi
3
3
2
3
3
2
4
0 £ m £ + + +
0.25
Câu VIa
tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC lần lượt là G(
3
2
;
3
2
),I(1;2) .Xác định tọa độ đỉnh C.
1 điểm
Trang 6+Do G là trọng tâm tam giác & M là trung điểm BC nên:
GM
AG = 2
î
í
ì
-
=
-
=
Û
ï
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
-
Û
2
4
3
4
2
3
2
3
7
2
3
2
A
A
A
A
y
x
y
x
Þ A ( - 4 ; - 2 )
0,25
+Từ giả thiết Þ BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên nhân IM = ( 2 ; 4 ) là
+Phương trình đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC là (C) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25
Tọa độ C chính là giao của đường tròn(C) & đường thẳng BC
0.25
+Giả hệ
î
í
ì
= + +
-
= +
25 )
2 ( )
1 (
0
7
2y
x
2
2
y
x ta được C ( 1 ; 3 ) hoặc C ( 5 ; 1 )
M
I
A
B
C
G
0.25
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
2
2
3
2
1
1 :
;
1
2
1
2
1 : 2
1
-
-
=
+
=
-
-
+
=
=
- x y z
d
z
y
x d
Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau.Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt
phẳng (P)
0
7 =
- +
+ y z
1 điểm
+ Phương trình tham số của
ï
î
ï
í
ì
-
=
+
-
=
+
=
ï
î
ï
í
ì
-
-
=
=
+
=
'
2
2
'
3
2
'
1
;
2
2
1 : 2
1
t
z
t
y
t
x
d
t
z
t
y
t
x
d
Véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng lần lượt là: 1 ( 2 ; 1 ; - 1 ); 1 ( 1 ; 3 ; - 2 )
®
®
u
®
®
1
1 ,u
u
không cùng phương nên d1,d2 cắt nhau hoặc chéo nhau.Xét hệ:
ï
î
ï
í
ì
-
=
-
-
+
-
=
+
= +
'
2
2
2
'
3
2
'
1
2
1
t
t
t
t
t
t
vô nghiệm nên d1,d2 chéo nhau.
0.25
+Goi A,B là giao điểm của D với d1,d2 Þ A ( 1 + 2 t ; t ; - 2 - t ); B ( 1 + t ' ; - 2 + 3 t ' ; 2 - 2 t ' )
)
4 '
2
;
2 '
3
;
2 ' ( - - - - + +
Þ AB t t t t t t Do D //(P ) Þ AB n p = 0
0
2
2 '
2
0 )
4 '
2 ( )
2 '
3 ( )
2 '
( - + - - + - + + = Û - + =
Û t t t t t t t t Û t ' = t - 1
0,25
2
+Khi đó AB=
2
7
2
49 )
2
5 (
6
62
30
6 )
6 ( )
5
2 ( )
1 ( - t - 2 + t - 2 + - t + 2 = t 2 - t + = t - 2 + ³
Dấu “=” xảy ra
2
5
=
Û t .
0,25
Trang 72
5
=
2
9
;
2
5
;
6 ( -
A ; ( 1 ; 0 ; 1 )
2
7 )
2
7
;
0
;
2
7 ( - = -
Từ đó ta có
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
+
-
=
=
-
=
D
t
z
y
t
x
2
9
2
5
6
:
0,25
Gọi z 1 , z 2 , z 3 là các nghiệm của phương trình: 3 2 2 0
= +
- z
z , z Î C .Tính z 1 2 + 2 z 2 2 + 3 z 3 2 1 điểm
ë
é
= +
-
-
=
Û
= +
- +
Û
= +
-
(*)
0
2
2
1
0 )
2
2 )(
1 (
0
2
3
z
z
z
z
z
z
z
z
0,25
ë
é +
=
-
=
Û
i
z
i
z
1
1
CâuVIIa
Do đó phương trình có 3 nghiệm: z 1 = - 1 , z 2 = 1 - i , z 3 = 1 + i
Từ đóÞ z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 = 1
0,25
Þ z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 - 2 i = 5
0.25 Câu VIb
1
Trong mặt phẳng tạo độ Oxy ,cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC có phương trình :
0
3 = +
- y
của hình thoi.
1 điểm
I
A
D
B
C
M
N
Ta có:BD có phương trình: x + y - 3 = 0
Goi I là tâm hình thoi ABCD Þ ( 0 ; 3 ) Do I là trung điểm BD Þ D (- 4 ; 7 )
0,25
Goi N là điểm đối xùng của M qua I ta có N(0;5) Î DC .Ta có phương trình DC qua D
Nhân DN = ( 4 ; - 2 ) = 2 ( 2 ; - 1 ) là vectơ chỉ phương do đó DN nhận vectơ n ( 1 ; 2 ) là vectơ pháp
tuyến .Từ đó có phương trình DC: x + y 2 - 10 = 0
0,25
3
13
;
3
4
(
C
3
5
;
3
4 (-
Þ A
0,25
2
2
3
2
1
1 :
;
1
2
1
2
1 : 2
1
-
-
=
+
=
-
-
+
=
=
- x y z
d
z
y
x
d
Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng
1 điểm
Trang 8(P) x + y + z - 7 = 0 cắt d 1 , d 2 tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó
ngắn nhất.
0, 25 0,25
Gọi Goi A,B là giao điểm của mặt phẳng cần tìm với d1,d2 tương tư Câu VIb .b
0,25
Phương tình mặt phẳng cần tìm qua A song song với (P) do đó ta có kết quả là:
0
4 =
- +
+ y z
Giải bất phương trình: - 3 x 2 - 5 x + 2 - 4 x 2 . e x + 2 x > 2 x . e x . - 3 x 2 - 5 x + 2 1 điểm
Điều kiên:
3
1
2 £ £
- x
Bất phương trình tương đương: ( - 3 x 2 - 5 x + 2 + 2 x )( 1 - 2 x e x ) > 0 (*)
0.25
Xét f ( x ) = 1 - 2 x e x có f ' ( x ) = - 2 e x ( 1 + x ) Þ f ' ( x ) = 0 Û x = - 1
Lập bảng biên thiên f(x) Þ f ( > x ) 0 ]
3
1
;
2 [-
Î
"x
0,25
Do đó:
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
î
í
ì
>
+
-
-
³
-
î
í
ì
³ +
-
-
<
-
Û
-
>
+
-
-
Û
>
+ +
-
-
2
2
2
2
2
4
2
5
3
0
2
0
2
5
3
0
2
2
2
5
3
0
2
2
5
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0,25 CâuVIIb
Gải bất phương trình,kết hợp nghiêm ta được:
3
1
1 < £
- x
0.25
Chú ý:Các cách giải khác cho kết quả đúng vẫn đươc điểm tối đa.
