NHỮNG LƯU Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ MÔN TOÁN doc

Vì sự giảm tải chương trình, vì cấu trúc đề thi ĐH&CĐ nên Bộ GD&ĐT sẽ hạn chế bớt một số kiến thức hay một số phương pháp giải khác so với các năm đề thi riêng trước đây.. Đó chính là cá

NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ

MÔN TOÁN.

Kỳ thi ĐH&CĐ đang sắp đến gần, ngoài cuốn sách “Những điều cần biết” để các em có thể chọn cho mình ngành học phù hợp thì còn có thêm “những điều cần biết” khác

đó chính là: Các kiến thức cần chú ý khi làm bài thi Vì sự giảm tải chương trình, vì cấu trúc

đề thi ĐH&CĐ nên Bộ GD&ĐT sẽ hạn chế bớt một số kiến thức hay một số phương pháp giải khác so với các năm đề thi riêng trước đây Song còn rất nhiều tài liệu, nhiều giáo viên vùng sâu vùng xa còn bị ảnh hưởng bởi các phương pháp này khi trình bày Điều đáng chú ý

là chưa có một cuốn sách hay một tài liệu nào đáng tin cậy viết về những vấn đề này cho các

em học sinh Chính vì những lí do đó sau đây đây tôi xin nêu lên một số điểm chú ý khi làm bài thi môn Toán Đó chính là các kiến thức các em không được áp dụng trong quá trình làm bài, hay nếu được áp dụng các em sẽ áp dụng ra sao

A PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH:

1 Vấn đề hàm ngược của các hàm lượng giác:

Chúng ta thấy rằng khi giải các phương trình lượng giác, khi tính tích phân xác định

có những số chúng ta không đổi ngược lại thành các góc đặc biệt được nên người ta nghĩ ra các đặt tên cho các số đó là: arcsin ,arccos ,arctan ,ar cot   c  Nhưng ngày nay chúng ta

sẽ không áp dụng cách viết đó nữa mà chúng ta sẽ đặt các góc đó là  hay β rồi biểu thị qua các hàm lượng giác của chúng

 Ví dụ 1: Khi giải PT lượng giác đến chỗ sinx 3

4

 thì ta suy ra ngay

2

; 2

k

 





   



 trong đó sin 3

4

 

 Ví dụ 2: Khi tính tích phân ta đổi cận và thấy trong tích phân

2 2

dx I

x





 khi đặt

7 tan t arctan 7

x  t để đổi cận Nhưng ta sẽ không dùng arctan mà ta sẽ đặt α và β

sao cho:















1 tan

7 2 tan

7

Khi đó ta có kết quả là: 7 ;

7

I    với















1 tan

7 2 tan

7

2 Vấn đề sử dụng định lí đảo của “ ĐL về dấu tam thức bậc 2”:

Ta thấy có nhiều bài toán cần đến kiến thức này, nhất là các bài toán phụ về khảo sát hàm số như: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên đoạn nào đó Hay hàm số đạt cực trị thõa mãn ràng buốc nào đó Nếu áp dụng ĐL đảo của “ĐL về dấu của tam thức bậc 2” sẽ rất thuận tiện Nhưng Bộ GĐ đã không cho dùng Song lại có những bài không dùng định lí này thì mình không thể giải quyết được Vậy chúng ta sẽ làm thế nào? Sau đây

sẽ là một giải pháp

 Giải pháp: ( Tịnh tiến và áp dụng tổng và tích các nghiệm)

Nếu một bài toán sau khi chuyển về ngôn ngữ của PT bậc 2 là: Tìm tham số m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện: Hoặc x1 x2  hoặc x1  x2 hoặc

x x

   thông thường mình nghĩ ngay đến việc áp dụng ;af ;

2

S



 để giải thì mình lại

chuyển các điều kiện x1x2  hoặc x1  x2 hoặc  x1x2 thành 



 





 



y x

Lúc này bài toán trở về đặt y = (x – α) sau đó biến đổi mình cũng đưa về PT bậc 2 biến y ) sau đó biến đổi mình cũng đưa về PT bậc 2 biến y tham số m thõa mãn điều kiện:

 Tương ứng với x1x2  sẽ là: 0 y 1y2 

 









1 2

0

0 0

y

S y y

P y y

 Tương ứng với x1  x2 sẽ là: y1 0 y2   

 1 2

0 0

y

P y y

 Tương ứng với  x1x2 sẽ là: y1y2 0

 









1 2

0

0 0

y

S y y

P y y

 Ví dụ: Tìm a để hàm số:yx3 3(m1)x23(m1) 1 nghịch biến trên ;1

Giải:

Ta có: y'3x2 6(m1)x3(m1) Để hàm số nghịch biến trên  ;1 thì BPT

2

3x 6(m 1)x 3(m 1) 0 luôn đúng với mọi x ∈  ;1 Đến đây tất nhiên các em có thể sử dụng PP hàm số là cô lập m sang 1 vế và tìm Min, Max của hàm số ở vế kia Song chúng ta có thể làm như sau:

Ta thấy nếu PT: 3x2 6(m1)x3(m1)0 *  vô nghiệm sẽ không thõa mãn vì

a =3 > 0 nên (*) phải có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện: x1 x2  1

Đặt y = x – 1  3y12 6(m1)y13(m1) 0 y22m2y3m 4 0(**)

Khi đó PT ** có 2 ngiệm thõa mãn y1 y2  0

 









1 2

0

0 0

y

S y y

P y y

 



 





2

4

3 4

3

m

m

3 Vấn đề sử dụng định lí Viet cho phương trình bậc 3:

Ta thấy trong bài toán về tương giao của hàm bậc 3 hay bài toán về cực trị của hàm bậc 4 sẽ có những bài toán dẫn chúng ta đến việc tính theo tham số m giá trị của biểu thức chứa x1; x2; x3 Chúng ta sẽ nghĩ ngay đến ĐL Viet cho PT bậc 3, song Bộ GD&ĐT không cho chúng ta nói là áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3 Vậy chúng ta giải quyết thế nào đây?

 Giải pháp: Chúng ta vẫn áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3, song chúng ta lại đi chứng

minh lại ĐL này Như vậy chúng ta sẽ làm bài toán ấy dựa theo phương pháp chứng minh ĐL Viet cho PT bậc 3 Sau đây sẽ là ví dụ tôi xin trích ngay từ đề thi ĐH năm 2010 vừa qua như sau:

 Ví dụ: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12x22 x32 4

Giải:

Sau khi tìm điều kiện để PT x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì

ta có: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

1 2 3

2 1

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m

x x x m

  







 x12x22x32 x1x2 x32 2x x1 2x x2 3x x3 1  4 2m1 4 m 1

Kết hợp với điều kiện của m để PT có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 ta có kết quả cuối cùng

là:







 



1

1 4

0

m m

Bài toán này chúng ta nhẩm được nghiệm trước là x = 1 nên đưa về PT bậc

2 nên nó đơn giản hơn ( Cách này các bạn xem đáp án của Bộ GD nhé).

4 Vấn đề sử dụng điều kiện nghiệm kép:

Trong nhiều bài toán về tiếp xúc Bộ GD đã không cho chúng ta sử dụng điều kiện nghiệm kép để giải quyết các bài toán Vấn đề chuyển hướng giải quyết của vấn đề này đã được nói khá nhiều cách đây 6, 7 năm rồi và nhiều tài liệu bắt đầu chuyển dần sang hướng mới rồi Tôi chỉ xin nhắc lại cho các bạn như sau:

 Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp

xúc với nhau Trước đây người ta đi tìm điều kiện của tham số m để PT hoành độ:

f(x) = g(x) có nghiệm kép Nhưng người ta đã chuyển điều kiện thành:

Tìm m để hệ phương trình    

   









f x g x

f x g x có nghiệm Khi g(x) là hàm bậc nhất ta có nó là tiếp tuyến, còn khi cả f(x) và g(x) là các hàm khác thì nó là sự tiếp xúc của các đường cong Cùng xem xét ví dụ nhé!

 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C :y x 3 3x2 biết tiếp tuyến đó 2 vuông góc với đường thẳng: 5y 3x 4 0

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho có phương trình dạng:( ) : 5

3

d y  x a

Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ

2

5

3 5

3









có nghiệm

3





   



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: ( ) :1 5x 29

3 27

d y   và ( ) :2 5x 61

3 27

 Ví dụ 2: : Tìm m để đường cong y = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m và

y = 2x3 –10x2 +10x+1 tiếp xúc với nhau

Giải:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó ta có hệ sau:







x - 6x +12x - 14x + 2m + m=2x - 10x + 10x + 1(1)

4x - 18x + 24x -14=6x - 20x + 10(2)

Ta thấy (2)  4x30 24x20 44x0  240  x30 6x2011x0 60

 (x0 - 1)(x0 - 2)( x0 - 3) = 0  x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 3

- Nếu x0= 1 Thay vào (1) và ta có: 2m2 + m – 7 = 3  2m2 + m – 10 = 0 







 



m 2 5 m 2

- Nếu x0= 2 Thay vào (1) và ta có: 2m2 + m – 7 = 0  m =  1 57

4

- Nếu x0= 3 Thay vào (1) ta có: 2m2 + m – 10 = 0 (Quay về trường hợp x0= 1)

Vậy các giá trị cần tìm của m là : m = 2 , m =  5

2, hoặc m =  1 57

4

5 Vấn đề sử dụng phương pháp tính nhanh cực trị hàm phân thức và đa thức:

Chúng ta biết rằng khi tính các trực trị của hàm số tại các điểm đạt cực trị bằng số nguyên cụ thể thì tính đơn giản Nhưng khi là số vô tỷ phức tạp, thậm chí có cả tham số hay viết PT đường thẳng đi qua CĐ và CT thì mình sẽ đi áp dụng “ Bổ đề” sau Và chúng ta cần chứng minh lại các bổ đề này khi áp dụng trong bài thi Việc nhớ cách chứng minh không hề khó khăn gì đâu các bạn à, nó chỉ áp dụng cách tính đạo hàm thôi, mà đạo hàm ai chẳng biết tính

 Bổ đề 1: ( Với hàm đa thức)

 Hàm bậc 3:

- Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

  1    2 2  

      hay f x  f x q x     r x 

với bậc r x   1

- Bước 2: Do  

2

1

2 2

2

nên







- Hệ quả : Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x)

Đối với hàm số tổng quát : y  f (x) ax3 bx2 cx d a   0 thì đường thẳng đi qua cực

đại, cực tiểu có phương trình: 2 2  

 Hàm bậc 4:

Giả sử f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị

là   4 3 2

f x ax bx cx dx e Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

- Bước 1 : Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

   .    

BËc BËc BËc

- Bước 2: Do f (x0)  0 nên f (x0)  r(x0)

- Hệ quả : Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y  f (x) nằm trên y  r(x)

 Bổ đề 2: ( Với hàm phân thức)

Nếu hàm số y =  

 ;   0

u x

v x

v x  đạt cực trị tại x = x0 và , thì y(x0) =

 

 

0 0

' '

u x

v x

Chứng minh: Ta có: y = u v v u' 2 '

v



để hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì

         

0

'

u x v x v x u x

u x v x v x u x

v x



   

 

 

 

0

' '

y x

v x v x

Áp dụng: Nếu hàm số y =  

 

u x

v x đạt cực trị tại x1; x2 thì giá trị cực trị tại đó lần lượt là:

 

 

1

1

2

2

' ' ' '

u x

v x

u x

v x















và đường thẳng đi qua CĐ và CT có phương trình là: y =  

 

' '

u x

v x

Vấn đề này các em tự tìm cho mình các ví dụ nhé!

6 Vấn đề sử dụng quy tắc L’Hopital và tích phân để tính giới hạn:

Về vấn đề này mang tính chất nâng cao một chút vì nó hoàn toàn là các kiến thức của chương trình ĐH nhưng nó liên quan đến giới hạn – một nội dung nằm trong cấu trúc đề thi ĐH&CĐ Xin cảnh báo các bạn học chuyên Toán và các bạn từng đi thi đội tuyến HSG môn Toán rằng: Trong quá trình ôn thi đội tuyển các bạn đương trang bị thêm 2 phương pháp tính giới hạn ngoài các PP phổ thông nói ra đó là: Dùng quy tắc L’ Hopital và dùng tích phân Tôi xin nêu lại 2 phương pháp này như sau:

 Quy tắc L’ Hopital:

Khi x hay x 0 thì giới hạn:  

 

 

 

'

'

     hoặc  

 

 

 

'

'

 Quy tắc tích phân:

Xét bài toán: Cho S n u1u2 u n Tính limx S n

 

Giải quyết: Giả sử f(x) liên tục trên [a;b] khi đó với mọi phép phân hoạch π của đoạn [a;b] và

mọi cách chọn các điểm ix i 1;x i,i1;n Đặt: d Maxx i x i1ta luôn có:

   1  

0 1

lim n i i i b

d i

a

f  x x f x dx

    Từ đó ta có thể tính giới hạn của một tổng nhờ tích phân

theo quy trình sau đây:

- Bước 1: Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức:

1

n n

i



- Bước 2: Xây dựng hàm f(x) khả tích trong đoạn [a;b]

- Bước 3: Tính tích phân b   lim n b  

x

 

7 Vấn đề sử dụng các Bất Đẳng Thức:

Bất đẳng thức đã trở thành vấn đề nan giải đối với nhiều bạn Tất nhiên nó luôn có trong cấu trúc đề thi ĐH&CĐ thậm chí có thể ẩn trong một số bài toán khác Song chúng ta cần phải biết rằng kể từ nay chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy (Côsi) trong quá trình làm bài thi của mình, các bất đẳng thức quen thuộc khác như: Bunhiacôpxki , BĐT Trebưsep, BĐT Svacxơ, BĐT Becnuli, BĐT Mincopxki, BĐT Jensen… đều không được áp dụng ngay

cả khi chúng ta chứng minh lại các BĐT đó rồi mới vận dụng Về BĐT chúng ta chỉ được áp dụng các phương pháp: PP tam thức bậc 2, PP biến đổi tương đương, PP phản chứng, PP hàm

số, PP hình học, PP lượng giác hóa và áp dụng BĐT Côsi cùng với hệ quả của nó mà ta chứng minh luôn trong bài làm đó là các hệ quả:

 Các hệ quả của BĐT Côsi:

- Hệ quả 1: Cho các số thực dương x; y khi đó: x y 1 1 4

x y

   

- Hệ quả 2: Cho các số thực dương x; y; z khi đó: x y z 1 1 1 9

x y z

     

8 Vấn đề sử dụng BĐT tích phân và BPT lượng giác:

Về vấn đề này Bộ SGK mới đã không hề đề cập đến ngay cả các bài đọc thêm Song còn rất nhiều tài liệu còn viết về loại toán này Chính vì lí do chúng ta không học nên không thi vào Song nếu đọc được tài liệu nào có các loại này thì xin các bạn cũng đừng dùng vào trong quá trình làm bài thi của mình Tôi xin nhắc lại đôi chút các dạng toán này để các bạn

đề phòng nhé!

 Bất đẳng thức tích phân:

Định lí: Nếu f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f x g x , x [ , ]a b thì

f x dx g x

  Dấu “=” xảy ra  f x g x , x [ , ]a b

 Bất phương trình lượng giác:

Có nhiều bài tìm điều kiện của ẩn mới sau khi đặt ẩn phụ mình dẫn đến một bất phương trình lượng giác Trước đây SGK cũ có dạy cách giải BPT lượng giác Song ngày nay không còn nữa Vậy gặp trường hợp này mình phải làm thế nào?

 Hướng giải quyết: Chẳng hạn bài toán là: Tìm điều kiện của tham số m để PT nào đó có

nghiệm mà mình đặt t = sinα ta đi đến 1 BPT sinα > a (a  1;1 ) Ví dụ a = 1

2.Ta sẽ đi gải

BPT: sin 1

2

  khi đó các bạn đi dựng đường trong lượng giác trên đó xác định rõ trục sin, cos, tan và cot Sau đó xác định miền nghiệm:Lúc đó miền nghiệm chính là cung bé đi từ 5



    

B PHẦN HÌNH HỌC:

1 Vấn đề sử dụng PHƯƠNG TRÌNH CHÙM:

Vấn đề này cũng khá hay, trước đây SGK dành riêng 1 bài nói về phương pháp làm này Liên quan đến chùm ta có: Chùm đường thẳng cùng đi qua một điểm trong hình học giải tích phẳng, chùm mặt phẳng cùng nhận 1 đường thẳng cho

trước làm giao tuyến, chùm đường tròn cùng đi qua 1

điểm… Sau đây tôi xin nói lại chùm mặt phẳng cái này

hay dùng trong các bài toán hình giải tích không gian

Nhưng Bộ GD&ĐT hạn chế Chúng ta sẽ làm thế nào?

 PP chùm mặt phẳng: Cho đường thẳng d có PT:

By Cz D

B y C z D







Khi đó PT của chùm mặt phẳng chứa đường thẳng d có

đồng thời bằng 0).Ta thường dùng công thức trên để viết PT mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d và điểm A (Tham số m trong PT chùm sẽ được tìm bằng cách thế điểm A và PT)

 Cách giải quyết: Nếu đang cần lập PT của mặt phẳng ta cứ coi như mặt phẳng đó có vectơ

pháp tuyến là: (a;b;c) trong đó (a;b;c) khác (0;0;0) Khi ấy ta luôn chọn được 1 số lớn nhất trong bộ {a,b,c} Giả sử a là số lớn nhất ta chia cả 3 số cho a, điều này làm được vì nó là vectơ chứ không phải điểm Ta chỉ còn lại vectơ pháp tuyến có dạng (1;m;n) thôi Đến đây khai thác các dữ kiện ta sẽ có m và n và lập được PT mặt phẳng cần tìm Sau đây sẽ là ví dụ

so sánh giữa 2 cách giải này:

 Ví dụ: Cho điểm A(- 1; 2; 3) Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

d: 2 1 0

1 0

x y

z

  





 



và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3

 Cách 1: (Dùng chùm)

Do d thuộc mp (P) nên (P) có dạng: 2x - y - 1 z 1          0 2 x y z 0, trong đó

   

4

       

               

    

2 2 0 1

2



      

 Chọn α = 1; β = - 2 Ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0

 Cách 2: (PP khác)

Gọi vtpt của (P) là: n P a b c; ;   0;0;0 Giả sử

 ; ;  ( )P 1; ;a c 1; ; 

b b



Do ud n P  2m 1 0 với u   d  1; 2;0 1

2

m

 

Do điểm M(1;1;1) thuộc d nên M thuộc (P) lúc này (P) có dạng:

 1 1 1  1 0 2 2 2 1 0

2

x  y n z   x y  nz n 

Do d(A,(P)) = 3 nên: 4 2 5 3  12 0 1

n

n





Vậy ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0

2 Vấn đề sử dụng TÍCH HỐN TẠP:

Trong hình học giải tích phẳng đôi khi ta gặp bài toán xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng hay thể tích, khoảng cách… mình sử dụng công thức tích hỗn tạp Có rất nhiều tài liệu viết cách tính tích hỗn tạp này Song tôi xin khẳng định rằng: Chương trình của các bạn chỉ mới làm quen với “ Định thức cấp II” thôi, chưa học đến cấp III nên trong bài thi các bạn vẫn không được dùng cách tính định thức cấp III Mà các bạn phải tính dần dần: Tích có hướng tìm ra vectơ tích trước, sau đó nhân vô hướng rồi mới có kết quả:

 Ví dụ: Chứng minh rằng 3 vectơ sau đây đồng phẳng:

 

1;2;3 1;1;1 2;3; 4

a b c

 



















- Nếu áp dụng cách tính định thức cấp 3 các bạn chỉ cần đi chứng minh cho định thức:

1 2 3

1 1 1 1.1.4 1.3.3 2.1.2 3.1.2 1.2.4 1.3.1 17 17 0

2 3 4

Thay vì việc làm đó ta đi tìm tích có hướng của 2 3 3 1 1 2; ;  1; 2; 1

1 1 1 1 1 1

 

Khi đó a b c  

  

- 2 + 6 – 4 = 0 => ĐPCM

 Thay lời kết: Quả thực khi chúng ta tham khảo nhiều tài liệu chúng ta đương nhiên sẽ bị ảnh

hưởng bởi các tài liệu đó Tài liệu thì lại rất nhiều, mới có, cũ có, mới nhưng viết theo lối cũ

có Bởi vậy các em cần biết chọn cho mình các tài liệu tham khảo cho phù hợp Trên đây là

10 điểm chú ý khi làm bài thi môn Toán các em nên biết để không bị mất điểm Thực ra mà nói Bộ GD&ĐT nói là không được dùng PP này hay PP kia nhưng vẫn chưa có 1 tài liệu nào của Bộ GD ban hành về vấn đề này, nói rõ các lí do vì sao không được dùng Trên đây chỉ là rút kinh nghiệm bản thân qua các đáp án bài thi môn Toán các Khối A, B, D của đề thi ĐH&CĐ qua các năm vừa qua, cùng với kinh nghiệm của một số thầy giáo khác Một số ý kiến khác… Tôi xin ghi chép, tổng hợp cẩn thận để các bạn yên tâm hơn trong khi đứng vào gianh giới “ được và không được” Sẽ là rất đáng tiếc vì những cái gọi là “ Không biết không

có tội”

Mong các em đạt được kết quả cao nhất!