tóm tắt bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

ph`ong quay sprinning-reserve cost, chiph´ı du.... nhiˆe˜u vˆa˜n gi˜u.. nguyˆen t´ınh lˆo`i nhu.trong c´ac nghiˆen c´u.u cu˙’a M... chiˆe.n luˆa.n ´an.. Nguyˆe˜n Thiˆe.n Luˆa.n, PGS.. Ng

X Phu v`a N D Yen (2001), M Schweighofer (2006), H Tuy (1964, 1983,2007), H H Vui v`a P T Son (2008) .

Khi A l`a ma trˆa.n nu˙’ a x´. ac d¯i.nh du.o.ng hoˇa.c nu.˙’a x´ac d¯i.nh ˆam th`ı b`aito´an trˆen phˆan r˜a th`anh c´ac b`ai to´an kh´ac nhau sau:

s ∈ [0, +∞[ v`a A trong c´ac b`ai to´an (P ), (Q), ( ˜P ) v`a ( ˜Q) d¯u.o. c gia˙’ thiˆe´t l`a

ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng

V`ı sao c´ac b`ai to´an trˆen d¯u.o. c cho.n d¯ˆe˙’ nghiˆen c´u.u? R˜o r`ang, c´ac b`aito´an (P ) v`a (Q) l`a c´ac tru.`o.ng ho. p riˆeng cu˙’a c´ac b`ai to´an ( ˜P ) v`a ( ˜Q) D- ˆayl`a l´y do d¯ˆe˙’ ch´ung tˆoi tiˆe´n h`anh nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an trˆen, tˆo´i thiˆe˙’u t`u

quan d¯iˆe˙’m l´y thuyˆe´t Tuy nhiˆen, c`on mˆo.t sˆo´ l´y do thu c tˆ. e´ kh´ac du.´o.i d¯ˆay,cho thˆa´y viˆe.c nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an ( ˜P ), ( ˜Q) l`a thu. c su cˆ. ` n.a

L´y do th´u nhˆa´t: f (x) = hAx, xi + hb, xi l`a h`am mu.c tiˆeu ban d¯ˆa` u v`a pl`a h`am nhiˆe˜u n`ao d¯´o H`am nhiˆe˜u p c´o thˆe˙’ bao gˆo`m c´ac t´ac d¯ˆo.ng bˆo˙’ sung(tˆa´t d¯i.nh hoˇa.c ngˆa˜u nhiˆen) lˆen h`am mu.c tiˆeu v`a c´ac lˆo˜i gˆay ra trong qu´atr`ınh mˆo h`ınh h´oa, d¯o d¯a.c, t´ınh to´an D- iˆe˙’m d¯ˇa.c biˆe.t l`a o.˙’ chˆo˜, ch´ung taha.n chˆe´ chı˙’ x´et nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i Ha.n chˆe´ n`ay l`a khˆong qu´a ngˇa.t, c´o thˆe˙’ d¯u.o ctho˙’a m˜an trong nhiˆ` u b`e ai to´an thu. c tˆe´ chˇa˙’ng ha.n nhu hai v´ı du minh ho.asau d¯ˆay

Mˆo.t trong nh˜u.ng ´u.ng du.ng nˆo˙’i bˆa.t cu˙’a quy hoa.ch to`an phu.o.ng l`ab`ai to´an lu. a cho.n d¯ˆ` u tu (H M Markowitz (1952, 1959)).a B`ai to´anph´at biˆe˙’u nhu sau: Phˆan phˆo´i vˆo´n qua n ch´u.ng kho´an (asset) c´o sˇa˜n

d¯ˆe˙’ c´o thˆe˙’ gia˙’m thiˆe˙’u ru˙’i ro v`a tˆo´i d¯a lo. i nhuˆa.n, t´u.c l`a t`ım v´ec to tı˙’ lˆe

x ∈ D, D := {x = (x1, x2, , xn) | Pn

j=1xj = 1} d¯ˆe˙’ f (x) = ωxTAx − ρTx

d¯a.t gi´a tri nho˙’ nhˆa´t, trong d¯´o xj, j = 1, , n, l`a ty˙’ lˆe ch´u.ng kho´an th´u jtrong danh mu.c d¯ˆa` u tu., ω l`a tham sˆo´ ru˙’i ro, A ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n hiˆe.pphu.o.ng sai, ρ ∈ IRn l`a v´ec to lo. i nhuˆa.n k`y vo.ng V`ı A v`a ρ thu.`o.ngkhˆong d¯u.o. c x´ac d¯i.nh ch´ınh x´ac m`a chı˙’ xˆa´p xı˙’ bo˙’ i ˜. A v`a ˜ρ, do d¯´o ch´ung

ta pha˙’i cu. c tiˆe˙’u h´oa h`am ˜f (x) = ωxTAx − ˜˜ ρTx = f (x) + p(x), trong d¯´op(x) = ωxT( ˜A − A)x − ( ˜ρ − ρ)Tx Khi quy d¯i.nh khˆong d¯u.o c b´an khˆo´ng, t´u.cl`a xj ≥ 0, j = 1, , n, th`ı tˆa.p chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c D l`a gi´o.i nˆo.i V`ı vˆa.y nhiˆe˜u

p c˜ung gi´o.i nˆo.i trˆen D N´oi mˆo.t c´ach tˆo˙’ng qu´at, t´ınh gi´o.i nˆo.i cu˙’a nhiˆe˜u luˆon

d¯a˙’m ba˙’o khi D gi´o.i nˆo.i v`a p liˆen tu.c trˆen D Gia˙’ thiˆe´t n`ay l`a ph`u ho p v´. o.inhiˆ` u b`e ai to´an thu. c tˆe´

Mˆo.t v´ı du n˜u.a cho thˆa´y l`a nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i luˆon xuˆa´t hiˆe.n khi gia˙’i mˆo.t b`aito´an tˆo´i u.u (P ) hoˇa.c (Q) n`ao d¯´o bˇa`ng m´ay t´ınh Do phˆa` n l´o.n c´ac sˆo´ thu. ckhˆong thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n ch´ınh x´ac bˇa`ng m´ay t´ınh, nˆen d¯ˆo´i v´o.i hˆa` u hˆe´t x ∈ D takhˆong thˆe˙’ t´ınh ch´ınh x´ac d¯a.i lu.o ng f(x) = hAx, xi+hb, xi m`a chı˙’ c´o thˆe˙’ xˆa´pxı˙’ f (x) bo.˙’ i mˆo.t sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯ˆo.ng ˜f (x) n`ao d¯´o H`am ˜f khˆong lˆ`i, khˆo ongto`an phu.o.ng v`a thˆa.m ch´ı l`a khˆong liˆen tu.c trˆen D Khi d¯´o h`am p := ˜f − f

mˆo ta˙’ c´ac lˆo˜i t´ınh to´an C´ac lˆo˜i d¯´o bi chˇa.n bo.˙’i mˆo.t cˆa.n trˆen s ∈ [0, +∞[ n`ao

d¯´o c´o thˆe˙’ u.´o.c lu.o. ng d¯u.o. c, t´u.c l`a supx∈D|p(x)| ≤ s Ngo`ai ra, bˇa`ng c´ach su.˙’du.ng c´ac sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯ˆo.ng d`ai ho.n v`a/hoˇa.c c´ac thuˆa.t to´an tˆo´t ho.n, ta c´othˆe˙’ gia˙’m cˆa.n trˆen s

L´y do th´u hai: ˜f l`a h`am mu.c tiˆeu d¯´ıch thu c v`. a f l`a h`am mu.c tiˆeu d¯u.o cl´y tu.o.˙’ ng h´oa hoˇa.c l`a h`am mu.c tiˆeu thay thˆe´ Trong thu c tiˆ. e˜n, nhiˆe` u h`amthˆe˙’ hiˆe.n mˆo.t sˆo´ mu.c tiˆeu thu c tˆ. e´ d¯u.o. c gia˙’ thiˆe´t l`a lˆ`i, hoˇo a.c to`an phu.o.ng,hoˇa.c c´o mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t thuˆa.n tiˆe.n d¯˜a d¯u.o c nghiˆen c´u.u k˜y, hoˇa.c dˆe˜ nghiˆenc´u.u, nhu.ng thu. c tˆe´ khˆong pha˙’i l`a nhu vˆa.y D- iˆe` u n`ay d¯˜a d¯u.o. c H X Phu,

H G Bock v`a S Pickenhain (2000) d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n Trong bˆo´i ca˙’nh d¯´o, p = ˜f −fl`a h`am hiˆe.u chı˙’nh C´o thˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t p l`a gi´o.i nˆo.i (tˆo´i thiˆe˙’u trˆen tˆa.p chˆa´pnhˆa.n d¯u.o c) bo.˙’i mˆo.t sˆo´ du.o.ng kh´a b´e s, v`ı nˆe´u |p(x)| qu´a l´o.n th`ı su thaythˆe´ khˆong c`on ph`u ho. p n˜u.a

D- ˆe˙’ gia˙’i th´ıch d¯iˆe` u n`ay, ta d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆe` thu.`o.ng d¯u.o. c nghiˆen c´u.ucu˙’a ph´at d¯iˆe.n tˆo´i u.u, t´u.c l`a vˆa´n d¯ˆe` phˆan bˆo´ lu.o. ng d¯iˆe.n nˇang cho t`u.ng tˆo˙’m´ay ph´at nhiˆe.t d¯iˆe.n sao cho tˆo˙’ng chi ph´ı (gi´a th`anh) l`a cu c tiˆ. e˙’u, d¯ˆ`ng th`o o.i

vˆa˜n d¯´ap ´u.ng d¯u.o. c nhu cˆ` u lu.o.a ng d¯iˆe.n nˇang v`a thoa˙’ m˜an r`ang buˆo.c vˆe` cˆongsuˆa´t ph´at ra cu˙’a mˆo˜i tˆo˙’ m´ay Ngu.`o.i ta thu.`o.ng gia˙’ thiˆe´t (P P J Van denBosch v`a F A Lootsma (1987), R M S Danaraj v`a F Gajendran (2005)),h`am chi ph´ı tˆo˙’ng cˆo.ng (bao gˆo`m chi ph´ı nhiˆen liˆe.u (fuel cost), chi ph´ı ta˙’isau (load-following cost), chi ph´ı du. ph`ong quay (sprinning-reserve cost), chiph´ı du. ph`ong bˆo˙’ sung (supplemental-reserve cost), chi ph´ı tˆo˙’n thˆa´t ph´at v`atruyˆ` n dˆe a˜n d¯iˆe.n nˇang) l`a h`am to`an phu.o.ng, lˆo`i ngˇa.t v`a c´o da.ng

D˜ı nhiˆen gia˙’ thiˆe´t to`an phu.o.ng, lˆ`i ngˇo a.t cu˙’a h`am mu.c tiˆeu l`a qu´a l´ytu.o.˙’ ng Chi ph´ı thu. c tˆe´ c´o thˆe˙’ khˆong l`a h`am to`an phu.o.ng v`a c˜ung khˆong l`ah`am lˆ`i ngˇo a.t Nhu vˆa.y, d¯ˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t vˆe` t´ınh to`an phu.o.ng v`a lˆo`i ngˇa.t cu˙’a h`ammu.c tiˆeu d¯u.o c tho˙’a m˜an, cˆa`n h`am gi´o.i nˆo.i p hiˆe.u chı˙’nh h`am chi ph´ı thu c

tˆe´ D- ˇa.c biˆe.t, nˆe´u hiˆe.u ´u.ng d¯iˆe˙’m-van d¯u.o c x´et d¯ˆe´n (P P J van den Boschv`a F A Lootsma (1987), R M S Danaraj v`a F Gajendran (2005), ) th`ıh`am chi ph´ı to`an phu.o.ng pha˙’i d¯u.o. c hiˆe.u chı˙’nh bo˙’ i tˆ. o˙’ng h˜u.u ha.n c´ac h`am

da.ng sin, t´u.c l`a

i=1|eisin(fi(Pi min− Pi))| l`a gi´o.i nˆo.i

D- ˆe˙’ ngˇa´n go.n, ta thu.`o.ng go.i p l`a h`am nhiˆe˜u (mˇa.c d`u n´o khˆong chı˙’ d¯´ongvai tr`o d¯´o nhu d¯˜a gia˙’i th´ıch o.˙’ trˆen), ˜f l`a h`am bi nhiˆe˜u v`a ( ˜P ) v`a ( ˜Q) l`a c´acb`ai to´an nhiˆe˜u Thˆa.t ra, ch´ung chı˙’ l`a c´ac thuˆa.t ng˜u vay mu.o n, khˆong pha˙’il´uc n`ao c˜ung ch´ınh x´ac nhu thu.`o.ng lˆe

Nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆ` g`ı l`e a m´o.i co ba˙’n khi nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an ( ˜P ) v`a ( ˜Q)?

Cˆau ho˙’i n`ay l`a cˆ` n thiˆe´t, v`ı d¯˜a a c´o nh˜u.ng kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´u.u d¯ˇa.c sˇa´c theoc´ac kh´ıa ca.nh kh´ac nhau vˆe` t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a c´ac b`ai to´an nhiˆe˜u lˆo`i v`a/hoˇa.cnhiˆe˜u to`an phu.o.ng D- iˆe˙’m chung cu˙’a phˆa` n l´o.n c´ac cˆong tr`ınh nghiˆen c´u.u t`u.tru.´o.c d¯ˆe´n nay l`a nhiˆe˜u khˆong l`am thay d¯ˆo˙’i nh˜u.ng thuˆo.c t´ınh tiˆeu biˆe˙’u cu˙’ab`ai to´an ban d¯ˆ` u V´ı du b`ai to´an lˆoa `i bi nhiˆe˜u vˆa˜n gi˜u nguyˆen t´ınh lˆo`i (nhu.trong c´ac nghiˆen c´u.u cu˙’a M J Canovas (2008), D Klatte (1997), B Kumer(1984), ) v`a c´ac b`ai to´an to`an phu.o.ng gi˜u d¯u.o. c t´ınh to`an phu.o.ng (nhu.trong c´ac nghiˆen c´u.u cu˙’a J V Daniel (1973), G M Lee, N N Tam v`a N

D Yen (2005), K Mirnia v`a A Ghaffari-Hadigheh (2007), H X Phu (2007),

H X Phu v`a N D Yen (2001) ) D- iˆe` u kh´ac biˆe.t l`a, h`am mu.c tiˆeu ˜f cu˙’ac´ac b`ai to´an nhiˆ˜u trong luˆa.n ´an n`ay khˆong lˆo`i, khˆong to`an phu.o.ng mˇa.c d`ueh`am f l`a lˆ`i ngˇo a.t v`a to`an phu.o.ng Ho.n n˜u.a, v`ı nhiˆe˜u p chı˙’ gia˙’ thiˆe´t l`a gi´o.i

nˆo.i, nˆen h`am bi nhiˆe˜u ˜f c´o thˆe˙’ khˆong liˆen tu.c ta.i bˆa´t c´u d¯iˆe˙’m n`ao V´o.inh˜u.ng h`am mu.c tiˆeu nhu vˆa.y, du.`o.ng nhu s˜e khˆong thˆe˙’ thu d¯u.o c kˆe´t qua˙’ g`ı

d¯ˇa.c biˆe.t Mu.c tiˆeu cu˙’a luˆa.n ´an l`a chı˙’ ra d¯iˆe` u ngu.o. c la.i.

Luˆa.n ´an gˆo`m 4 chu.o.ng

Chu.o.ng 1 tr`ınh b`ay b`ai to´an quy hoa.ch lˆo`i, b`ai to´an quy hoa.ch to`anphu.o.ng, mˆo.t sˆo´ loa.i h`am lˆo`i thˆo nhu γ-lˆ`i ngo`o ai, Γ-lˆ`i ngo`o ai, γ-lˆ`i trong c`o ung

mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a ch´ung

Chu.o.ng 2 nghiˆen c´u.u t´ınh γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am to`an phu.o.ng v´o.i nhiˆ˜uegi´o.i nˆo.i, c´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a

B`ai to´an ( ˜P ), kha˙’o s´at t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh nghiˆe.m v`a mo˙’ rˆ. o.ng D- i.nh l´y Kuhn-Tuckercho b`ai to´an n`ay.

Chu.o.ng 3 nghiˆen c´u.u t´ınh Γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am mu.c tiˆeu ˜f (theo c´achtiˆe´p cˆa.n tˆo pˆo), qua d¯´o nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’ ma.nh ho.n nh˜u.ng kˆe´t qu˙’anghiˆen c´u.u vˆ` d¯iˆe˙’m cu.e c tiˆe˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an( ˜P ) d¯u.o. c chı˙’ ra trong Chu.o.ng 2

Chu.o.ng 4 nghiˆen c´u.u t´ınh γ-lˆ`i trong cu˙’a h`o am mu.c tiˆeu ˜f , t´ınh ˆo˙’n d¯i.nhcu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’msupremum d¯i.a phu.o.ng cu˙’a B`ai to´an ( ˜Q)

Luˆa.n ´an d¯u.o c ho`an th`anh du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n cu˙’a GS TSKH Ho`angXuˆan Ph´u v`a PGS TS Phan Thanh An T´ac gia˙’ chˆan th`anh ca˙’m o.n su..gi´up d¯˜o mo.i mˇa.t m`a c´ac Thˆa` y d¯˜a d`anh cho T´ac gia˙’ b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n

sˆau sˇa´c v`a chˆan th`anh t´o.i GS TSKH Ho`ang Xuˆan Ph´u, Thˆ` y d¯˜a a quan tˆam,hu.´o.ng dˆa˜n t´ac gia˙’ trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u.u T´ac gia˙’ b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n

d¯ˆe´n GS TSKH Nguyˆ˜n De - ˆong Yˆen, PGS TS Ta Duy Phu.o ng, PGS TS.Nguyˆe˜n Nˇang Tˆam v`a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p thuˆo.c Ph`ong Gia˙’i t´ıch sˆo´ v`a T´ınhto´an Khoa ho.c Viˆe.n To´an ho.c v`ı d¯˜a c´o nh˜u.ng ´y kiˆe´n qu´y b´au cho t´ac gia˙’trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u.u

T´ac gia˙’ xin d¯u.o. c b`ay to˙’ l`ong ca˙’m o.n d¯ˆe´n Ban chu˙’ nhiˆe.m Khoa CˆongNghˆe thˆong tin, Ph`ong Sau d¯a.i ho.c v`a Ban Gi´am d¯ˆo´c Ho.c viˆe.n K˜y thuˆa.tQuˆan su. d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o nhiˆe` u th`o.i gian thu. chiˆe.n luˆa.n ´an

T´ac gia˙’ c˜ung b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n d¯ˆe´n PGS TS D- `ao Thanh T˜ınh, PGS

TS Nguyˆ˜n De - ´u.c Hiˆe´u, PGS TS Nguyˆe˜n Thiˆe.n Luˆa.n, PGS TS Tˆo VˇanBan, TS Nguyˆe˜n Nam Hˆo`ng, TS Nguyˆe˜n H˜u.u Mˆo.ng, TS V˜u Thanh H`a,

TS Nguyˆ˜n Ma.nh H`ung, TS Nguyˆe˜n Tro.ng To`an, TS Ngˆo H˜u.u Ph´uc, TS.e

Tˆo´ng Minh D- ´u.c, TS Lˆe D- `ınh So.n, TS Trˆa` n Nguyˆen Ngo.c v`a tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ˆo`ngnghiˆe.p trong Khoa Cˆong Nghˆe thˆong tin, HVKTQS, d¯˜a d¯ˆo.ng viˆen, kh´ıch lˆe.v`a c´o nh˜u.ng trao d¯ˆo˙’i h˜u.u ´ıch trong suˆo´t th`o.i gian nghiˆen c´u.u v`a cˆong t´ac.T´ac gia˙’ xin d¯u.o. c gu˙’ i l`. o.i ca˙’m o.n sˆau sˇa´c t´o.i GS TSKH Pha.m Thˆe´Long, Gi´am d¯ˆo´c Ho.c Viˆe.n KTQS, ngu.`o.i d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆe`u kiˆe.n vˆe` chuyˆen

mˆon c˜ung nhu thu˙’ tu.c h`anh ch´ınh d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o thˆe˙’ ho`an th`anh luˆa.n ´an n`ay

CHU.O.NG 1

B ` AI TO ´ AN QUY HOA CH LO ` I,ˆQUY HOA CH TOAN PHU` .O.NG V ` A H ` AM L ˆ ` I TH ˆ O O

Trong suˆo´t luˆa.n ´an n`ay, ta luˆon k´y hiˆe.u IRn l`a khˆong gian Euclide nchiˆ` u, A ∈ IRe n×n l`a ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng, λmin, λmax tu.o.ng ´u.ng,l`a c´ac gi´a tri riˆeng nho˙’ nhˆa´t, l´o.n nhˆa´t cu˙’a A, b ∈ IRn v`a

• f l`a h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t c´o da.ng

• ˜f := f + p d¯u.o. c go.i l`a h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i, go.i

tˇa´t l`a h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

1.1 B`ai to´an quy hoa.ch lˆo` i, quy hoa.ch to`an phu.o.ng

Trong mu.c n`ay, ch´ung tˆoi ph´at biˆe˙’u

• D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an quy hoa.ch lˆo`i

g0(x) → inf, x ∈ D

D = {x ∈ S | gi(x) ≤ 0, i = 1, , m}, (L)trong d¯´o gi : IRn → IR, i = 0, , m, l`a c´ac h`am h`am lˆ`i, S ⊂ IRo n l`a

tˆa.p lˆo`i

• D- i.nh l´y vˆe` d¯iˆe` u kiˆe.n tˆo`n ta.i nghiˆe.m tˆo´i u.u cho b`ai to´an quy hoa.ch to`anphu.o.ng

hM x, xi + hb, xi → inf, x ∈ D

D = {x ∈ IRn | hci, xi ≤ di, i = 1, , m},trong d¯´o M ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng, ci ∈ IRn, i = 1, , m

C´ac d¯i.nh l´y n`ay s˜e d¯u.o c mo.˙’ rˆo.ng trong c´ac chu.o.ng 2 v`a 3

1.2 H`am lˆ` i suy rˆo o.ng thˆo

Trong mu.c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay tˆo˙’ng quan vˆe` kh´ai niˆe.m h`am lˆo`i thˆov`a mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t quan tro.ng cu˙’a c´ac l´o.p h`am n`ay

g(xλi) ≤ (1 − λi)g(x0) + λig(x1) v´o.i i = 0, 1, , k,(hoˇa c

g(xλi) < (1 − λi)g(x0) + λig(x1) v´o.i i = 1, , k − 1)

D- i.nh ngh˜ıa 1.3.4 (H X Phu) Cho γ > 0, M ⊂ IRn, M 6= ∅, M d¯u.o. c go il`a γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i d¯ˆo thˆo γ nˆe´u x0, x1 ∈ M v`a kx0 − x1k > γ suy ra tˆ`n ta.io

z0 := x0, z1, , zk := x1 ∈ [x0, x1] ∩ M sao cho

kzi+1 − zik ≤ γ v´o.i i=0, 1, , k-1

D- i.nh ngh˜ıa 1.3.5 (H X Phu) D- iˆe˙’m x∗ ∈ D d¯u.o. c go i l`a

1) d¯iˆe˙’m γ-cu. c tiˆe˙’u cu˙’a g nˆe´u tˆ`n ta.i  > 0 sao cho g(xo ∗) ≤ g(x) v´o.i mo i

3) d¯iˆe˙’m inf imum to`an cu c cu˙’a g nˆe´u

lim inf

x→x ∗ g(x) = inf

x∈Dg(x)

T´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai d¯u.o. c chı˙’ ra bo˙’ i d¯i.nh l´y sau:.

D- i.nh l´y 1.3.7 (H X Phu) Nˆe´u g l`a γ-lˆo`i ngo`ai th`ı c´o c´ac t´ınh chˆa´t

(Mγ) Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-cu. c tiˆe˙’u x∗ cu˙’a g l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c.

(Iγ) Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-infimum x∗ cu˙’a g l`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c.

D- ˆo´i v´o.i h`am lˆo`i ngˇa.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` sau vˆe` t´ınh γ-lˆo`ingo`ai v`a lˆ`i ngo`o ai ngˇa.t

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.1 (H X Phu) Cho γ > 0, g : IRn → IR l`a h`am lˆ`i v`o a

|p(x)| ≤ h1(γ)/2 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i ngo`ai v`a nˆe´u

|p(x)| < h1(γ)/2 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı ˜g = g + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa t.

tˆ`n ta.i tˆa.p d¯´ong Λ ⊂ [0, 1] v`a ch´u.a {0, 1} sao choo

[x0, x1] ⊂ {xλ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ (1.4.4)v`a

∀λ ∈ Λ : g(xλ) ≤ (1 − λ)g(x0) + λg(x1) (1.4.5)

D- i.nh ngh˜ıa 1.4.7 (H X Phu) Tˆa.p S ⊂ X d¯u.o c go.i l`a Γ-lˆo`i ngo`ai nˆe´u v´o.i

mo i x0, x1 ∈ S

[x0, x1] ⊂ ([x0, x1] ∩ S) + 0.5Γ,t´u.c l`a tˆ`n ta.i Λ ⊂ [0, 1] sao choo

tˆa p Γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i Γ = B × IR

D- i.nh ngh˜ıa 1.4.8 (H X Phu) Cho g : D → IR D- iˆe˙’m x∗

∈ D go.i l`a d¯iˆe˙’mΓ-cu. c tiˆe˙’u cu˙’a g nˆe´u

g(x∗) = inf

x∈(x ∗ +Γ)∩Dg(x)v`a go i l`a Γ-infimum cu˙’a g nˆe´u

lim inf

x∈X, x→x ∗g(x) = inf

x∈(x∗Γ)∩Dg(x)

T´ınh chˆa´t tˆo´i u.u quan tro.ng cu˙’a h`am Γ-lˆo`i ngo`ai l`a d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 1.4.9 (H X Phu) Gia˙’ su.˙’ 0 l`a d¯iˆe˙’m trong cu˙’a tˆa.p Γ v`a g : D → IRl`a h`am Γ-lˆ`i ngo`o ai Khi d¯´o

D- i.nh ngh˜ıa 1.5.9 (H X Phu) H`am g : D ⊂ IRn

→ IR go.i l`a h`am γ-lˆo`itrong (hoˇa c γ-lˆ`i trong ngˇo a t) trˆen D v´o.i d¯ˆo thˆo γ > 0, nˆe´u tˆ`n ta.i d¯ˆo tinho

cˆo´ d¯i.nh ν ∈]0, 1] sao cho

v´o.i mo i x0, x1 ∈ D tho˙’a m˜an kx0 − x1k = νγv`a x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D,th`ı

sup

λ∈[2,1+1/ν]

g((1 − λ)x0 + λx1) − (1 − λ)g(x0) − λg(x1)



≥ 0,(hoˇa c

sup

λ∈[2,1+1/ν]

g((1 − λ)x0 + λx1) − (1 − λ)g(x0) − λg(x1)



> 0,tu.o.ng ´u.ng)

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5.6 (H X Phu) Gia˙’ su.˙’ g : D → IR l`a γ-lˆ`i trong v´o o.i d¯ˆo tinh

ν Nˆe´u x1 ∈ D l`a d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i cu˙’a g th`ı mo i d¯iˆe˙’m x0 tho˙’a m˜an

kx0 − x1k = νγ, x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D

c˜ung l`a d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i cu˙’a g trˆen D

D- i.nh l´y 1.5.10 (H X Phu) Cho D ⊂ IRn l`a tˆa p lˆ`i, gi´o o.i nˆo i v`a g : D → IRl`a h`am γ-lˆ`i trong Nˆe´u g c´o o d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i th`ı c´o ´ıt nhˆa´t mˆo t d¯iˆe˙’m cu. c d¯a il`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

D- i.nh l´y 1.5.11 (H X Phu) Cho g : D → IR l`a h`am γ-lˆo`i trong ngˇa.t Nˆe´u

g d¯a t cu c d. ¯a i trˆen D th`ı d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i l`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay chı˙’ ra t´ınh γ-lˆ`i trong cu˙’a h`o am lˆ`i ngˇo a.t bi nhiˆe˜u gi´o.i

nˆo.i

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5.7 (H X Phu) Cho g : IRn → IR l`a h`am lˆ`i v`o a

x0,x1∈D, kx 0 −x 1 k=γ,−x 0 +2x1∈D g(x0) − 2g(x1) + g(−x0 + 2x1)
> 0v`a γ > 0 Khi d¯´o, nˆe´u h`am nhiˆe˜u p tho˙’a m˜an

|p(x)| ≤ h2(γ)/4 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i trong v`a nˆe´u

|p(x)| < h2(γ)/4 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i trong ngˇa t.

2.1 T´ınh γ-lˆ` i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

Mˆe.nh d¯ˆe` quan tro.ng vˆe` t´ınh γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u ph´at biˆe˙’u nhu.sau:

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11 X´et h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

2.2 D- iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c v`a infimum to`an cu c

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.14 X´et h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o

(a) Nˆe´u x∗ ∈ D l`a d¯iˆe˙’m γ- cu. c tiˆe˙’u cu˙’a ˜f = f + p v´o.i γ ≥ γ∗, th`ı x∗ ∈ Dl`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c cu˙’a f = f + p.˜

(b) Nˆe´u x∗ l`a d¯iˆe˙’m γ-infimum cu˙’a ˜f = f + p v´o.i γ ≥ γ∗ th`ı x∗ l`a d¯iˆe˙’minfimum to`an cu c cu˙’a f = f + p.˜

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.15 K´y hiˆe.u arg min ˜f l`a tˆa p c´ac d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c cu˙’ah`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a t bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o

k˜x1 − ˜x2k ≤ γ∗ v´o.i mo i ˜x1, ˜x2 ∈ arg min ˜f ,t´u.c l`a

diam(arg min ˜f ) ≤ γ∗

2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c

Trong mu.c n`ay, ch´ung tˆoi nghiˆen c´u.u t´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimumto`an cu.c v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an( ˜P ) theo s

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.3.16 Nˆe´u ˜x∗1, ˜x∗2 l`a hai d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c bˆa´t k`y cu˙’a B`aito´an ( ˜P ) th`ı

k˜x∗1 − ˜x∗2k ≤ γ∗

D- i.nh l´y 2.3.13 Nˆe´u ˜x∗ ∈ D l`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c bˆa´t k`y cu˙’a B`ai to´an( ˜P ) v`a x∗ l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu˙’a B`ai to´an (P ), th`ı

k˜x∗ − x∗k ≤ γ∗/2

2.4 T´ınh chˆa´t tu. a v`a d¯iˆ` u kiˆe e.n tˆo´i u.u cu˙’a B`ai to´an ( ˜P )

Trong mu.c n`ay, ch´ung tˆoi nghiˆen c´u.u t´ınh chˆa´t tu a suy rˆo.ng cu˙’a h`am

˜

f = f + p, D- i.nh l´y Kuhn-Tucker suy rˆo.ng cho B`ai to´an ( ˜P )

D- i.nh l´y vˆe` t´ınh chˆa´t tu. a suy rˆo.ng cu˙’a h`am to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.t v´o.inhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p, d¯u.o. c H X Phu chı˙’ ra nhu sau:

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.4.17 Cho D = IRn Khi d¯´o v´o.i x∗ ∈ IRn v`a  > 0 th`ı

inf

x 0 ∈B(x ∗ ,γ ∗ /2+)

˜

f (x0) − h2Ax∗+ b, x0i
≤ ˜f (x) − h2Ax∗+ b, xi v´o.i mo i x ∈ IRn,

D- ˇa.c biˆe.t, nˆe´u p l`a nu.˙’a liˆen tu.c du.´o.i th`ı