Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức

Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức Bài 1 Cho A, B, C là độ dài các cạnh tam giác ABC. Chứng minh rằng phương trình: (a2 + b2 c2)x2 4abx + a2 + b2 c2 = 0 (1) có nghiệm Bài 2 Cho 5a + 4b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) có nghiệm

-’ CAC BAI TOAN DAI SO Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,

Cho A, B, C là độ dài các cạnh A ABC Chứng minh rằng phương trình:

(a?+b?—c?)x”—4abx +a” + bỶ—c?=0(I) có nghiệm

Cho 5a+4b+6c=0 Chứng minh rằng phương trình:

ax” +bx+c=0 (I) có nghiệm

154

155

Trong đó x,,x, là các nghiệm của phương trình:

x?+ax+b=0

Vay: Max R=1+M+.M?+4M

a=‡+M

khi +b=-M X.X: là nghiệm pt x”+Mx-M=0

=> (1) c6 nghiệm

159

=-2

Thay vào (2) ta có —l<-2+e<l + c21 > c=

Thử lại ta thấy có giá trị trên thoả mãn yêu câu của bài toán

Và ác giá trị cần tìm là: a=2,b=0,c=—]

ây các giá trị cần tìm là: a=-2,b=0,e=I

Giải phương trình: /x+44 (x—4=2x—12+2y x? -16

(Đề thị tuyến sinh dai hoc va cao ddng trén todn quéc)

Chứng minh rằng hệ vô nghiệm

* (Dé thi đề nghị Olympic 30-4)

161

> [ax? +(b—1)x, +e]+[ay +(b=-l) yo +¢|+[aZ; +(b—1)Z, +e|=0

© f(x,)+f(y,)+f(Z)=0- @ới f(Q)=a+(b=l)t+c, teR )

Gọi m, M là số bé nhất và lớn nhất trong các 86 a,,a,, a,

Vi=l,n, ta có: (a, -m)(a,-M) <0

© ai? —ai(m+M)+m.M <0

162

z= km

(.jkeZ),

164

x=im y=arctgm+jz (jkeZ),

z= km x=in

z= arctgm + km

Tóm lại nghiêm của hệ là:

y=jn ,‡y=arctgm+jz,{y=jz (i.jkeZ)

kr w=

> 2sn~Q= = sin + sin sin sin Osim

asin 4 sina — sin 2™

`, ¿27 4m

=4| sin? [si 9 sin? 9 +sin? 2 +sin? sin in’ |= 6

170

3m 6m 12z ek=3 = S=4jsin?—-+sin? —+si “Le , 9 " 9 " 9

4 sin? +sin? 2 sin?

2

KH “9 2

ek=4 5 Sa sin 9 sit 9 sin?)

=4|sin 2 sin? + in? =) =6 9 9 Vậy: Se{0,6,9}

e Nếu (x,y,x) là nghiệm của hệ thì (-x,-y,-x) cũng là nghiệm của hệ

=> A,B,C là ba góc của một tam giác ABC (nào đó)

» Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hệ = ệ f(x)=x, @) (với f(t=t+t—1,t€R ) đi =+t—

f (x4) = x, (4)

173

—xe3]

2

Rõ ràng, f tăng trên [- tan] , gidm trén

và f(t)> ‘{-3]- tt VrieR nên x,>—Š,vi=L4 2 4 4

1 + Trường hợp: X,>—2 thì từ (4) = f(x,)>~2

pty (2)

2° +2 (Đê thi tuyén sinh dai hoc va cao ddng trén toan quốc)

GIẢI

22) 2 y=2* (>0)

2*+2 (2) œ

176

GIẢI

S=x+y Đặt

P=xy (S°>4P)

Cho hệ: |*†Xy 3m mx+y= 2m+l

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm

những giá trị của m sao cho nghiệm (x ,y„) thỏa mãn

điều kiện x,„, y,>0

(Đề thi tuyển sinh uào trường cao đẳng Sư phạm)

l+m

_ 8m+l l+m

Né rani [2° Hệ vô nghiệm

b) Hệ có nghiệm duy nhất (x ,y,) thoả x,,y,>0

en +

>0

m>0 m<-l

182

(œ) Điều kiên đủ: '

Giả sử a < —1, khi đó:

= _<0 => <-l

x’ +2xy-7y =—Ì Xét hé 3x? +10xy—5y°=~2 yo Ty (3)

GIAI

(=) Điều kiện cân:

Giả sử hệ có nghiệm (x,y) Khi đó:

5x? +2xy—y?>3

m 72x? —2xy-y? Š

=> 5x” +2xy— y” + 3(—2x? — 2xy— y?)234

Ầ 3(2x? + 2xy + y?)—(5x? + 2xy-y?) = 0 2 2 2 2

5x’? +2xy-y? =3

x° +4xy+4y? =0 5x? +2xy—y? =3

Cho a,,a,, a, là các số tự nhiên đôi một khác nhau và các ước

số nguyên tố của chúng không lớn hơn 3 Chứng minh rằng:

Theo giả thuyết, các số hạng của tổng:

s=-L+-L+ +-Ì đều œ aa, a, ang oy voi r,s€Z dạng —— với +

Giả sử t = Max {r,s}

Khi đó các số hạng của S déu chifa trong cdc

số hạng của khai triển tích:

—

“2m l“zr s<ll+i+ + [+5 TH hướng 2 BT FP T_T

Bai 29

Cho a,,a;, a„ c|0,I] Chứng minh rằng:

(l+a,+a,+ +a,)° >4(a? +a} + +a?)

(Đề thi đề nghị Olympic 30-4)

GIẢI

Xét tam thức bậc 2:

f(x)=x? —(l+a).a), ,a, )x tap ta} +a?

f(0)=a? +a} +a? >0

Suy ra: |f(I)=I—(l+a,,a;, a,)+a? tai tai

= |b=2 (thỏa dé bai)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.2002 ~ 2001.2002 — yz| , |2001.2002 — r(x,y.z) — Ê99!-2 2 xy| | | 101.2002 v4 | 001.2002 — 2x|

(I) 4(ab—xy) <(b—a) (xt y

e [2ab —2xy—(x+y)(b —a)||2ab— 2xy+(x+ y)(b—a)| <0

a(2b—x—y)+x(b— y)+ y(b—x) <0 “—^ 2 2

Vay Max p =10

189