2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.. 1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y=x4 −2mx2 +3m+1 (1) (m là tham số thực)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: cos x cos x sin x 2
4
3 4
3 2
2
−
+
−
) x ( y
) x (
x x y
y x
∈
+
= + +
+
= +
2
6 4 3
2
1 1
2
2 2
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân ∫
π
+
−
= 2
3 2
dx x
sin
x cos x sin
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 450 và tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Biết độ dài cạnh AB = a Tính thể tích khối của chóp S.ABCD
Câu V (1 điểm)
2
1 2 2
2 +3 − + + < x + x+1−
x
PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: PHẦN A hoặc PHẦN B)
PHẦN A
Câu VIa (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1 −; 1), điểm E(−1;2) là trung điểm của cạnh AC và cạnh BC có phương trình 2x− y+1=0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
2
1 1
1 2
1 1
−
=
+
=
−
∆ : x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm (1;0;3) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại 1 I
Câu VIIa (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn: (z−1)(z+2 ) là số thực và z nhỏ nhất
PHẦN B
Câu VIb (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2; 3) Viết phương trình đường thẳng lần lượt cắt các trục
Ox, Oy tại A và B sao cho MAB là tam giác vuông cân tại A
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1
1 1
2 1
1
+
=
−
=
+
∆ :x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.2
Câu VIIb (1 điểm)
Tìm một acgumen của số phức z≠0 thỏa mãn z− zi = z
- Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh http://laisac.page.tl
Trang 2SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH
-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010
Môn thi: Toán
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x4 −2mx2 +3m+1 khi m = 1
Khi m = 1 thì y=x4 −2x2 +4
* Tập xác định: R
* Sự biến thiên: y′=4x3 −4x, y′=0 ⇔ x = 0; x = -1 hoặc x = 1
* Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4; đạt cực tiểu tại x=±1, yCT = 3
* Bảng biến thiên
x − ∞ -1 0 1 + ∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
+∞ 4 + ∞
y
3 3
* Vẽ đúng đồ thị
-
2) Tìm các giá trị của m để
Ta có y′=4x(x2 −m)=0 khi x = 0 hoặc x2 =m Để hàm số có CĐ, CT thì m > 0
Khi đó, đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là A(0;3m+1);B(− m;−m2 +3m+1) và
) m m
;
m
(
C − 2 +3 +1
Vì A ∈Oy; B, C đối xứng với nhau qua Oy nên
2
=
⇔
=
=
−
−
1 điểm
0,25đ 0,25 đ
0,25đ
0,25đ
-
1 điểm 0,25đ 0,25đ
0,5đ
4
3 4
3 2
2
−
+
−
2 4 2
+
−
⇔cos22x−cos4x+sin2x=2
⇔1−sin22x−1+2sin22x+sin2x=2 ⇔ sin2 2x+sin2x−2=0
⇔ sin2x =−2 (loại) hoặc sin2 =x 1 ⇔ x=π+kπ (k∈Z)
4 -
) ( ) x ( y
) x (
) ( x x y
y x
∈
+
= + +
+
= +
2 1 1
2
1 2
2
2
6 4 3
2
PTrình (1) ⇔ 2x2(y−x2)+(y3−x6)=0⇔ (y−x2)(2x2 +y2 +yx2 +x4)=0
⇔ y =x2 do 2x2 +y2 +yx2 +x4 >0∀x,y
Thay vào phương trình (2) ta được
(x+2) x2 +1=x2 +2x+1⇔ (x x2 +1−2x)+[2 x2 +1−(x2 +1)]=0
⇔ ( x2 +1−2)(x− x2 +1)=0
1 điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
-
1 điểm
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Trang 3* x2 +1=x ⇒ vô nghiệm
* x2 +1=2⇔ x=± 3. Vậy hệ có hai nghiệm (− 3;3) và ( 3;3)
0,25đ
π
+
−
=
2
3 2
dx x
sin
x cos x
sin
2 0
x
Ta có: ∫ ∫
+ − = + − = π 1 0 2 0 2 1 3 2 1 2 3 2 dt t t dx x sin x cos ) x sin ( I ∫ + − = 1 0 2 1 4 1 dt t [ ] 1 2 3 0 1 1 2 2ln( t ) ln t− + = − = 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu IV 1 điểm Tính thể tích khối chóp S.ABCD
S
D C
O
A a B
Vì SA ⊥(ABCD) nên =450
∧ SCA ; CB ⊥(SAB) nên =300
∧
Tam giác SBC vuông tại B có =300
∧
2
1
= ; Tam giác SAC vuông tại A
có =450
∧
2
2
=
Có AC =AB +BC ⇔ SC =a + SC ⇔SC=2a ⇔ BC=a
4
1 2
2 2
Vậy
3
2 3
S SA
VSABCD = ABCD =
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
2
x
Đặt u= 2x+3−2≥0⇔ u2 =8.2x− và 2 v v ( x x )
x
1 2 2 4 2
1 0
2
1
+ +
=
⇔
>
+
=
Khi đó bpt trở thành: u+v < 2u2 +2v2
⇔(u+v)2 <2u2 +2v2 ⇔ (u−v)2 >0⇔ u≠ v
2
x x
0,5đ 0,25đ
Trang 4Vậy nghiệm của bpt là
3
2 2
2
log (7 2 11) log (7 2 11)
x
x x x
+
⇔
1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Giả sử C(m; 2m+1) Vì E(−1;2) là trung điểm AC nên A có tọa độ A(−2−m;3−2m)
Có AH=(3+m;−4+2m)
→
; uBC =(1;2)
→
Vì AH ⊥BCnên =3+ +2 −4+2 =0 ⇔ =1
→
→
m )
m (
m u
Giả sử B(n;2 +n 1) Có BH=(1−n;−2−2n); AC=(4;2)
→
→
Vì BH ⊥ACnên
=41− +2 −2−2 =0 ⇔ =0
→
→
n )
n (
) n ( AC
-2) Lập phương trình mặt cầu (S)
Đường thẳng ∆1 qua M(1; -1; 1) và có vtcp ur =(2;1;2)
Ta có
3
20 2
4 0 2
1
−
−
=
→
→
) , I d )
;
; ( IM , u );
;
; (
Gọi R là bán kính mặt cầu Để IAB là tam giác vuông cân tại I thì
3
40
=
=
=IA IB d I, ) R
Vậy phương trình mặt cầu là
9
40 3
1 2 + 2 + − 2 =
x (
1 điểm 0,25đ
0,5đ
0,25đ
-
1 điểm 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Tìm số phức z thỏa mãn: (z−1)(z+2i) là số thực và z nhỏ nhất
Giả sử z = a + bi (a,b∈R) thì
(z−1)(z+2i)=[(a−1)+bi][a+(2−b)i] [= a(a−1)−b(2−b)] [+ 2a+b−2]i∈R
2
Ta có z2 =a2 +b2 =a2 +(2−2a)2 =5a2 −8a+4
Từ đó suy ra z nhỏ nhất khi
5
2 5
4
=
= ; b
5
2 5
4 +
=
0,5đ 0,25đ 0,25đ
1) Viết phương trình đường thẳng
Giả sử A(a; 0) và B(0; b) Ta có MA=(a− ;− ); BA=(a;−b)
→
→
3 2
Cần có
+
= +
−
= +
−
⇔
=
=
→
→
2 2
2
0 3 2 0
b a )
a (
b ) a ( a
BA MA
BA
MA
−
=
=
⇔
− +
= +
−
−
=
⇔
1
3
2 9 9 9 2
3 2
2
2
a
) a (
a )
a (
) a ( a b
hoặc
−
=
−
= 5
3 b a
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là x− y3 −3=0 và 5x+ y3 +15=0
-
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
Giả sử nP =(a;b;c)
→
(a2 +b2 +c2 ≠0)
Vì (P) chứa ∆2 có ur∆2 =(1;1;−1) nên nrP.ur∆2 =0 ⇔a+b−c=0
Gọi αlà góc giữa (P) và (xOy) Vì nr(xOy) =(0;0;1) nên
1 điểm 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
-
1 điểm 0,25đ
Trang 5) b , a ( ) b a ( b a
b a c
b a
c
+ + +
+
= + +
= α
2 2
2 2
2 2
Góc α nhỏ nhất ⇔ (a,b) lớn nhất Ta có
3 2 1 1
2
2 2
≤ + + +
=
) b a (
b a ) b , a
nhất khi a = b
Chọn a = b = 1 thì c = 2 Vì (P) đi qua M(−1;2;−1)∈∆2 nên (P) có phương trình
0 1 2 0
1 2 2 1 1
1(x+ )+ (y− )+ (z+ )= ⇔ x+y+ z+ =
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Tìm một acgumen của số phức z≠0 thỏa mãn z− zi = z
Giả sử α là một acgumen của z thì z= z(cosα+isinα)
Khi đó z− zi = z[cosα+i(sinα−1)]= zcosα+i(sinα−1) = z
2
1 1
1 2
Vậy z có một acgumen là
6
π
hoặc
6
5π
.
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ