0 Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng SAC.. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b 2 điểm 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và
Trang 1TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010)
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 33x23 1 m x 1 3m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 1
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng
đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x y một góc 300
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình x 1 1 4x2 3x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
1
2
dx I
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có SA x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a x0,a 0
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng SAC Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S ABCD bằng
3 2 6
a
Câu V (1 điểm)
Cho ba số không âm , ,a b c thay đổi luôn thoả mãn điều kiện a b c 1
Chứng minh rằng: a2b2 c2 12abc 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 3;3 và đường thẳng :d x y Lập 2 0
phương trình đường tròn đi qua A cắt d tại hai điểm , B C sao cho AB AC và AB AC
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A3; 2; 2 và mặt phẳng P có phương
trình : x y z Viết phương trình mặt phẳng 1 0 Q đi qua A , vuông góc với mặt phẳng
P biết rằng mặt phẳng Q cắt hai trục Oy Oz lần lượt tại hai điểm phân biệt , M N sao ,
cho OM ON ( O là gốc toạ độ).
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm hệ số của x8trong khai triển thành đa thức của: 2 1 1 2 10
4
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và đường thẳng
AB có phương trình x y Biết rằng điểm (2;1)0 I là trung điểm của đoạn thẳng BC , hãy tìm tọa độ trung điểm K của đoạn thẳng AC
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P x y z: và 3 0 A2; 2; 2
Lập phương trình mặt cầu đi qua A cắt P theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ
diện ABCD đều với đáy BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
1
2
1
y
x y y
Trang 2TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
Năm học 2009-2010
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI 12
(Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang)
I 1) Khi m1, hàm số (1) trở thành: y x 33x24
Tập xác định
Sự biến thiên: y'3x26 ,x y' 0 x 0 x 2 0.25
Bảng biến thiên
x 0 2
'
y 0 0
y 4
0
0.25
Đồ thị
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
f x = x 3 -3x 2 +4
0.25 2) y'3x26x3 1 m3x22x 1 m
Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu phương trình y'0 có hai nghiệm
phân biệt x x1, 2 và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đóm0 0.25
1 2 2 1 2 2 2
y x x x m mx m; y x 1 2mx1 2 2m
2 2 2 2 2
y x mx m Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số (1) là y 2mx 2 2m2mx y 2 2m0 0.50 Đường thẳng 2mx y 2m 2 0 có một véctơ pháp tuyến n12 ;1m
; đường thẳng x y 0 có một véctơ pháp tuyến n2 1;1
Theo bài ra ta có 0.25
Trang 31 2 2
2
1 2
II 1) Điều kiện x0.
2
x
x x
2
x x
0.50 2) Điều kiện cos 2x0
x x
Do sin 2x1 thì cos 2x0, nên chỉ có sin 2 0
2
0.50 III Đặt xsintdxcostdt; Khi x0 thì t0; Khi x1 thì
2
t .
0.25
1
0.50
0
1
0.25
IV Do B D, cách đều S A C, , nên BDSAC Gọi OACBD Các tam giác
ABD BCD SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD chung nên
OA OC OS Do đó tam giác SAC vuông tại S 0.50
2 2
a x
V V BO SA SC ax AB OA ax a ax a x
0.25
3
2 2
3
S ABCD
x a a
x a
V Với a b c thì 1
0.50
2
3(a b c abc) (ab bc ca) 3(a b c abc) (ab bc ca)
2 ab bc bc ca ca ab
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1
3
a b c
0.50 VI.a 1) Gọi I R, lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm.
Ta có R d A d , 2 2 Tâm I chính là hình chiếu vuông góc của điểm A lên
Gọi a là đường thẳng qua A và vuông góc với d Suy ra a x y: 0 0.25
Trang 4Toạ độ tâm I là nghiệm của hệ 0 1
2 0
x y
x y
x y
0.25 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình 2 2
2) Giả sử n
là một vec tơ pháp tuyến của (Q)
Vì ( )P ( )Q nên n n P(1, 1, 1)
mặt phẳng Q cắt hai trục Oy Oz, lần lượt tại hai điểm M0; ;0 ,a N 0;0;b
phân biệt sao cho OM ON nên 0 0
0
b a
a b
b a
Ta thấy n MN
(2)
Trường hợp 1: nếu b a 0 thì MN(0,a a, ) / / (0, 1,1)u
Từ (1) và (2) suy ra có thể chọn n u n , P (2,1,1)
là một vec tơ pháp tuyến của Q
Mp Q có phương trình 2(x 3) (y 2) (z 2) 0 2x y z 2 0
Khi đó Q cắt Oy Oz, tại M0; 2;0 , N 0;0; 2 ( thỏa mãn đề bài) 0.25 Trường hợp 2: nếu b a 0 thì MN(0, a a, ) / / (0,1,1)v
Từ (1) và (2) suy ra có thể chọn n v n , P (0,1, 1)
là một vec tơ pháp tuyến của Q , Q có phương trình 0(x 3) (y 2) (z 2) 0 y z 0
Khi đó Q cắt Oy Oz, tại O0;0;0 (không thỏa mãn đề bài)
Vậy mặt phẳng Q có phương trình 2x y z 2 0 0.25
x x x x x x x
0.25 Theo khai triển Newton số hạng chứa x8 là 128 8 8
1 2
Hệ số của x8 bằng 8 8
12
4C =31680
0.25 VI.b Đường thẳng IK qua I và song song với AB có phương trình x y 1 0 0.25
Chiều cao kẻ từ C của ABC bằng h=
2 1
2 2 2
ABC
S AB
h
0.25
2 2
AB
IK suy ra K nằm trên đường tròn (C ) tâm I bán kính 2
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ ( 2)2 ( 1)2 2
1 0
x y
Trang 52) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P Gọi d là
đường thẳng qua A và vuông góc với P Ta có d:
2 2 2
x t
y t
z t
2 ; 2 ; 2
H d H t t t Mà H P nên 2 t 2 t 2 t 3 0 t 1
ABH
vuông tại H
2
3
AB AH HB AB AB AB
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB cắt đoạn thẳng AH tại I Điểm I chính là tâm mặt cầu cần tìm.
AB
AM AB AI AH R AI
AH
0.25
4
AI AH
Suy ra 5 5 5; ;
4 4 4
I
Mặt cầu cần tìm có phương trình:
1
2
1
y
x y y
Điều kiện 0
1
x
y
Nếu x 1 y thì vế trái dương, vế phải âm (loại);
Nếu x 1 y thì vế trái âm, vế phải dương (loại)
Vậy x 1 y hay y 1 x Thay vào (2) ta có: x25x 6 0 x 2 x 3
Với x2 thì y 1; Với x3 thì y 2 (thoả mãn điều kiện).
0.50
5
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x y; (2; 1);(3; 2) 0.50
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần
như đáp án quy định.
-Hết -Thạch Thành, ngày 30 tháng 3 năm 2010