1 Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số.. 2 Tìm trên đồ thị C điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất.. Gọi C’ là đường tròn di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm phải F2 của E v
Trang 1trường THPT chuyên ha long
Đề thi thử đại học lần thứ nhất
Năm học 2009- 2010 Mụn Thi : Toỏn - Khối A Thời gian làm bài: 180 phỳt
A Phần chung dành cho tất cả cỏc thớ sinh ( 7 ủiểm)
Cõu I: ( 2 ủiểm) Cho hàm số y= x3 + 3x2 ư 9x+ 3 cú ủồ thị (C)
1 Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số
2 Tìm trên đồ thị (C) điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó
Cõu II ( 2 ủiểm)
1 Giải phương trỡnh lượng giỏc : sinxcos 2x+ cos2 x(tan2 xư 1 ) + 2 sin3 x= 0
2 Giải bất phương trình: 7 ư 2 ư 7 ư 2+ 2 + 4 = ư 2 + 2 + 4 ư ( ư 2 )
x x
x
x x x
Cõu III ( 1 ủiểm)
Tớnh giới hạn sau :
2
0 ( 1 1 )
cos 1 lim
x
x
ư
→
Cõu IV: ( 1 ủiểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R Hình chóp SABCD có SA cố định và vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA = h; đáy ABCD là tứ giác thay đổi nhưng luôn nội tiếp trong đường tròn đA cho và có hai đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau
1 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
2 Xác định hình dạng của tứ giác ABCD để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất
Cõu V ( 1 ủiểm)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta luôn có bất đẳng thức:
abc abc a
c abc c
b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ + +
B.Phần riờng ( 3ủiểm)
Thớ sinh chỉ ủược làm một trong hai phần ( Phần 1 hoặc phần 2)
Phần1.Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu VI.a ( 2 ủ i ể m) Trong mặt phẳng Oxy:
1 Cho hình thoi ABCD có A(1;3), B(4; -1), AD song song với trục Ox và xD < 0 Tìm toạ độ đỉnh C, D
2 Cho đườmg tròn (C) có phương trình x2 + y2 ư 2x+ 4yư 20 = 0 và điểm A(4;5) Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và cắt đường tròn (C) tại hai điểm E, F sao cho EF có độ dài bằng 8
Cõu VII.a ( 1 ủ i ể m)
15 2
2 1 5
3 2
) 1
( +x+x +x =a o +a x+a x + +a x
Tính : 1 Hệ số a10
2 Tổng T =a1+ 2a2 + 3a3 + + 15a15
Phần2.Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2 ủ i ể m)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng ∆ : 2xư 3y+ 14 = 0 , cạnh
BC song song với ∆ , đường cao CH có phương trình xư 2yư 1 = 0 Biết trung điểm của cạnh AB là M(-3; 0) Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C
2 Trong mặt phẳng Oxy, cho Elip (E): 1
4 16
2 2
= + y x
và đường tròn (C): x2 +y2 + 4 3xư 4 = 0 Gọi (C’)
là đường tròn di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm phải F2 của (E) và tiếp xúc ngoài với (C) Chứng minh rằng tâm J của đường tròn (C’) thuộc một đường hypebol (H) cố định Viết phương trình của (H)
Cõu VII.b ( 1ủ i ể m)
Cho một hộp bi có hai viên bi đỏ và tám viên bi vàng; các viên bi chỉ khác nhau về màu Một người lấy ngẫu nhiên từ hộp đó hai lần, mỗi lần ba viên bi( có hoàn lại bi sau lần thứ nhất) Tính xác suất để người đó lấy
được số bi đỏ ở cả hai lần như nhau
http://laisac.page.tl
Trang 2đáp án Toịn Ờ Khèi A- Thi thử ựại học lần 1 năm học 2009-2010
Câu
m Câu
I.1
( 1
ựiểm)
Cẹu
I.2
(1ệiÓ
m)
TXđ : D= R
yỖ= 3x2 + 6x-9 xác ựịnh ∀x ∈ D
yỖ= 0
−
=
=
⇔
3
1
x x
ẦẦẦ
Hộm sè ệăng biạn trến (-∞;-3) vộ (1;+ ∞); nghỡch biạn trến (-3;1)
ậiÓm cùc ệỰi (-3;30), cùc tiÓu (1;-2)
ẦẦẦ
ổ∞
→ y
xlim
BBT
ẦẦẦ
ậă thỡ: (ậă thỡ ệi qua hai ệiÓm cùc ệỰi, cùc tiÓu vộ hai ệiÓm nỪm vÒ hai bến cùc ệỰi,
cùc tiÓu; cã tÝnh ệèi xụng)
LÊy M(x0,y0) ∈(C) Tiạp tuyạn vắi (C) tỰi M cã hỷ sè gãc k = y' = 3x02 + 6x0 − 9
ẦẦẦ
Ầ
12 12 ) 1 ( 3 ' = 0 + 2 − ≥ −
ẦẦẦ
=> M(-1;14)
ẦẦẦ
Ph−ểng trừnh tiạp tuyạn tỰi ệiÓm M lộ y = -12x + 2
x − ∞ -3 1
yỖ + 0 - 0 +
y 30 +∞
-∞ -2
0,25
0,25
0,25
0,25 - 0,25 0,25
0,25
0,25 Câu
II.1
(1
ựiểm)
điều kiện: cosx≠ 0
ẦẦẦ
pt ệA cho
0 sin 2 cos sin
2 cos sin
0 sin 2 ) 1 cos
sin ( cos 2 cos sin
3 2
2
3 2
2 2
= +
− +
⇔
= +
− +
⇔
x x
x x
x
x x
x x
x
ẦẦẦ
−
=
−
=
⇔
=
− +
⇔
= +
− +
−
⇔
2
1 sin
1 sin 0
1 sin sin
2 0 sin 2 cos sin
) sin 2 1 (
x
x x
x x
x x
x x
ẦẦẦ
0,25
0,25
0,25
Trang 3Z k k
x
k x
x
loai x
∈
+
=
+
=
⇔
= +
ư
= +
, 2 6 5
2 6 2
1 sin
)
: 1 sin
)
π π
π
Câu
II.2
(1điể
m)
Đk: ưx2 + 2x+ 4 ≥ 0
+) Nếu ưx2 + 2x+ 4 >xư 2 thì VF > 0; VT < 0 => phương trình vô nghiệm
+) Nếu ưx2 + 2x+ 4 <xư 2 Thì VF < 0; VT > 0 => phương trình vô nghiệm
Vậy pt ⇔ ưx2 + 2x+ 4 = xư 2
………
pt
ư
= + +
ư
≥
ư
⇔
2 2
) 2 ( 4 2
0 2
x x
x x
………
3 3
0 2 0
6 2
2
=
=
≥
⇔
=
ư
≥
x x x x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
0,5
0,25
0,25 Cõu
III
1
ủiểm
2
2 0
2 0
) 1 1 ).(
cos 1 ( lim )
1 1 (
cos 1 lim
x
x x
x
x
x x
ư +
ư
=
ư
ư
ư
→
→
………
2
2 2
0
) 2 (
4
) 1 1 (
2 sin 2 lim
x
x x
x
ư +
=
→
………
= 2
0,25
0,5
0,25 Cõu
IV
1
ủiểm
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có I nằm trên đường thẳng Ot vuông góc
với mp(ABCD) tại O Vì SA vuông góc với (ABCD) nên Ot//SA
………
Trong mp(SA,Ot), giao của đường trung trực đoạn SA và Ot là tâm I của mặt cầu
………
2 2
2
4 2
1
h OA
=
………
Thể tích hình chóp V S ABCD h h AC BD h 2R 2R
6
1
6
1 3
1
≤
=
=
V đạt giá trị lớn nhất khi AC = BD = 2R Vậy khi tứ giác ABCD là hình vuông thì Hình
chóp đạt giá trị lớn nhất
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu V
1điểm
Vì a2 +b2 ≥ 2ab Nên ta có
) (
) ( )
)(
3 3
c b a ab abc ab b a abc ab b a b a abc b
………
0,25
Trang 4Vì hai vế của bất đẳng thức đều dương nên:
) (
1 1
3
3 b abc ab a b c
≤ +
Tương tự ta có:
) (
1 1
3 3
c b a bc abc c
≤ +
) (
1 1
3
3 a abc ca a b c
≤ +
………
Cộng (1), (2), (3) có
) (
1 )
(
1 )
(
1 1
1 1
3 3 3
3 3
3 b abc b c abc c a abc ab a b c bc a b c ca a b c
+ + +
+ + +
≤ + +
+ + +
+ + +
………
abc abc a
c abc c
b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ + +
Dấu “ =” khi: a = b = c
0,25
0,25
0,25
Cõu
VIa 1
1
ủiểm
Vì BC//AD//Ox nên C(xC;-1); D(xD;3)
Do ABCD là hình thoi nên có AB=DC ; AC ⊥BD
………
Ta có = ( 3 ; ư 4 ) = ( ư ; ư 4 ), = ( ư 1 ; ư 4 ), = ( ư 4 ; 4 )
D C
D
x DC AB
Ta có hệ pt
ư
=
ư
=
=
=
⇔
=
ư
ư
+
=
⇔
=
ư
ư
ư
=
ư
4 1 6 9
0 24 2
3 0
16 ) 4 ).(
1 (
3
2
D C D C
D D
D C D
C
D C
x x x x
x x
x x x
x
x x
………
Vì xD<0 nên C(-1;-1); D(-4;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu
VI.a.2
1
ủiểm
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=5
Đường thẳng (d) qua A(4;5) có phương trình A(xư 4 ) +B(yư 5 ) = 0 , (A2 +B2 ≠ 0 )
………
2 2 2
2 2
+
+
⇔
= +
ư
ư
ư
⇒
=
ư
=
⇒
B A
B A B
A
B A B A d
I d
………
= +
=
⇔
= +
0 20 21
0 0
40
B A
B B
AB
………
+) Với B=0 có pt (d) : x = 4
+) Với 21A+20B = 0 có phương trình (d): 20x-21y+25=0
0,25
0,25
0,25
0,25 Cõu
VII a
1
ủiểm
) 1 ( ) 1 ( ) 1
( )
10 5 5 8 4 5 6 3 5 4 2 5 2 1 5 0 5 5 2
5 5 5 4 4 5 3 3 5 2 2 5 1 5 0 5 5
) 1
(
) 1
(
x C x C x C x C x C C x
x C x C x C x C x C C x
+ +
+ +
+
= +
+ +
+ +
+
= +
………
Suy ra a10 =C50C55 +C52C54 +C54C53 = 1 + 50 + 50 = 101
………
0,25
0,25
Trang 514 15 2
3 2 1 2 4
3 2
15 2
1 0
15
3 2
) 3 2 1 ( ) 1
( 5 ) ( '
) 1
( ) (
x a x
a x a a x x x
x x x
f
x a x
a x a a x
x x x
f
+ + +
+
= +
+ +
+ +
=
⇒
+ +
+ +
= +
+ +
=
………
15
3 2 6
4 5 ) 1 (
Vậy T= 7680
0,25
0,25
Cõu
VI.b.1
1ủiểm
Cạnh AB qua M và vuông góc với đường cao CH nên có pt: 2 (x+ 3 ) +y= 0 ⇔ 2x+y+ 6
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
=
ư
=
⇔
= + +
= +
ư
2
4 0
6 2
0 14 3 2
y
x y
x
y x
Vậy A(-4;2)
………
M là trung điểm AB nên tính được toạ độ đỉnh B(-2;-2)
………
Cạnh BC //∆ và qua B nên pt BC là 2(x+2) – 3(y+2) = 0
Toạ độ của C là nghiệm của hệ
=
=
⇔
=
ư
ư
=
ư
ư
0
1 0
2 3 2
0 1 2
y
x y
x
y x
Vậy toạ độ đỉnh C(1;0)
0,5
0,25
0,25
Câu
VIb.2
1điểm
Elíp có tiêu điểm phải F2( 2 3 ; 0 ) Đường tròn (C) có tâm I(ư 2 3 ; 0 ), bán kính R = 4
………
Đường tròn (C’) có tâm J, bán kính R’=JF2
(C’) tiếp xúc ngoài với (C) nên có IJ =R+R' = 4 +JF2 ⇔ JIưJF2 = 4
………
Vì I, F2 cố định, IF2>4 nên J nằm trên một đường Hypebol (H) cố định
………
(H) có hai tiêu điểm là I và F2 nằm trên trục Ox và đối qua gốc O,
8 4 12
; 4 3
4 2
; 4
2a= c= ⇒a2 = b2 = ư =
8 4
2 2
=
ư y a
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu
VIIb
1điểm
7 3
10 )
n Ω =
………
Chỉ có hai khả năng :
+) Cả hai lần đều không lấy được viên bi đỏ nào: 3
5 3
8.C C
………
+) Cẩ hai lần đều lấy được một viên bi đỏ 2
6 1 1 2 8 1
2 C .C .C C
………
Gọi A là biến cố “ Hai lần đều lấy được số bi đỏ như nhau” , xác suất cần tìm:
3
1 35
120
15 28 2 10 56
.
) (
) ( )
7 3 10
2 6 1 1 2 8 1 2 3 5 3
= Ω
=
C C
C C C C C C n
A n A P
0,25
0,25
0,25
0,25
Trên đây là tóm tắt cách giải, cần lưu ý lập luận của học sinh trong quá trình giải bài Nếu học
sinh làm theo các cách khác nhau tổ chấm thảo luận để chia điểm thống nhất Điểm toàn bài
không làm tròn