sáng kiến kinh nghiệm-phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

LỜI NÓI ĐẦU Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

Sinh viên thực hiện:

LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các phương trình hệ quả và phép thử nghiệm) Một khái niệm được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể Ở đây chúng tôi quyết định làm sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp (nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong phạm vi cho phép

Ở đây chúng tôi chỉ trình bày một số bài toán điển hình của phương pháp này mà nó thường hay xuất hiện Tuy nhiên do đây là một phương pháp không quen thuộc đối với học sinh nên các em thường ít sử dụng Nhưng nếu các em

sử dụng thì có những bài toán sẽ được nhanh hơn.

Vì thời gian có hạn, còn rất nhiều dạng toán khác của chuyên đề này không được trình bày ở đây Hy vọng một dịp nào đó chúng tôi sẽ trình bày một cách đầy đủ hơn Với phương pháp này mong rằng sẽ trang bị cho các bạn thêm một phương pháp mới về giải phương trình Cuối cùng chúng tôi mong nhận được sự góp ý, phê bình của độc giả về nội dung, cách trình bày của chuyên đề này Xin chân thành cảm ơn!

Nhóm sinh viên thực hiện.

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT DUY

NHẤT NGHIỆM

Dạng Tìm điều kiện của tham số m để phương trình

f(x, m) =0 có nghiệm duy nhất

Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.

Dạng 1 Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho

phương trình

Dạng 2 Giải bài toán về tập nghiệm

Dạng 3 Giải bài toán về phương trình hệ quả

Dang 4 Giải bài toán về hai phương trình tương

đương

Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU

KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ

Dạng Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định

của tham số

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa.

Bước 2: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là x =x0, khi đó:

a Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong (1), ta đi khẳng định khi đó x =φ (x0) cũng là nghiệm của (1)

b Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có:

0

x =φ(x 0)⇒ Giá trị x 0 (2)

c Thay (2) vào (1) ta xác định được điều kiện cần cho tham số m

để (1) có nghiệm duy nhất, giả sử m∈ D m

Bước 3: Điều kiện đủ:

Với m∈ D m, ta đi kiểm tra lại tính duy nhất nghiệm cho (1)

Thông thường trong bước này, ta chỉ phải xét các phương trình

cụ thể (thường là không có tham số hoặc nếu có thì đã được đơngiản đi nhiều) Kết quả của bước này cho phép ta loại đi khỏi tập D m

các giá trị không thích hợp của m

Bước 4:

Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số

Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn

để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét:

• Giả sử phương trình có nghiệm x 0 khẳng định rằng nó cũng nhận − x 0 nghiệm

• Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

Tức là − x 0 cũng là nghiệm của phương trình

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

x = ⇔ = 0 x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.

2 Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình trùng phương:

a.x4 +bx2 + =c 0 (1)

Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ

được thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm x 0, suy ra − x 0 cũng là nghiệm của phương

trình Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

− = x0 x0 ⇔ x0 = 0.

Khi đó:

(1) ⇔ = c 0.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0.

 Ví dụ 2: [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

Giải

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3.

 Ví dụ 3:[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x +mx +2mx +mx 1 0.+ = (1)

Giải

Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0 ≠0, suy ra

x cũng là nghiệm của phương trình

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Điều kiện đủ:

Thực hiện việc thử lại

 Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = − 2 x0 ⇔ x 0 = 1.

Thay x 0=1 vào (1), ta được m=4

Điều kiện đủ: Với m=4 , khi đó (1) có dạng:

4 x +4 2 x− + x + 2 x− =4 (2)

Suy ra a + b - x 0 cũng là nghiệm của (1).

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi

• Nếu a b ≠ ( ta giả sử khi đó a< b), khi đó :

(2)⇔ ≤ ≤ a x b, tức là (2) không có nghiệm duy nhất

• Nếu a=b, khi đó:

( ) ( )2

2 ⇔ x a − ≤ 0

⇔x=a là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy, với c=0 và a=b phương trình có nghiệm duy nhất

 Ví dụ 5 : [1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Tức là -x 0 − 4 cũng là nghiệm của phương trình

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

Bước 1: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm x 0, suy ra − − − x 0 a bcũng là nghiệm của phương trình Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.

2.Yêu cầu trên có thể thực hiện được bằng phương pháp đặt ẩn phụ, cụ thể:

Kết luận m=1 phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 6: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x + 2 − = x m. (1) Giải

Tức là − − + x 0 a b cũng là nghiệm của phương trình Vậy để

phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là:

Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.

2 Yêu cầu trên hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương pháp như: đặt ẩn phụ, pp hàm số, pp lượng giác hóa

3 Mở rộng cho phương trình

m a f (x)− +m b f (x)+ =c

BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I.

Bài 1.Tìm giá trị của tham số m để pt sau có nghiệm duy nhất

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI

BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng 1: Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho phương trình

I PHƯƠNG PHÁP:

Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số (giả sử m) để

phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn tính chất “K”, ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm thỏa

mãn tính chất K, khi đó ta có:

 Hệ thức Viet giữa các nghiệm (I)

 Biểu diễn điều kiện thông qua (I)

 Suy ra điều kiện cho tham số

Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử lại.

II VÍ DỤ MINH HỌA:

 VD1: [2] Xác định m để phương trình:

(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4(x1 + x1) = 7x1x2 (*)

Giải: Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (*) khi đó:

Vậy, với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu bài

thỏa mãn (*)

 VD2:[2] Phương trình: ax2 + bx + c = 0

Có hai nghiệm x1, x2 Chứng minh hệ thức: b3 + a2c + ac2 =3abc là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằngbình phương nghiệm còn lại

Giải: Theo giả thuyết ta được:

Vậy, nếu: b3 + a2c + ac2 = 3abc

thì một trong hai thừa số của P bằng 0 và ngược lại (Đpcm)

 VD3: [3] Giải phương trình : ax2 + bx + c = 0

Có hai nghiệm x1, x2 Chứng minh hệ thức:

(k + 1)2ac – kb2 = 0 (k ≠ 0) là điều kiện cần và đủ để phươngtrình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại

Giải: Theo giả thiết ta được:

ta chứng minh vớim >1 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác,tức là chứng minh:

∆g > 0 9m2 + 6m + 9 = 0

⇔ luôn đúng với m >1

⇔

g(1) ≠ 0 m ≠ 0Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Bài toán trên cũng có thể được trình bày như sau:

Viết lại phương trình về dạng:

(x – 1) [x2 – (3m – 1)x – 3m – 2] = 0

x = 1g(x) = x2 – (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2)Trước hết (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có nghiệm phân biệt ≠ 1 ⇔

9m2 + 6m + 9 > 0

m ≠ 0Với điều kiện (1) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn:

⇔ m ≠ 0

Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

 Chú ý: 1 Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định

được

a pt (1) có 3 nghiệm phân biệt

b Ta có x1 + x3 = 2x2, tức là x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng

Do đó có kết luận m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Tuy nhiên tồn tại bài toán mà các giá trị của tham số tìm đượctrong điều kiện cần không thỏa mãn điều kiện đủ thì kết luận giá trị

đó không thỏa mãn điều kiện bài toán

2 Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hệ

số bất định, như sau:

pt (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

⇔ (1) có 3 nghiệm x0 – d, x0, x0 + d (d ≠ 0)

Khi đó: x3 – 3x2 – 9x + m = [x – (x0 – d)] (x – x0) [x – (x0 + d)]

= (x – x0) [(x – x0)2 – d2] = x3 – 3x0x2 + (3 2

3 Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:

ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0 (1)

Có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng, bằng phươngpháp điều kiện cần và đủ ta thực hiện thao các bước:

Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử pt có 3 nghiệm phân biệt lập

Bước 2: Điều kiện đủ - Thực hiện phép thử lại.

 Lưu ý: Với các em học sinh đã tiếp xúc với kiến thức về đồ

thị của học sinh bậc ba có thể sử dụng điều kiện cần là

“Điểm uốn thuộc trục hoành”, cụ thể:

Điều kiện cần: Để pt có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lậpthành cấp số cộng thì điểm uốn U của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 –9x + m thuộc trục hoành

Vậy, với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài

 VD6: [3]Cho phương trình: 3'sin x + m cos x = 1

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∈ [0, 2π) sao cho x1

-cos α + 3'sin α 2 - 3cos α - 3sin α

⇔(2 – 3 cos α - 3sin α) cos α = (-cos α + 3sin α) (1 – 3sin α)

⇔ 3 cos 2α + 3sin 2α = 3 cos α – 3sin α

⇔ 3 cos 2α + sin 2α =1 3cos α - sin α1

2 3

Vậy với m = ±1 là điều kiện cần.

Điều kiện đủ:

Với m = 1, thay vào phương trình ta được:

3sin x + cos x = 1 ⇔ 23sin x + cos x =12 12

⇔ sin x cosπ6 + cos x sinπ6 = 12 ⇔ sin x + π = sinπ

Với yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số m để phương trình

nghiệm đúng với mọi x thuộc Dx”, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có

nghĩa

ra nghiệm đúng với x0 ∈ Dx

 Giải bài toán với x = x0 ⇒ Giá trị của tham số m0

 Chú ý: Việc chỉ ra giá trị x0 ∈ Dx được gọi là phương pháp

sử dụng điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần và:

 Hoàn toàn có thể sử dụng một hoặc nhiều thuận lợi x0, x1, …trong việc xác định điều kiện cần

 Với câu hỏi “Nên lấy những giá trị nào từ tập Dx để làm

điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời rằng cần sử dụng trực giác và kinh

nghiệm của từng người Các em học sinh cần tích lũy dần nhữngkinh nghiệm này thông qua các ví dụ

II VÍ DỤ MINH HỌA:

 VD1: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng ∀x ≥ -2:

Nhận thấy x = 0 ∈ [-2, ∞) không phải là nghiệm của phương trình

Do đó, m = 0 không thỏa mãn

 Với m = -4, ta có: x + 4 = x + 4 đúng với x ≥ -2

Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2

 Chú ý: Bài toán trên còn có thể phát biểu dưới dạng:

“Tìm m để phương trình x - m= x + 4

tương đương với bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc f(x) ≤ 0)”(2)

Trong đó nghiệm của BPT (2) là x ≥ -2

 VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm đúng ∀x ≥ -2

lg(x – m)2 = 2(x + 4) (1)

Giải:

Điều kiện x ≠ m

Trước hết để pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2, ta phải có m < -2

Biến đổi phương trình về dạng:

2lg x – m = 2(x + 4) ⇔ x – m = x + 4 (2)Điều kiện cần: pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2

⇒ x = -2 là nghiệm của (2), tức là:

m = 0

m = -4

Đó chính là điều kiện cần để pt nghiệm đúng với ∀x ≥ -2

Điều kiện đủ: Với m = -4, ta có:

a x + 1 = x + bx + 1 = 0 (1)

Giải: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm ∀x ⇒ x = 0 là nghiệm của (1), khi đó:

(1) ⇔ a – 1 = 0 ⇔ a = 1Với a = 1: (1) ⇔ x + 1' = x + bx + 1 2 2

⇔ x2 + 1 = x2 + bx + 1 ∀x

⇔ bx = 0 ⇔ b = 0 Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng ∀x

g(x, m) = 0 (2)

Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số m để pt (1) là hệ quả

của pt (2)” (nói cách khác: “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần

 Giải và tìm nghiệm x = x0 của (1)

 Để phương trình (1) là hệ quả của pt (2), trước hết cần x = x0

cũng là nghiệm của (2), tức là:

g(x0, m) = 0 ⇒ m = m0

 Vậy m = m0 chính là điều kiện cần

Bước 2: Điều kiện đủ

 Với m = m0

(1) ⇔ f(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (1)

(2) ⇔ g(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (2)

 Kết luận

II VÍ DỤ MINH HỌA:

 VD1: [3]Cho hai phương trình:

sin x + m cos x = 1 (1)

m sin x + cos x = m2 (2)Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)

Giải: Điều kiện cần:

Nhận xét rằng với mọi m (1) luôn có nghiệm x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z

Do đó để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = π

2+ 2kπ (k ∈ Z) cũng là nghiệm của (2), tức là:

Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Tồn tại những bài toán mà không thể chỉ ra được

dạng nghiệm tường minh cho phương trình (1) khi đó tacần đánh giá thông qua tính chất nghiệm của các phươngtrình lượng giác, thí dụ như pt sin x = m có nghiệm x0 thìcũng nhận π – x0 làm nghiệm, khi đó bằng cách thay vào(2) cả x0 và π – x0 vào (2) ta sẽ tìm được điều kiện cầncho tham số Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

 VD2:[2] Cho hai phương trình:

cos(x + y) = a (1)sin(x + y) = b (2)Tìm a, b để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)

m = m 2

Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).

Vậy, với a = 1 và b = 0 hoặc a = -1 và b = 0 thỏa mãn điều kiệnđầu bài

Với yêu cầu “Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình tươngđương “,ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần:

 Giải và biện luận n0 x = x0 của (1)

 Để phương trình a và (2) tương đương, trước hết cần x = x0

cũng là nghiệm của (2) tức là:

g(x0, m) = 0 ⇒ m = m0

 Vậy m = m0 chính là điều kiện cần

Bước 2: Điều kiện đủ:

 Với m = m0 (1) ⇔ f(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (1)

(2) ⇔ g(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (2)

 Kết luận

II MỘT VÀI BÀI TOÁN MẪU:

 VD1:[2] Cho hai phương trình:

(x + 5) (2 – x) = 3m x + 3x + m -1 2 (1)

x4 + 6x3 + 9x2 – 16 = 0 (2)Tìm m để (1) và (2) tương đương

(m – 1) (m2 + 4m + 4) = 0Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương

Điều kiện đủ: Với m = 1 Khi đó (1) có dạng:

 Chú ý: Chúng ta đã tồn tại những phương trình chứa căn

mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phươngtrình chứa căn thức có thể tương đương với một bấtphương trình (hoặc có thể phát biểu dưới dạng “nghiệmđúng ∀ x ∈Ρ”) chúng ta đi xem ví dụ sau:

 VD2:[2] Cho phương trình và bất phương trình:

Vậy, với m = ±1 thì (1) và (2) tương đương.

 VD3:[2] Tìm m để hai phương trình sau tương đương:

8mxcos2x = sin2xcos3x - 12sin5x(1)

mcos2x + m cos4x + cos6x = 1 (2)

Giải:

Điều kiện cần: Giải (1) ta được:

1(sin3x - sinx) = (sin5x - sinx) - sin5x1 1

kπ sin3x = 0 3x = kπ x = , k Z

(2) ⇔ mcos2x – mcos4x + cos6x = 0

⇔ cos6x – 1 – m(cos4x – cos2x) = 0

m=0 hoăc m>-1 thì thỏa mãn điều kiện đầu bài

3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 28sinx9m2x

mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0

Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)

************************

Chương 3:

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI

BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ

Với yêu cầu “Tìm x để phương trình có nghiệm với mọi giá trị

của tham số m thuộc D m ” Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện để biểu thức của phương trình có nghĩa.

Bước 2: Điều kiện cần:

Giả sử phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈ Dm suy ra

nghiệm đúng với m0 ∈ Dm

 Chú ý: Việc chỉ ra giá trị m0∈Dm được gọi là phương pháp sử dụng

điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần và đủ

 Hoàn toàn có thể sử dụng một hoặc nhiều điểm thuận lợi m0, m1 …trong việc xác định điều kiện cần

 Với câu hỏi “Nếu lấy những giá trị nào từ tập D m để làm điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời cần sử dụng trực giá và kinh nghiệm của từng người.