Sáng kiến kinh nghiệm " NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG " pot

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG PP năng lượng dùng: xác lập một sự tương ứng giữa năng lượng của hệ dao động với năng lượng của một con lắc đơn giản nhất gồm một vật năng

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG

PP năng lượng dùng: xác lập một sự tương ứng giữa năng lượng của hệ dao động với năng lượng của một con lắc đơn giản nhất gồm một vật năng khối lượng m treo trên một lò xo có độ cứng k Nếu biểu thức cơ năng ở li độ x của hệ đưa về dạng E=

2 2

2 2

' k x x

m hd hd

 thì hệ sẽ dao động điều hoà x=Asin(  t )với tần số góc

hd hd m k   Để minh hoạ cho PPNL, ta hãy dùng nó dể tìm chu kì của con lắc đơn: gồm một vật nặng m treo trên sợi dây mảnh dài l Để có tham số x, ta chọn độ dịch chuyển của vật nặng theo cung tròn tính từ vị trí cân bằng Động năng của con lắc là mx’2/2, tức khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng của vật nặng Đối với những độ lệch nhỏ của con lắc (x<<l), thế năng của hệ là: Et =mgh=mgl(1-cos) =2mglsin2 2  =mgl 2 2  = l mg 2 2 x (1) , trong đó l x   là góc lệch của con lắc Do đó, độ cứng hiệu dụng bây giờ là l mg và tần số góc của dao động là hd hd m k   = l g Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cụ thể Bài toán 1 Một thanh dài l=40cm được uốn thành nửa vòng tròn nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể Người ta gắn vào nửa vòng tròn này một trục quay nằm ngang đi qua tâm vòng tròn Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của nửa vòng tròn xung quanh vị trí cân bằng nếu trục quay vuông góc với mặt phẳng đó Lấy g=9,8 m/s2 Giải: Để có tham số x xác định vị trí của hệ, ta chọn độ dịch chuyển của các điểm trên thanh ra khỏi vị trí cân bằng Khi đó động năng của hệ bằng mx’2/2, với khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng của thanh Để tính thế năng, ta coi rằng ta đã dịch chuyển một mẩu của thanh có chiều dài x và khối lượng mx/l từ đầu này đến đầu kia của thanh (như minh hoạ trong hình vẽ) Khi đó tâm của đầu mẫu đã dịch chuyển một đoạn x, tức là độ biến thên thế năng của thanh bằng Et= gx l mx = l mg 2 2 2 x (2) (ta quy ước thế năng ở VTCB=0) Điều này có nghĩa là độ cứng hiệu dụng của hệ là khd=2mg/l Do đó tần số góc của dao động là hd hd m k   = l g 2 =7 (rad/s) Bài toán 2 Một ống chữ U có thiết diện S=10cm2 chứa 400g nước Tìm tần số góc của dao động theo phương thẳng đứng của chất lỏng Bỏ qua ma sát và lấy g =9,8 m/s2  x

x O

x

x

Giải: Nếu nước dịch chuyển một đoạn x từ VTCB thì, như trong bài toán trước,

có thể coi một cột nước nhỏ dài x và có khối lượng Sx đã dịch chuyển từ nhánh này sang nhánh kia Độ biến thên thế năng lúc đó là: Et= (Sx)gx=2gS

2

2

x

Với =1g/cm3 là khối lượng riêng của nước Như vậy độ cứng hiệu dụng là

2gS, còn khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng m của nước có trong ống Do đó tần số góc của dao động là

hd

hd m

k



m

gS



2

=7 (rad/s)

Bài 3 Một thanh không trọng lượng được uốn thành 1/3 vòng tròn bán kính

R=5cm Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể, người ta gắn cung tròn này vào một trục quay nằn ngang đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với mặt phẳng của nó Người ta gắn vào 2 đầu cung tròn 2 vật nặng như nhau Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh vị trí cân bằng Lấy g=9,8 m/s2

Giải: Để làm tham số xác định đọ lệch của cung tròn ra khỏi vị trí cân bằng, ta

chọn góc lệch nhỏ  Khi đó động năng của hệ là:

Ek=2

2

2 2

2 2

2 ' 2 2

2 2





mR mR

mv





Tức khối lượng hiệu dụng là mhd=2mR2 (ở đây m là khối lượng của vật nặng)

Sẽ là thuận tiện nếu ta biểu diễn thế năng của hệ qua sự biến thiên độ cao trọng tâm của hệ Dễ thấy rằng trọng tâm của hệ nằm giữa 2 vật nặng và ở cách điểm treo một khoảng l=Rcos600=R/2, do đó

Et=2mgl(1-cos)=2mgl

2

2



=mgR

2

2



Điều này có nghĩa là độ cứng hiệu dụng

khd=mgR và tần số góc của dao động bé là:

hd

hd m

k



R

g

2 = 10 (rad/s)

(Coi như là một bài luyện tập nhỏ, em hãy làm lại bài toán trên nhưng bây

Bài toán 4 Một thanh có khối lượng M=20g và chiều dài l=118cm được uốn

thành một nửa vòng tròn, và nhờ các nan hoa có khói lượng không đáng kể người ta gắn nửa vòng tròn này vào một trục quay nằm ngang đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với mặt phẳng của nó Người ta gắn vào giữa thanh một vật nặng m=100g Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của nửa vòng tròn xung quanh vị trí cân bằng Lấy g=9,8 m/s2 và =3.14

Giải: Có thể coi bài toán này là tổ hợp của ví dụ về con lắc đơn và bài toán 1

Do đó khi tính thế năng cần phải sử dụng đồng thời phương pháp tính độ cao khi góc lệch bé (công thức (1))và phương pháp dịch chuyển một mẩu của thanh(công thức (2)) Khi đó ta có

Et=(mgR(1-cos)+

2

) 2 ( 2

2 2

2 2

2

x l

g M m x

l

Mg x

R

mg gx l





Vì động năng của hệ bằng Ek=(m+M)

2

x

nên tần số góc của dao động là:

hd

hd m

k



l

g M m

M m



 2



=5 (rad/s)

Bài toán 5 Một thanh không trọng lượng có chiều dài l=3,5m có

thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu của

thanh Người ta gắn vào đầu tự do của thanh một vật nặng khối

lượng m và vào trung điểm của thanh vật nặng khối lượng 3m

Hãy tìm tần số góc của những dao động bé thanh xung quanh vị

trí cân bằng Lầy g=9,8 m/s2

Giải: Để làm tham số xác định độ lệch của thanh, ta chọn độ dịch

chuyển của thanh dọc theo cung tròn Như vậy độ dịch chuyển

của vật ở bên trên là x/2./ Khi đó động năng của hệ là:

Ek=

2 75 , 1 2

) 2 / ( 3

2

2 ' 2

' 2

'

x m x

m mx



 : Tức khối lượng hiệu dụng của hệ là

mhd=1,75m Thế năng của hệ là Et=(mgl(1-cos)+ 3mg

2

5 , 2 ) cos 1 ( 2

2

x l

mg l



Do đó khd=2,5mg/l vậy tần số dao động bé của hệ là

hd

hd m

k



l

g

7

10

=2 (rad/s)

(Coi như một bài luyện tập nhỏ, em hãy làm lại bài toán trên nhưng bây giờ

Bài toán 6 Một thanh không trọng lượng dài l=50cm

có thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua

một đầu của thanh Người ta gắn vào đầu tự do của

thanh một vật nặng khối lượng m=0,5kg và vào trung

điểm của thanh một lò xo nằm ngang có độ cứng

k=32N/m Khi thanh ở vị trí thẳng đứng, lò xo không

biến dạng Hãy tìm tần số góc của những dao động bé

của hệ xung quanh vị trí cân bằng Lấy g=10m/s2

Giải: Để làm tham số xác định độ lệch của hệ, ta chọn

độ dịch chuyển của vật nặng theo cung tròn Với độ

dịch chuyển đó, độ biến dạng của lò xo là x/2 Khi đó

thế năng của hệ là

Et=

l

mg

2

2

x

+k

2 4 2

) 2 /

l

mg x















 Hiển nhiên, khối lượng hiệu dụng của hệ đúng bằng khối lượng của hệ Khi đó tần số dao động của hệ là:

hd

hd

m

k



m

k l

g

4

 = 6 (rad/s)

Bài toán 7 Hai đầu một thanh không trọnglượng có chiều dài l=10cm, người ta

gắn 2 quả cầu nhỏ, mỗi quả có khối lượng m=9g Biết rằng 2 quả cầu tích điện trái dấu và độ lớn của các điện tích đó bằng q=3C và toàn bộ hệ thống được đặt trong một điện trường đều có cường độ E=600V/m và có hướng song song

O

 3m x/2

m x

O

k

x

m

với thanh khi ở VTCB Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ trên xung quang VTCB Bỏ qua tác dụng của trọng lực

Giải: Vì tổng các lực tác dụng lên hệ bằng không,

nên hệ quy chiếu gắn với tâm quán tính của hệ là

một hệ quy chiếu quán tính Do đó ta có thgể xem

điểm giữa của thanh là đứng yên Để làm tham số

đặc trưng cho độ lệch của hệ khỏi vị trí cân bằng, ta chọn góc quay  của hệ Động năng của hệ là: Ek=2

2 2 2

) 2 /



m

 Điều này có nghĩa là khối lượng hiệu dụng của hệ bằng mhd=ml2/2 Độ biến thiên thế năng khi thanh quay một góc bé  bằng công mà lực điện trường thực hiện lấy với dấu ngược lại

Et= 2qE 1 cos

l

=qEl

2

2



Điều này có nghĩa là độ cứng hiệu dụng của hệ bằng khd=qEl Từ đó suy ra tần số góc của dao động của thanh là:

hd

hd

m

k



ml

qE

2

=2 (rad/s)

Bài toán 8 Một ống dài được uốn thành góc vuông

được đặt sao cho một nhánh thẳng đứng Trong

nhánh thẳng đứng người ta dữ một sợi dây dài

l=90cm sao cho một đầu của nó nằm ở điểm uốn của

ống Hỏi qua thời gian bao lâu (tính ra mili giây) sau

khi buông tay ra thì nó trượt được một nửa vào nhánh

nằm ngang của ống? Bỏ qua ma sát lấy g=10m/s2 và =3,14

Giải: Nếu tại thời điểm t phần dây còn lại ở nhánh thẳng đứng có chiều dài x thì

năng lượng của hệ có dạng: E=

2 2

' 2 2

l

mg mx

x g l

mx mx







Trong dó mx/l là khối lượng của đoạn dây nằm trong nhánh thẳng đứng, và x/2

là độ cao trọng tâm của nó Vì biểu thức này đồng nhất với biểu thức của năng lượng của dao động điều hoà với tần só góc

l

g



 , và vận tốc ban đầu bằng không, nên chuyển động xảy ra theo quy luật x=lcos t (vì tại thời điểm ban đầu

x0=l) Công thức này chỉ có hiệ lực trong ẳ chu kì, khi mà x chưa =0, nghĩa là khi toàn bộ sợi dây chưa nằm trọn ven trong ống nằm ngang Để tính thời gian cần tìm, ta chỉ cần đặt vào công thức trên x=l/2 Giải phương trình đó ta nhận được:

t=

g

l

3

3







Bài tập luyện tập:

Bài toán 9 Một thanh dài l=20 cm dược uốn thành một cung tròn, có chiều dài

bằng 1/6 vòng tròn Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể người ta gắn cung tròn này vào một trục quay nằm ngang đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với mặt phẳng của nó Người ta gắn vào 2 đầu cung tròn 2 vật nặng như nhau

-q E

 q

x

Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh vị trí cân bằng Lấy g=9,8 m/s2

ĐS:

l

g



 = 7 (rad/s)

Bài toán 10 Một bánh xe mảnh có khối lượng M=400g với các nan hoa không

trọnh lượng có thể quay tự do quanh trục nằm ngang Trên bánh xe người ta gắn một vật nặng có khối lượng m=100g Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ xung quanh VTCB Biết bán kính của bánh xe R=50cm Lấy g=10m/s2

ĐS:

R

g M m

m





Bài toán 11 Một thanh không trọng lượng dài l=2,5m được uốn ở điểm giữa

thành 2 nhánh lập với nhau một góc 1200 Hai đầu của thanh được gắn 2 vật nặng như nhau Biết rằng thanh được ở đúng chõ uốn vào một chiếc đinh đóng trên tường Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ xung quang vị trí cân bằng lấy g=10m/s2

ĐS:

l

g



 =2(rad/s)

Bài toán 12 Một thanh không trọng lượng dài l=40cm có thể quay tự do xung

quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu thanh Tại điểm giữa của thanh người

ta gắn vật nặng có khối lượng m=0,5kg, còn đầu dưới của thanh được gắn với một đầu của một lò xo nằm ngang, còn đầu kia của lò xo được giữ cố định Biết rằng độ cứng của lò xo là k=30N/m và khi thanh ở vị trí thẳng đứng lò xo không biến dạng Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ xung quang VTCB Lấy g=9,8m/s2

ĐS:

m

k l

g

4

2





Bài toán 13 Một thanh dài l=40cm nặng m=0,5kg được uốn thành một nửa

vòng tròn Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng

kể người ta gắn cung tròn này vào một trục quay nằm

ngang đi qua tâm O của vòng tròn và vuông góc với mặt

phẳng của nó Một đầu của thanh được gắn vào đầu dưới

của một lò xo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố

định (như hình vẽ) Biết độ cứng của lò xo k=16N/n và

khi thanh ở VTCB lò xo không biến dạng Hãy tìm tần

số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh VTCB Lấy g=9,8 m/s2

ĐS:

m

k l

g



Bài toán 14 Người ta dữ đầu trên của một sơn xích mảnh có chièu dài l=45cm

nằm trên một mặt phẳng nghiêng lập với mặt phẳng ngang một góc =300 Hỏi qua thời gian bao lâu (tính ra mili giây) sau khi buông đầu dây xích ra, thì dây xích hoàn toàn rời khỏi mặt phẳng nghiêng? Biét rằng ở thời điểm ban đầu, đầu

O

dưới của dây xích chạm mép dưới của mặt phẳng nghiêng Lấy g=10m/s2 và

=3,14

ĐS: t=





sin

l

=471 (ms)