Đại số sơ cấp - Phương trình, bất phương trình vô tỉ doc

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ ∈ ℝx.. Định nghĩa Ta gọi phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đó là phương trình dạ

Bài 26 Cho bất phương trình

2(x+2)(x+4)(x +6x+10)≥m

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ ∈ ℝx

Bài 27 Cho bất phương trình

2

2 osc x+3mc xos +1 0.≥

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ ∈x [0; ].π

Bài 28 Cho bất phương trình

2 2

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ ≠x 0

Bài 29 Cho bất phương trình

x − m+ x + m+ x m− − >

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ >x 1

Bài 30 Cho bất phương trình

(x−1)(x+1)(x+3)(x+5)>m

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ > −x 1

Bài 31 Cho bất phương trình

( 2)( 2)( 4) 2

x x− x+ x+ < m Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm x >0

Bài 32 Chứng minh rằng phương trình 4 4x( x + = có đúng ba nghiệm phân biệt 2 1) 1

CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

§1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1 Định nghĩa và các định lý

1.1 Định nghĩa

Ta gọi phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đó là

phương trình dạng ( ) 0,f x = trong đó ( ) f x là một hàm số có chứa căn thức của biến số

1.2 Các định lý (Các định lý sau làm cơ sở cho việc giải phương trình vô tỉ)

1.2.4 Định lý 2

2

( ) 0( ) ( )

2 Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa

2

9

x

x x

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm 2

Trở lại ban đầu ta có A x( ) [(= 3 x+ −1 33x+1)2+( 33 x+ +1 3 x−1)2+(3 x− +1 3 x+1) ].2

Rõ ràng x =0 là nghiệm của phương trình ( ) 0.A x =

Qua bài toán này, chúng ta thấy có những phép biến đổi phương trình tưởng như là phép biến đổi tương đương nhưng thực chất là phép biến đổi hệ quả

2 2

3(*)9

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm là x = −3 hoặc x =6

1

21

x x x x

= −

+

2 2

51

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm là 1 21 1 17

x= − ∨ =x − +

Ví dụ 7 Cho phương trình

Ta có nhận xét: Khi t =4 thì phương trình t= 4+ +x 4− có một nghiệm x x, khi

2 2≤ <t 4 thì phương trình t = 4+ +x 4−x có hai nghiệm x

Xét hàm số f t( )=t2+2t−8

( ) 2 2 0 1 [2 2; 4]

f t′ = t+ = ⇔ = − ∉t Hàm số f t( )=t2+2t− đồng biến trên 8 [2 2;4] nên đường thẳng y=2mcắt đồ thị hàm số y= f t( )=t2+2t−8 trên [2 2;4] nhiều nhất tại đúng một điểm

Mặt khác ta có f(2 2) 4 2; (4) 16.= f = Kết hợp với nhận xét trên thì phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi 4 2 2≤ m<16 hay 2 2≤m<8

Ví dụ 8 Cho phương trình

2 2

2 2

2 2

2.3 Phương pháp lượng giác hóa

Trong một số trường hợp, nếu chúng ta đặt ẩn phụ bởi các hàm số lượng giác, thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn Kiến thức cần nhớ như sau

+ Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là − ≤ ≤k x k k, > hay phương trình có chứa 0

3 2 sin cos 3( cos sin )

3 2sin cos 3(cos sin )

= ∈ Khi đó vế trái của phương trình (1)

được biến đổi về dạng

Do đó phương trình (1) tương đương với điều kiện để dấu bằng xảy ra

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Giải Điều kiện: x ≥0 Đặt tan , [0; )

42

−

12

1 2

Ta có nhận xét rằng, ứng với mỗi t ≥0 thì phương trình t= x− cho ta một nghiệm 4 x Do đó

(1) có đúng hai nghiệm x khi và chỉ khi (2) có đúng hai nghiệm t ≥0

Xét hàm số f t( )= − + −t 1 t 3 ,t≥0

g x = − −x −x đồng biến trên D và cũng thấy rằng ( )g x không âm trên D.

Như vậy, hàm số ( )f x đồng biến trên D

Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Bất phương trình vô tỉ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức Nói khác đi

đó là một bất phương trình có dạng ( ) 0,f x > (hoặc ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 f x < f x ≥ f x ≤ ), trong đó ( )

f x là hàm số có chứa căn thức của biến số

2 Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

2.1 Phương pháp nâng lũy thừa

x

x x x

x x

Điều kiện để các căn bậc hai có nghĩa là − ≤ ≤1 x 1.

Khi đó vế phải của (1) cũng không âm, do đó bình phương hai vế của bất phương trình đã cho

ta được bất phương trình tương đương

Bất phương trình cuối luôn đúng

Vậy, nghiệm của bất phương trình là − ≤ ≤1 x 1

a) Giải bất phương trình (1) khi a =6;

b) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ ∈ −x [ 2; 4 ]

Giải

1 3+2

2 2( ) , [1; 2],

2 3

Yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi 2

Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là

3

32

1

x x

x x

5) x3+ (1−x2 3) =x 2(1−x2);

6) 1+ 1−x2  (1−x)3 − (1+x)3= +2 1−x2;

x x

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m > 0

Bài 11 Cho phương trình

2

x+ + x+ + x + x+ + +x m=

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm không âm

Bài 12 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

5+ +x 7− +x m 5+x 7−x =2m+ 1

Bài 13 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

2 4

có nghiệm thuộc đoạn [0; 2]

Bài 15 Tìm các giá trị của m để phương trình

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có một nghiệm duy nhất với mọi m

Bài 18 Tìm các giá trị của m để bất phương trình

2(4+x)(6−x)≤x −2x m+nghiệm đúng với mọix ∈ −[ 4; 6 ]

Bài 19 Tìm các giá trị của m để bất phương trình

1) Giải bất phương trình khi m = − 1;

2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ − − +[ 2; 2 3]

Bài 22 Cho bất phương trình

2(3+x)(7−x)≤x −4x m+

Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ −[ 3;7]

Bài 23 Cho bất phương trình

4x− +2 16 4− x≤m

Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm

Bài 24 Cho bất phương trình

2

1−x ≥m x−

Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm

Bài 25 Cho bất phương trình

2

12 3− x ≤ −x m

Tìm các giá trị của m để bất phương trình có một nghiệm duy nhất

Bài 26 Cho bất phương trình

2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

Bài 27 Cho bất phương trình