Đề thi thử đại học cao đẳng năm 2011 lần thứ 4 môn toán trường THPT Quỳnh Lưu 1 docx

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của C.. Tìm các điểm M trên C sao cho tiếp tuyến với C tại M cắt các đường tiệm cận của C lần lượ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011- LẦN 4

Môn thi: TOÁN – Khối A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

1

x

x −

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của (C) Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: cot 1 2 os( )

x

π

+

2 Giải bất phương trình: ( x + 1) 1 − ≥ x x4− − x3 3 x2+ 5 x − − 2 1 − x

Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:

2 0

3 4

x x

+

=

+ −

∫

Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCA1B1C1, có đáy là tam giác đều cạnh a Điểm A1 cách đều

ba điểm A, B, C và cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA1B1C1.

Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

1

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: 1 hoặc 2.

1 Theo chương trình chuẩn.

Câu VIa: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ ABC có phương trình cạnh AB: x + y – 3 = 0, phương trình cạnh AC: 3x + y – 7 = 0 và trọng tâm G(2; 1

3 ) Viết phương trình đường tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B, C.

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

1

:

2

− − và d3:

Viết phương trình đường thẳng

∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.

Câu VIIa: (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng (a), (b) song song với nhau Trên (a) có 15 điểm, trên

(b) có n điểm Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 1725.

2 Theo chương trình nâng cao.

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; - 3), C(2; - 6) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ( ) :1

1 1 2

2

( ) :

− Tìm tọa độ các điểm M thuộc ( ) d1 và N thuộc ( ) d2 sao cho đường thẳng

MN song song với mp(P): 7 – 7 7 -8 0 x y + z = và độ dài đoạn MN bằng 2 .

Câu VII.b (1 điểm) Khai triển đa thức: 2011 2 2011

Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + + 2012 a2011 .

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 4

NĂM HỌC 2010 – 2011

I-1

(1 điểm)

TXĐ : D = R\{1}

0, ( x 1) x D

−

0,25

lim ( ) lim ( ) 1

→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

lim ( ) , lim

Bảng biến thiên

1 + ∞

- ∞

1

-y

y'

x -∞ 1 + ∞

Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;1)và (1; +∞ )

Hàm số không có cực trị

0,25

Đồ thị :

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng

0,25

Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0

x

x − ) có phương trình :

0 0 2

1 ( )

x

(d) cắt tiệm cận đứng tại 0

0

1 (1; )

1

x A x

+

−

0,25

(1 điểm)

(d) cắt tiệm cận ngang tại B x (2 0 − 1;1)

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB

Gọi P là chu vi của đường tròn, ta có : P = π AB

P nhỏ nhất khi AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB nhỏ nhất, ta có :

(2 2) ( ) 4( 1) 4( ) 2 2

−

0,25

0

0

0

1 4( 1) 4( ) ( 1) 1 [

1

x x

x

=

=

−

+ Với x0 = 0 ta có M(0 ;0)

+ Với x0 = 2 ta có M(2 ;2)

0,25

II-1

(1 điểm)

Khi đó

cos

cos sin 2

x

x

+

⇔ (cos - sin )(sin 2 x x x − 2 sin ) 0 x =

0,25

sin cos tan 1

4



Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là: 2

4

x = − + π k π

và

4

x = + π k π

0,25

II-2(1

điểm)

Điều kiện x≤1 BPT ⇔ + ( x 1) 1 − ≥ − x ( x 1) (3 x + − 2) 1 − x 0,25

3

( x 2)[ 1 x (1 x ) ] 0

1

2 0

x x x

− =





⇔  <





0,25

1

x

x x

=



III(1

điểm)

Ta có:

Đặt: t = x4+ 3 x2 ⇒ = t2 x4+ 3 x2 ⇒ tdt = (2 x3+ 3 ) x dx

2 0

4 (1 ) ( 4ln 4 )

t

2 4ln 2

điểm)

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên

SABC=

4

3

2

a

G

C1

C

H I

0,25

Mặt khác A1A= A1B= A1C ⇒A1ABC là hình chóp đều

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒A1G là đường cao của tứ diện A1ABC⇒ AG1 ⊥ ( ABC ) 0,25

Trong tam giác vuông A1AG tacó : AG=2

3AH= 3

3

a và∠A1AG=600

⇒A1G=AG.tan600=a

0,25

.Vậy VLT=A1G.SABC=

4

3

3

V(1

điểm) Giả sử c = min( , , ) a b c

Ta có:

2

2 2 ( ) , do 2 2, 0

2

2 2 ( ) , do a2 2, 0

2 2 ( )2 ( )2

0,25

Từ đó ta có:

M

0,25

4 ( ) ( ) 2( )( )

+ +

0,25

2

+ +

0,25

10

10

M

a b c

1 0,

2

c = a b = = hoặc các hoán vị của nó

VIa.1.

(1 điểm)

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình 3 0 2

Gọi B(m ; 3 – m), C(n, 7 – 3n)

0,25

Do ∆ ABC có trọng tâm G(2;1

3) nên ta có hệ phương trình:

* Phương trình đường cao AA1: x – 2y = 0

Phương trình đường cao BB1: x – 3y + 5 = 0

Toạ độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình 2 0 10

(10;5)

H

0,25

Gọi phương trình đường tròn đi qua B, C, H là (T): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 > c

Do B, C, H ∈ (S) nên ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đường tròn (T) : x2 + y2 – 12x – 4y + 15 = 0

0,25

VIa.2.

(1 điểm)

Gọi A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) lần lượt nằm trên ba đường thẳng

Do A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC

( 1 5 ) 2

4 (1 2 ) 2.(2 3 )

1 2 ( 1 ) 2( 3 )





− + + − + = −



0,25

Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0

Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2

0,25

VIIa.

(1 điểm)

Cứ mỗi điểm trên (a) và hai điểm trên (b) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là :15 Cn2 0,25

Cứ mỗi điểm trên (b) và hai điểm trên (a) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là :n C 152 0,25 Theo quy tắc cộng, ta có số tam giác tạo thành là: 15 Cn2 + n C 152 0,25

Ta có phương trình:

15 10 23( )

15 1725 13 230 0 [

n n

n loai

=

=−

VIb.1.

(1 điểm) Phương trình cạnh AB là : x + y – 2 = 0

Phương trình cạnh AC là: 7x + y – 8 = 0

-Phương trình đường phân giác góc A là: x – 2y + 1 = 0 và 2x + y – 3 = 0

Suy ra phương trình đường phân giác trong góc A là d1: 2x + y - 3 = 0

-Phương trình đường phân giác góc B là : y = - 3 và x = 5

Suy ra phương trình đường phân giác trong góc B là d2: y = - 3

0,25

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC ta có I = d1 ∩ d2 Suy ra I(3; - 3).

Phương trình đường tròn nội tiếp ∆ ABC là: (x – 3)2 + (y + 3)2 = 2 0,25

VIb.2.

(1 điểm)

+ M N , ∈ ( ), ( ) d1 d2 nên ta giả sử

( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;1 ) ( 2 1; ; 2 1)

+ MN song song mp(P) nên: n NM uur uuuurP = ⇔ 0 1.( t1+ 2 t2+ − 1) 1.( t1− t2) 1(2 + t1− − = t2 1) 0

2 1 ( 1 1; 2 ;31 1 1)

+ Ta có:

1

1

0

7

t

t

=





 =



+ Suy ra: M (0; 0; 0), ( 1; 0;1) N − hoặc 4 4 8 1 4 3

( ; ; ), ( ; ; )

0,25

+ Kiểm tra lại thấy trường hợp 4 4 8 1 4 3

( ; ; ), ( ; ; )

KL: Vậy có cặp M (0; 0; 0), ( 1; 0;1) N − thoả mãn

0,25

VIIb.

(1 điểm)

Ta có:

2011

2011

Đạo hàm hai vế (1) ta có :

2011

0

k k

=

Thay x = 1 vào cả hai vế của (2) ta có: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + + 2012 a2011 = 2013.22010

0,25