Sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài toán cực trị” pps

I.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần động học, nghiên cứu về chuyển động của các vật, thường có những dạng bài tập xác định khoảng cách lớn nhất hay nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình chuyển động

I.ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong phần động học, nghiên cứu về chuyển

động của các vật, thường có những dạng bài tập

xác định khoảng cách lớn nhất hay nhỏ nhất giữa

hai vật trong quá trình chuyển động, để giải quyết

các bài tập này hầu như học sinh và giáo viên

thường vận dụng phương pháp lập phương trình

chuyển động

Tuy nhiên trong một số bài toán cụ thể cần khả

năng tư duy cao, nếu dùng dùng phương pháp lập

phương trình chuyển động thì bài toán dài dòng,

phức tạp Thực tế qua một số giảng dạy và bồi

dưỡng học sinh khá giỏi ở lớp 10, ôn luyện học

sinh không chuyên lí thuộc ban KHTN tôi nhận

thấy có thể giúp học sinh sử dụng cộng thức cộng

vận tốc vào trong bài toán cực trị của phần động

học

Trong đề tài này tôi xin đề xuất một phương pháp

“Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài

toán cực trị”

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A Kiến thức cơ bản

1.Tính tương đối của toạ độ: Đối với các hệ quy

chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau

2 Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng

một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác

nhau

Công thức cộng vận tốc

v13 v12 v23





13

v

: vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

12

v

: vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

23

v

: vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)

32 23

21 12

31 13

v

v

v

v

v

v

























* Hệ quả:

1 Nếu v12, v13

cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn

v13 v12 v23

2 Nếu v12, v13

cùng phương, ngược chiều thì độ lớn v13 v12 v23

3 Nếu v12, v13

vuông góc với nhau thì độ lớn

v13  v122 v232

4 Nếu v12, v13

tạo với nhau một góc  thì độ lớn



cos

2 12 23 2

23 2

12

B.Nội dung các bài tập

Bài 1:(Bài tập lí thuyết)

Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng

Ax và By vuông góc với nhau, tốc độ lần lượt là v1

và v2( Hình vẽ) a/ Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2

b/ Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2 1

12 v ( v ) v v









 Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm

Bài 2: Hai xe chuyển động trên hai đường vuông

góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào một thời điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km và đang tiến về phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe

Giải

1

v

2

v

A

B

x

y

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2

1

12 v ( v ) v v











Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ

vận tốc v12

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa

hai xe  dmin= BH

tan

5

3 1

2





v

v

dmin=BH= BI sin = (B0-0I) sin  =

(B0-0A.tan ).sin  = 1,166km

Bài 3.( đề thi HSG Nghệ An 2005-2006, bảng B )

Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng

vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị

lần lượt v1= 30km/h, v2= 20km/h Tại thời điểm

khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách

giao điểm s1=500m Hỏi lúc đó vật 2 cách giao

điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2

1

12 v ( v ) v v











-Tại A cách O đoạn s1=500m dựng véc tơ v1

và véc tơ -v2

, và v12

Kẻ đường AB vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ v12

( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất dmin= AB)

tan =

3

2 2

1



v v

tan

0

m

A





Bài 4

Hai tàu chuyển động đều với tốc độ như nhau trên hai đường hợpvới nhau một góc  600và đang tiến về phía giao điểm O Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu Cho biết lúc đầu hai tàu

cách giao điểm O những khoảng l1=20km,

l2=30km

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2 1

12 v ( v ) v v











dmin= BH, OAK là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu như nhau)

 dmin=KB.sin

KB= l2-l1  dmin=5 3 km

Bài 5

Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc  =300 với tốc độ

3

1 2

v

v  và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm một đoạn d1=30 3 m Hỏi vật 2 cách giao điểm một đoạn bao nhiêu

S1

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2

1

12 v ( v ) v v











BA v12

 , dmin=AB

Vì

3

1

2

v

v  nên chứng minh được  300

Hạ đường AHBO

AH=AO.sin300= d1.sin300=15 3 m

HO= d1.cos300= 45 m

30

tan 0   BO=d2= 90m

Bài 6

Có hai vật M1 và M2 lúc đầu cách nhau một

khoảng l=2m(Hình vẽ), cùng lúc hai vật chuyển

động thẳng đều M1 chạy về B với tốc độ

v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ v2=5m/s Tính

khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để

đạt được khoảng cách này.Biết góc tạo bởi hai

45





Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2 1

12 v ( v ) v v











dmin= AH = AB.sin 

v21= v12 v22 2v1v2cos(1800 ) 



cos

2 1 2 2

2 2

Áp dụng định lí hàm sin ta có





BN BN

BM







12

2 12

2

sin sin

v v

v

























cos 2

sin 2 1 2 2 2 1

2 min

v v v v

lv

12

2 min 2

d l v

BH

Bài 7

Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chãy với vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông bên này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia Cho AC; CB=a Tính vận tốc nhỏ nhất của thuyền so với nước mà người này phải chèo để có thể tới B

Giải

Ta có v1 vo v12



 Ta biểu diễn các véc tơ vận

tốc trên hình vẽ

Vì vo không đổi nên v12 nhỏ nhất khi v12 v1

 

V12= vo.sin =

2 2 0

b a

b v



Nhận xét:

Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách

thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo

hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải

khá dài hơn!

Bài 8

Từ một khí cầu cách mặt đất một khoảng 15m

đang hạ thấp với tốc độ đều v1=2m/s, từ trong khí

cầu người ta phóng một vật nhỏ theo phương

thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu vo2= 18m/s

đối với mặt đất Tìm khoảng cách lớn nhất giữa

khí cầu và vật.Bỏ qua ảnh hưởng không khí lấy

g=10m/s2

Giải

Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương trên

xuống

Phương trình chuyển đông của khí cầu và vật

x1= 2t

Phương trình chuyển động của vật

x2= -18t +5t2

Phương trình vận tốc của khí cầu 1: v1= 2m/s (đ/k

t  7,5s)

Phương trình vận tốc của vật 2: v2=-18+10t (đ/k

t  3s)

Khi vật đang đi lên thì khoảng cách giữa vật và khí

cầu ngày càng tăng, khi vật lên đên điểm cao nhất

nó đổi chiều chuyển đông nhanh dần đều đi xuống,

khoảng cách giũa vật và khí cầu vẩn tiếp tục tăng

cho đến khi vận tốc của vật đạt giá trị bằng vận tốc

khí cầu 2m/s Ta có

v2=-18+10t = 2  t=2s

Khoảng cách: dmax=x1-x2=2t-(-18t + 5t2) = 20m

*Nếu bài toán này ta dùng hàm bậc hai để xét về

mặt toán học thì khá đơn giản hơn, tuy nhiên ý

nghĩa vật lí chưa được tường minh so với cách lí

luận ở trên

Bài 9

Từ cùng một độ cao,hai vật đồng thời được ném

theo phương ngang với các vận tốc đầu ngược

chiều nhau vo1= 10m/s, vo2= 16m/s, gia tốc trọng

trường g= 10m/s2 ( bỏ qua sức cản không khí) Sau

khoảng thời gian nào kể từ lúc bắt đầu ném thì hai véc tơ vận tốc vuông góc với nhau

Giải

vận tốc vật 1: v v gt



 01 01 vận tốc vật 2: v v gt



 02 2

Ta có v01.v02 

(v gt



01 )(v gt



02 )= 0

vì v01 v02



0 ) (

02

v v gt

Vi v01, v02

đều vuông góc với g

, và lúc đầu hai vật chuyển động ngược chiều nhau nên ta có

02 01 2 )

g

v v

t  01. 02 4



Bài 10: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa

độ vuông góc Ox, Oy và qua O cùng một lúc Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s2 và vận tốc khi qua O là 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s2 và vận tốc khi qua O là 8m/s Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại

Giải:

Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O

- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:

v 1 = v 01 + a 1 t = 6 + t

O

y

x 1

v

2

v

12

v

- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục

Oy:

v2 = v02 + a2t = - 8 + 2t

- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = 0 =>

t = 4s

- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:

v12 v1v2 Do v1 vuông góc với v2

=> v 12 = v 12 v22 = (6t)2 (82t)2

=> v12 = 5t2 20t100

Biểu thức trong căn của v 12 đạt giá trị nhỏ nhất

khi

5

2

)

20

(

2 (s) < 4 (s)

Vậy v12 có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s

=> (v12)min = 5.22 20.2100 8,94 (m/s)

Khi đó v 1 = 8m/s, (v1,v12) với Cos = v1 /v 12

= 8/8,94  0,895

=>  = 26,5 0

- Vậy v12 đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời

điểm t = 2s và hợp với Ox góc 26,5 0

Bài 11

Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 =

54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m

và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô Hỏi

người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc

nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô?

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 2 so 1 ta có

1 2 1

2

21 v ( v ) v v











Để 2 gặp được 1 thì v21

phải luôn có hướng AB

Véc tơ vận tốc v2

có ngọn luôn nằm trên đường xy// với AB  v2

khi v2

xy tức là v2

AB Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD

ta có

h km a

d v v a

v d

v

/ 8 , 10 1

2 1

Bài 12:

Hai xe chuyển động thẳng đều cùng chiều với các vận tốc v1 và v2( v2< v1, xe 2 đuổi theo xe 1) Khi khoảng cách giũa hai xe bằng d thì người lái

xe 2 hãm phanh chuyển động chậm dần đều với gia tốc là a Tìm điều kiện cho a để hai xe không đụng vào nhau

Giải

Chọn gốc toạ độ O là vị trí xe 2 bắt đầu hãm phanh, chiều chuyển động là chiều dương, gốc thời gian lúc xe 2 hãm phanh

Phương trình chuyển động xe 1

x1= d+ v1t Phương trình chuyển động xe 2

x2 =

2

2 2

at t

Để xe 2 không đụng vào xe 1 thì x1> x2

d+v1t>

2

2 2

at t

2









Để bất phương trình luôn đúng thì 0

d

v v a ad

v v

2

) (

0 2 ) (

2 1 2 2

1 2

















Củng có thể lí luận như sau

Phương trình vận tốc của hai vật:

V1= v1 V2= v2+at Vận tốc vật 2 sẽ giảm cho đến lúc V2=V1 khi đó ta

có : t=

a

v

v1  2

Với thời gian thoả mãn điều kiện trên thì điều kiện

để hai xe không đụng vào nhau: x1>x2

2









d

v v a

2

) ( 2  1 2





Bài 13

Xe 1 xuất phát từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a, không vận tốc đầu đi về B, cùng lúc

đó xe 2 chuyển động thẳng đều qua A đi về B với vận tốc vo Biết rằng hai xe về B cùng lúc Xác định khoảng cách lớn nhất giữa hai xe trên đoạn

AB

Giải

Chọn gốc toạ độ tại A, gốc thời gian khi xe A xuất

phát, chiều chuyển động là chiều dương

Phương trình vận tốc của hai xe là:

V1= at

V2= vo

Phương trình chuyển động của hai xe là

X1=

2

2

at

X2= vot

Khi qua A thì xe 2 sẽ vượt xe 1 (vì xe 1 không

vận tốc đầu), khoảng cách hai xe ngày càng tăng

cho đến khi vận tốc của xe 1 bằng vận tốc của xe

hai thì kể từ thời điểm đó khoảng cách giũa hai xe

lại giảm và bằng không khi đến B

Vậy khoảng cách lớn nhất khi V1=V2

t=

a

v0

dmax= X2-X1=

a

v at t v

2 2

2 0 2

Bài 14

Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l

Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc

có độ lớn lần lượt là v1, v2 Tàu A chuyển động

theo hướng AC tạo với AB góc  (hình vẽ)

a Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể

gặp tàu A Sau bao lâu kể từ lúc chúng ở

các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?

b Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc

với v1) thì các độ lớn vận tốc v1, v2 phải

thỏa mản điều kiện gì?

Giải:

a Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA góc 

- Hai tàu gặp nhau tại M Ta có AM = v1.t, BM = v2.t

- Trong tam giác ABM:

+



sin

BM AM



sin

2

1t v t v



 sin  = sin

2

1

v

v

(1)

- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc

 thỏa mản (1)

- Cos = cos[180 0 – (   )] = - cos(   ) =







- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 Tại thời điểm ban đầu v21 cùng phương chiều với BA

Theo công thức cộng vận tốc:

1 2 13 23

=> v212 v22 v122v2v1cos

=>

) cos cos sin

(sin 2

) cos (sin

) cos (sin

2 1

2 2

2 1 2

2 2 2 2 21





























v v

v v

v

=(sin2 .v22 2sinsin.v1v2 sin2.v12) +(cos2.v22 2coscos.v1v2 cos2.v12)

=(sin.v2sin.v1)2+(cos.v2cos.v1)2

= (cos.v2cos.v1)2 ( theo (1) )

=> v 21 = v1.cosv2cos Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:

t =



1

l v

AB





A

C

B

H

1

v







A

M

B

H

1

v

1

v

2

v

21

v

-v1

b Để 2 tàu gặp nhau ở H thì















cos ) 90

sin(

sin

90 90

0

0 0



















Theo (1) ta có:

1 2 2

1sin tan cos

v

v v

v







Bài 15

Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông

và phải đạt tới điểm B ở bờ bên kia nằm đối diện

với điểm A Muốn vậy, người thứ nhất bơi để

chuyển động được theo đúng đường thẳng AB,

còn người thứ hai luôn bơi theo hướng vuông góc

với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó

chạy ngược tới A với vận tốc u Tính giá trị u để

hai người tới A cùng lúc Biết vận tốc nước chảy

vo=2km/h, vận tốc của mỗi người bơi đối với nước

là v’=2,5km/h

Giải

*Xét người thứ nhất

-Vận tốc của người đối với bờ

0

1 v' v



 , do v1 v0 v12 v'2 v02

Thời gian người thứ nhất đến B là

t1=

2 0 2

1

AB

v

AB





*Xét người thứ hai

Vận tốc của người thứ hai đối với bờ

0

2 v' v



0 2 2 2

thời gian đến C là t20=



cos 2

AB v

AC

'

v AB

thời gian chạy trên bờ

t’20=

u v

AB v u

t v

u

BC

'

20 0 0





Theo đề bài t1= t20+t’20

u v

AB v v

AB v

v

AB

'

' '

0 2

0





h km v

v v

v v v

2 5 , 2 5 , 2

2 5 , 2 2 '

'

'

2 2

2 2

2 0 2

2 0 2 0





















III.Kết luận Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có nhiều cách giải khác, tuy nhiên khi áp dụng công thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn gọn, đơn giản hơn Tất nhiên trong một số bài cụ thể thì cần kết hợp các phương pháp khác

Đề tài này tôi đả tiến hành thử nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ở lớp 10, đối tượng là học sinh không chuyên lí, ban khoa học

tự nhiên, kết quả cho thấy tương đối khả quan, hầu như các bài tập dạng này các em đều vận đụng giải

và thu được kết quả nhanh Vì vậy đề tài này theo tôi là có tính khả thi

Chắc chắn trong quá trình thực hiện còn có nhiều thiếu sót, chưa chính xác, mong các thầy cô giáo cho ý kiến

Xin chân thành cảm ơn!

Quỳ Châu 25/5/2009 Đặng Phúc Long