sáng kiến kinh nghiệm-sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số

Với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn và thực hiện đề tài này với mục đích đóng góp một phần công sức nho nhỏ và việc tuyển chọn và chứng

LỜI NÓI ĐẦU.

ất đẳng thức là một chuyên đề hay và đặc sắc của toán học sơ cấp đã đựoc đưa vào dạy và học rộng rãi ở các trường phổ thông trung học.Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp ,kỳ thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng không bao giờ vắng mặt các bài toán

về bất đẳng thức Tuy nhiên phải nhận thấy rằng các bài toán chứng minh bất đẳng thức là các bài toán khó bởi lẽ nó không có một phương pháp chính thống nào để giải đựợc tất cả các bài toán bất đẳng thức cũng như nó đòi hỏi người học phải có kiến thức vững chắc và một số

kỹ năng giải toán nhất định Hiện nay tài liệu viết về bất đẳng thức cũng khá đa dạng theo nhiều hướng giải quyết sử dụng các công cụ khác nhau Với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn và thực hiện đề tài này với mục đích đóng góp một phần công sức nho nhỏ và việc tuyển chọn và chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Hi vọng cuốn tiểu luận này sẽ là một tài liệu bổ ích cho bạn đọc

B

Cuốn tiểu luận chia làm 4 chương:

Chương I: ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chương II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC Chương III: TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC

em xin chân thành cảm ơn thầy

Quy Nhơn,ngày 03 tháng 12 năm 2009

Nhóm thực hiện.

TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC… 32 Chương IV:

ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ……… …38KẾT LUẬN CHUNG……… 42TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 43

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng( )a b, ⊆¡ và x0∈( )a b, .

Ký hiệu :∆ = −x x x0 :số gia của đối số tại x0

∆ = −y y y0 = f x( )− f x( )0 = f x( 0+ ∆ −x) f x( )0 :số gia của hàm số tại x 0

Nếu tồn tại (hữu hạn) giới hạn: 0 0

f x hoặc df ( ).x0

dx

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a,b) thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b)

b.Định lý :( điều kiện cần của đạo hàm)

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì f(x) liên tục tại 0 x Và do đó nếu hàm số f(x) có đạo 0hàm trên khoảng (a,b) thì nó liên tục trên khoảng (a,b)

∆ →

∆

∆ =

, 0( )

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b).

• Hàm số f(x) được gọi là đồng biến(tăng) trên khoảng (a,b) nếu

2

x

y= −x y= y= x là những hàm nghịch biến trên miền xác định của nó.

b.Định lý:

Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).Khi đó:

• Nếu f x,( ) 0,≥ ∀ ∈x ( )a b, thì f(x) đồng biến trên khoảng(a,b).

• Nếu f x,( ) 0,≤ ∀ ∈x ( )a b, thì f(x) nghịch biến trên khoảng(a,b).

II.Hệ thống bài tập minh họa:

Như vậy sử dụng đạo hàm ta có thể xét tính đơn điệu của hàm số và từ đó áp dụng vào giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.Sau đây là một số ví dụ minh họa

x x

ππ

ππ

≤ ∀ ∈  

Suy ra f(x) nghịch biến trên 1,1

Bài 4:[3] Chứng minh rằng : cos os( ), 0,

22

x

∀ ∈ ÷.Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:

2

22

Theo chứng minh trên ta có :g”(x)=f(x)>0,∀x>0.Do đó g’(x) đồng biến trên (0,+∞).

⇒g’(x)>g’(0)=0 ,∀x>0.Do vậy g(x) lại đồng biến trên (0,+∞)

Suy ra :g(x)>g(0), ∀x>0

Hay sinx <

3 5, 0

f x

x >0.Suy ra f’(x) là hàm tăng trên (0,+∞) nên f’(x)>f’(0)=ln1=0

Vậy f(x) cũng là hàm tăng trên (0,+∞).Suy ra:

Suy ra f(t) đồng biến trên khoảng (0,1).Do đó:

 Nếu 1>y>x>0 thì f(y)>f(x) tức là (1) đúng

 Nếu 1>x>y>0 thì f(x)>f(y) tức là (2) đúng

Tóm lại (*) đúng với mọi x,y∈( )0,1 & x≠ y(đpcm)

Bài 9 :[0]Chứng minh rằng với mọi x>0,ta có: ( 2) 1

Rõ ràng f’(t)<0,∀t>0,suy ra f(t) nghịch biến trên (0;+∞)

Theo giả thiết x>y>0 nên (***) đúng(đpcm)

Bài 15[10]:Cho x,y>0,thỏa mãn x+y=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t= 116 ⇔x y2 2 =16.

Theo gt x+y=1(x,y>0) nên x=y=1/2

Bài 16[2]: Chứng minh rằng

3 12sinx t anx 2

x

x− < + < ∀ >x x x

Áp dụng: Cho dãy (u ) được xác định như sau: n

-Nếu x∈(0, c− ) :Khi đó f’(x)<0,do đó f(x) là hàm giảm ngặt trong khoảng này.Mặt khác f(x) liên tục [0,-c] nên tất cả các giá trị nằm từ f(-c)=0 đến f(0)=c Vì vậy 4 0 f (x) c≤ ≤ 4với

Vì a/b >0 nên theo (*)&(**) ta được (#) đúng

Đẳng thức xảy ra khi a/b=-c

Bài 19:[9] Cho 4 số dương a,b,c,d.Chứng minh rằng:

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a + + + +b c d 2abcd (a b− +a c +a d +b c +b d +c d )>0

Giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c d 0≥ ≥ ≥ >

Xét hàm số f(a)= a4+ + + +b4 c4 d4 2abcd (a b− 2 2+a c2 2+a d2 2+b c2 2+b d2 2+c d )2 2 ,với a>0

Ta có f’(a)=4a3+2bcd 2a(b− 2+ +c2 d )2

f”(a)=12a2− 2(b2+ +c2 d )2 >0

Suy ra f’(a) đồng biến trên (0,+∞)

Vì a≥b nên f’(a) ≥f’(b)

Mặt khác ta có f’(b)= 2b b( 2−c2)+2bc c d( − ) ≥0 nên f(a) đồng biến trên (0,+∞)

Do a>0 nên f(a)>f(0)=0(đpcm)

Bài 5[3]: Chứng minh rằng ∀ ∈x ¡ ta luôn có:

x ∀ > Chứng minh f(x) là hàm nghịch biến ,từ đó hãy suy ra đpcm.

Bài 8:(Đề thi tuyển sinh trường đại học Quy Nhơn)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng: x 1 x, 0

Bài 10[2]:Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh rằng:

CHƯƠNG II

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC.

I.Lý thuyết:

1.Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D⊆¡ và x0∈D Khi đó:

a x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa 0 x 0sao cho ( )a b, ⊆D sao cho : f x( )< f x( ),0 ∀ ∈x ( )a b, \{x } Và khi đó ta nói f(0 x ) là giá trị 0cực đại của hàm số f

b x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa 0 x 0sao cho ( )a b, ⊆D sao cho : f x( )> f x( ),0 ∀ ∈x ( )a b, \{x } Và khi đó ta nói f(0 x ) là giá trị 0cực tiểu của hàm số f

c.Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Giá trị cực đại và giả trị cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số

Điểm (x f x ) gọi là điểm cực trị của đồ thị của hàm số f.0, ( )0

2.Định lý:

a.Định lý 1 :( điều kiện cần của cực trị)

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại x Khi đó nếu f đạt cực trị tại 0 x thì 0 f x'( ) 00 =

Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng,tức là ∃x0: '( ) 0f x0 = nhưng f không đạt cực trị tại x Và hàm số f có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.0

b.Định lý 2: ( điều kiện đủ thứ 1)

Giả sử f liên tục trên (a,b) chứa x và có đạo hàm trên các khoảng (a, 0 x ) và (0 x ,b).Khi đó:0

i Nếu f’(x)<0,∀ ∈x ( , )a x0 và f’(x)>0, ∀ ∈x ( , )x b0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

ii Nếu f’(x)>0,∀ ∈x ( , )a x0 và f’(x)<0, ∀ ∈x ( , )x b0 thì f đạt cực đại tại x0

c.Định lý 3:(điều kiện đủ thứ 2)

Giả sử f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a,b) chứa điểm x , f’(0 x )=0 và f có đạo hàm cấp hai 0tại x khác 0 Khi đó:0

i Nếu f’’(x )<0 thì hàm số f đạt cực đại tại 0 x 0

ii Nếu f’’(x )>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0 x 0

3.Nhận xét:

Giá trị cực đại (cực tiểu) của 1 hàm số nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D.Tuy nhiên nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và chỉ có một giá trị cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị đó cũng là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f

II.Hệ thống bài tập minh họa:

Bài 1[6]:Chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta đều có: 4 (1 )4 1

1'( ) 0

2

f x = ⇔ =x

x −1 1 2 1

2 ( )f x

Suy ra : f x( )≤ 2,∀ ∈ −x [ 1,1].Như vậy ta chỉ cần chọn m≥ 2 ta có (*)

Bài 7[8]:Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

cos cos cos 3

Nhận xét:Qua phép chứng minh trên ,ta nghĩ tới lớp các bất đẳng thức tam giác ma dấu

đẳng thức xảy ra khi tam giác đều chúng liên quan đến các lớp hàm số có đạo hàm phụ thuộc vào 2cosx-1,cosx –sin(x/2),hoặc 2sinx - 3 (vì đạo hàm bằng 0 khi x=

cot C- 2

sin C ≤- 3

Cộng các vế của 3 bất đẳng thức trên ta được

cotA+cotB+cotc+3 3≤2( 1 1 1 )

sin A sin B sin C+ +

Như vậy bằng con đường trên bạn đọc tìm ra nhiều bất đẳng thức lượng giác

Bài8 [8]:Cho tam giác ABC,chứng minh rằng:

1+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA≤13

12(cosA+cosB+cosC)+cosAcosBcosC (*)Giải:

cos cos cos

cos cos cos 6

3 3(1 ) 2

3 3(1 ) 2

3 3(1 ) 2

Như vậy

3

3 256 27( ) ( )

x 0 1 65

'( )f x + 0 _ 0

2 ( )f x

Suy ra ( ) 2, 0,6

5

≤ ∀ ∈    do đó x2+y2 ≤2.(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

Bài 12 [5]: Cho a b+ ≥0 và n∈¥,n>1.Chứng minh rằng:

Bài 13[5]: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1 Chứng minh rằng:

f’(c)=4c-6=0 3

2

c

⇔ = Bảng biến thiên:

2

2 2

Như vậy : 2− − 58≤ f t( )≤ − +2 58,∀ ∈t ¡ Tư đó suy ra:

− −2 58 sin≤ 2x−14sin cosx x−5cos2x≤ − +2 58.(đpcm)

Bài 16 [5]:Chứng minh rằng với mọi x ta có: 2 sinx 2cos 1 1

sinx cos 2

x x

( )

2

2 2

(4 12 )'( )

Xét hàm số: f(x)= (n+1)x n+ 2−3(n+2)x n+ 1+a n+ 2, n∈¥ ,n chẵn, a>3

Ta có : f x'( ) (= +n 1)(n+2)x n+ 1−3(n+1)(n+2)x n = +(n 1)(n+2) (x x n −3)

0'( ) 0 ( 3) 0

sin sin sin

2 2 2 sin sin sin 8

Bài 3[7]: Chứng minh rằng :sin10x+2 osc 2x≤ ∀ ∈2, x ¡

Bài 4[11]: Cho a,b,c là 3 số thỏa a2+ +b2 c2=1.Chứng minh rằng:

CHƯƠNG III

TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC I,Lý thuyết:

1.Định nghĩa:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên D⊆¡ và có đồ thị (C).Ta nói:

a.Đồ thị (C) của hàm số f là lồi trên (a,b)⊆D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều

nằm phía trên đồ thị

b Đồ thị (C) của hàm số f là lõm trên (a,b)⊆D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó

đều nằm phía dưới đồ thị

c.Nếu đồ thị của hàm số lồi và lõm trên từng khoảng xác định của nó thì điểm phân cách giữa phần lồi và phần lõm của nó được gọi là điểm uốn của đồ thị

2.Định lý:

a.Định lý 1:

Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) nào đó Khi đó:

i.Nếu f’’(x)<0, x∀ ∈(a,b) thì đồ thị hàm số f lồi trên khoảng (a,b)

ii.Nếu f’’(x)>0,∀ ∈x (a,b) thì đồ thị hàm số f lõm trên khoảng (a,b)

3.Tính chất của hàm lồi ,lõm, bất đẳng thức Jensen:

a.Tính chất của hàm lồi:

Hàm số f được gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lõm trên khoảng đó

Như vậy: Hàm số f lồi trên khoảng (a,b)⇔ f x''( ) 0,> ∀ ∈x ( , ).a b

b.Tính chất của hàm lõm:

Hàm số f được gọi là lõm trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lồi trên khoảng đó

Như vậy: Hàm số f lõm trên khoảng (a,b)⇔ f x''( ) 0,< ∀ ∈x ( , ).a b

y Tính chất: nếu hàm số f lõm trên khoảng (a,b) thì f(b) với mọi x x1, 2∈( , )a b , ta có:

II.Hệ thống baì tập minh họa:

Bài 1[2]: Chứng minh rằng với mọi x,y≥0ta có:

Bài 3[2]:Chứng minh rằng :sinx sin sin , , [ ]0,

Ta xét hàm f(x)=sinx trên đoạn [ ]0,π ta có:

f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx 0, x≤ ∀ ∈[ ]0,π Suy ra f là hàm lõm trên đoạn [ ]0,π do đó:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y

Bài 4[5]: Cho f là hàm lõm (đồ thị lồi) trên khoảng (a,b) Giả sử p,q là hai số dương bất kỳ

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1=x2

Tưong tự nếu f là hàm lồi trên (a,b) thì pf x( )1 qf x( )2 px1 qx2

Bài 6[5]: Cho bốn số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = ⇔ ∆A B C ABC đều.

Bài 8[5]: Chứng minh rằng nếu ABC là tam giác nhọn thì:

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = ⇔ ∆A B C ABC đều

Bài 9[2]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

tan2 tan2 tan2 1

Tổng quát : tan2 tan2 tan2 11, 1,

.Giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n=1 : vì '( )f x <g x'( ),∀ ∈x ( , )a b nên suy ra '( ) '( ) , ( ),

Lại vì ( )f a ≤g a( ) cho nên từ (1) ta suy ra : f x( ) <g x( ),∀ ∈x ( )a b,

Như vậy định lý đúng với n=1

Bây giờ giả sử (*) với n=k, ta chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1

II.Hệ thống bài tập minh họa:

Như vậy sử dụng kết quả của định lý trên ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán bất đẳng thức chỉ đơn thuần bằng công cụ đạo hàm.Sau đây là một số ví dụ điển hình

8sinx(2+sin )( )

Xét 2 hàm f(x)=tanx+sinx và g(x)=2x trên khoảng 0,

f x

x

=+ <1=g’(x) , ∀x>0.

( )2

1''( )

( )3

2'''( )

1

x

=+ ; '''( ) 0h x = .

Với x∈(0,π]thì s inx 0≥ và e x >e0 =1 nên suy ra ''( )f x >g x''( )

Với x>π thì e x >eπ >23 và − ≤1 s inx 1≤ cho nên ''( )f x >g x''( )

Tóm lại : ''( )f x >g x''( ), với mọi x>0.

KẾT LUẬN CHUNG

Lý thuyết bất đẳng thức và đặt biệt các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú cực kì đa dạng.Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề tham khảo về đại số ,giải tích,số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức.Tuy vậy các tài liệu về bất đẳng thức chưa đi sâu vào phương pháp giải.Ở trong phần tiểu luận trên chúng tôi đã trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng khảo sát hàm số một cách khá hệ thống,và làm rõ thêm mối quan hệ giữa hàm số với bất đẳng thức

Vì thời gian thực hiện cuốn tiểu luận rất ngắn cũng như trình độ kiến thức có hạn nên chắc chắn cuốn tiểu luận không thể tránh khỏi những thiếu xót nhất định.Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp ,phê bình cũng như bổ sung của quý thầy cô và bạn đọc Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[4] Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy,Nguyễn Cam ,Chuyên đề luyện thi vào đại học

[5] Trần Văn Kỷ ,Toán chọn lọc 375 bài toán bất đẳng thức ,NXB TP Hồ Chí Minh,1998.[6] Võ Đại Mau ,Phương pháp giải toán bất đẳng thức ,NXB Trẻ, 1998

[7] Nguyễn Văn Mậu , Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục ,2002

[8] Đoàn Thế Phiệt ,Toán học tuổi trẻ ,NXB Giáo Dục ,2007

[9] Trần Phương , Bài giải trọng tâm ôn luyện môn toán ,NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009

[10] Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng ,Giải bằng nhiều cách các bài toán bất đẳng thức, NXB tổng hợp Tp.Hồ Chí Minh,2004

[11] Phạm Trọng Thư, Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức,NXB Đại Học Sư Phạm ,2008