Bài tập điều kiện môn: Xử lý tín hiệu số docx

Câu 4: Trình bày các bộ lọc số lý tưởng, xác ñịnh ñáp ứng xung của các bộ lọc số lý tưởng pha 0, cách tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phương pháp cửa sổ, cho một ví dụ minh h

BÀI TẬP ðIỀU KIỆN Môn : XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

CÂU HỎI

Câu 1: Trình bày sự hiểu biết của Anh/ Chị về phép chập (Convolution) và phép

tương quan (Conrrelation) Nêu cách xây dựng, ý nghĩa., phương pháp thực hiện, so sánh giữa ghép chập và ghép tương quan

Câu 2: Hãy trình bày về biến ñổi Z xuôi ngược Nêu các xây dựng hàm truyền ñạt hệ

thố trong miền Z, tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z

Câu 4: Trình bày các bộ lọc số lý tưởng, xác ñịnh ñáp ứng xung của các bộ lọc số lý

tưởng pha 0, cách tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phương pháp cửa sổ, cho một ví dụ minh họa

BÀI GIẢI

CÂU I

I Khái niệm hệ thống tuyến tính bất biến

Một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung ñơn vị như sau:

Hệ thống thời gian rời rạc là một thiết bị (device) hay là một toán thuật (algorithm)

mà nó tác ñộng lên một tín hiệu vào (dãy vào) ñể cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra) theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào ñó ðịnh nghĩa theo toán học, ñó là một phép biến ñổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n)

Tín hiệu vào ñược gọi là tác ñộng hay kích thích (excitation), tín hiệu ra ñược gọi là ñáp ứng (response) Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và ñáp ứng ñược gọi là quan hệ vào ra của hệ thống.

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI: Linear Time-Invariant System) là

hệ thống thỏa mãn ñồng thời hai tính chất tuyến tính và bất biến Một hệ tuyến tính là bất biến

theo thời gian nếu tín hiệu vào bị dịch ñi k mẫu thì tín hiệu ra cũng bị dịch ñi k mẫu

Gọi T là một hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn ở phương trình (1) và phương trình (2), ta có thể viết:

II Phép chập

Phép chập của hai dãy x1(n) và x2(n) bất kỳ, ký hiệu: * (dấu hoa thị), ñược ñịnh nghĩa

bởi biểu thức sau:

Phương trình (6) ñược viết lại: y(n) = x(n)*h(n) (8)

Vậy ñáp ứng ra của một hệ thống tuyến tính bất biến (TTBB) sẽ bằng dãy vào chập với ñáp ứng xung

n = 2 …Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính ñến giá trị n = ∞

ðối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt

Tập hợp các giá trị tìm ñược ta có kết quả phép chập y(n) cần tìm

ðể dễ dàng trong việc tính toán người ta ñưa ra nhiều phương pháp tính phép chập, trong ñó có phương pháp ñồ thị

Trước tiên, ñể dễ dàng tìm dãy x2(n–k), ta có thể viết lại:

x2 (n–k) = x2 [–(k – n)] (9)

Từ phương trình (9), ta thấy, nếu n>0, ñể có x2(n–k) ta dịch x2(-k) sang phải n mẫu, ngược lại, nếu n<0 ta dịch x2(-k) sang trái |n| mẫu Từ nhận xét này, ta có thể ñề ra một qui trình tính phép chập của hai dãy, với từng giá trị của n, bằng ñồ thị như sau:

Các bước tính phép chập bằng ñồ thị:

Bước 1: ðổi biến n thành biến k, x(n) -> x(k), h(n) -> h(k), cố ñịnh h(k)

Bước 2: Quay h(k) ñối xứng qua trục tung ñể thu ñược h(–k), tức h(0–k) ứng với n=0

Bước 3: Dịch chuyển h(–k) theo từng giá trị n, nếu n>0 dịch chuyển về bên phải, nếu

n<0 dịch chuyển về phía trái, ta thu ñược h(n - k)

Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k).h(n - k) theo từng mẫu ñối với tất cả các giá trị của k

Bước 5: Cộng các giá trị thu ñược ta có một giá trị của y(n), tổng hợp các kết quả ta có

dãy y(n) cần tìm

Lưu ý: Ta có thể cố ñịnh h(k) rồi lấy ñối xứng x(k) qua trục tung rồi tiến hành các

bước như trên, kết quả sẽ không thay ñổi do phép chập có tính chất giao hoán

b Các tính chất của phép chập

Nếu ta có hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau thì ñáp ứng xung của hệ thống tổng quát

sẽ là chập của ñáp ứng xung của các hệ thống thành phần

III Tương quan tín hiệu:

Tương quan của hai tín hiệu là một thuật toán ño lường mức ñộ giống nhau giữa hai tín hiệu ñó Phép tương quan thường dùng ñể so sánh nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu với nhiễu, phát hiện vật thể Nó ñược ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như radar, sonar, thông tin số, …

Ví dụ như trong lĩnh vực radar, radar phát ra tín hiệu ñể tìm mục tiêu là x(n), tín hiệu này sau khi va ñập vào mục tiêu (như máy bay chẳng hạn) sẽ phản xạ trở lại Radar thu lại tín hiệu phản xạ nhưng bị trễ một thời gian là D = n0Ts (Ts là chu kỳ lấy mẫu), tín hiệu thu ñược

sẽ bị suy giảm với hệ số suy giảm là a, tức là radar ñã thu lại ñược tín hiệu ax(n – n0) Ngoài tín hiệu phản xạ này còn có nhiễu cộng γ(n) Vậy tín hiệu radar thu ñược khi có mục tiêu là:

y(n) = ax(n – n0) + γ(n) Còn nếu không có mục tiêu trong không gian hoặc radar không phát hiện ñược mục tiêu thì radar chỉ thu ñược nhiễu cộng, khi ñó:

y(n) = γ(n)

So sánh hai tín hiệu x(n) và y(n) ta sẽ phát hiện ñược có mục tiêu hay không, và xác ñịnh ñược thời gian trễ D = n0Ts, từ ñó ta xác ñịnh ñược khoảng cách từ mục tiêu ñến radar

Có hai loại tương quan:

- Tương quan chéo (cross – correlation):

Xét 2 dãy x(n) và y(n), giả sử rằng ít nhất một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn, khi ñó tương quan chéo của x(n) và y(n) ñược ñịnh nghĩa như sau:

- Tự tương quan (auto – correlation):

Trong phép tương quan chéo khi x(n) ≡ y(n) ta có phép tự tương quan của tín hiệu x(n) với chính nó và ñược ñịnh nghĩa như sau:

Ta sẽ tìm hiểu cách thực hiện phép tương quan thông qua ví dụ sau:

Ví dụ : Hãy xác ñịnh chuỗi tương quan chéo R xy( )n của các chuỗi

- ðối với n>0, ta dịch y(n) sang phải n ñơn vị so với x(m), sau ñó tính tích

x(m)y(m –n)và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích

R = , R xy(6)= −3, R xy( ) 0n = n≥7

- ðối với n<0, ta dịch y(n) sang trái n ñơn vị so với x(m), tính tích x(m)y(m–n) và

lấy tổng theo tất cả giá trị của tích

Kết quả ta có:

( 1) 0

xy

R − = R xy( 2) 33− = R xy( 3)− = −14 R xy( 4) 36− =( 5) 19

Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan:

Xét 2 dãy có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), nghĩa là:

I Biến ñổi Z (ZT: Z TRANSFORM)

ðịnh nghĩa: Biến ñổi z của một dãy x(n) ñược ñịnh nghĩa như sau:

ðịnh nghĩa trên còn ñược gọi là biến ñổi z 2 phía

Ta sẽ có biến ñổi Z một phía nếu thay ñổi cận n chạy từ 0 ñến +∞:

Ở ñây ta phải thấy ñược z là một biến phức và ñược biểu diễn theo hai dạng:

+ Biểu diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z]

z = Re[z] + j.Im[z]

+ Biểu diễn theo tọa ñộ cực

(cos sin ) cos sin Re[ ] Im[ ]

Hình: Biểu diễn z trên mặt phẳng phức

- Trường hợp ñặc biệt: z = =r 1, ta có vòng tròn ñơn vị

2

n C

Biến ñổi Z ngược còn ñược ñịnh nghĩa là một thủ tục ñể biến ñổi từ miền z sang miền thời gian Về mặt toán học, biến ñổi Z ngược là một toán tử mà nó biến một hàm

X(z) thành dãy x(n)

Chú ý rằng, ta chỉ có thể xác ñịnh biến ñổi Z ngược của X(z) khi miền hội tụ của X(z) ñược xác ñịnh

Có 3 phương pháp ñể tìm tích phân ñường này:

1 Phương pháp thặng dư ñể tìm trực tiếp tích phân, cho chúng ta cách tìm cơ bản

2 Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến ñổi z ngược cơ bản

3 Khai triển thành các phân thức tối giản

b Phương pháp triển khai thành chuỗi lũy thừa:

Trong phương pháp này, ta khai triển biến ñổi z thành một chuỗi lũy thừa có dạng:

n n

( ) ( )( )

III Hàm truyền ñạt hệ thống trong miền Z

Trong miền thời gian rời rạc n, ta có quan hệ vào ra của hệ thống ñược thể hiện qua phép chập

y(n) = x(n) * h(n) Chúng ta cũng thấy ñược các khó khăn khi xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống trực tiếp bằng phép chập

Gọi X(z) và H(z) lần lượt là biến ñổi z của x(n) và h(n), áp dụng tính chất chập của biến ñổi Z, ta ñược biến ñổi Z của y(n) như sau:

Y(z) = X(z).H(z) , với một miền hội tụ thích hợp

Vậy, thông qua phép biến ñổi Z, phép chập của hai dãy ñã biến thành phép nhân ñơn giản Sau khi có ñược Y(z), ta dùng phép biến ñổi Z ngược ñể tính ñáp ứng y(n) ðây chính là một trong những ưu ñiểm của biến ñổi Z Cách làm này rõ ràng là dễ dàng hơn cách tính trực tiếp từ phép chập

Có thể ñược viết lại: ( ) ( )

H(z) ñược gọi là hàm hệ thống (System function) hay hàm truyền ñạt (Transfer function), (là biến ñổi z của ñáp ứng xung hay nó còn ñựơc xác ñịnh bằng tỷ số giữa biến ñổi

z của tín hiệu ra trên biến ñổi z của tín hiệu vào

H(z) là hàm truyền ñạt của hệ thống ñặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền z có vai trò tương tự như ñáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc

Vì H(z) và h(n) là một cặp duy nhất, nên một hệ thống LTI bất kỳ hoàn toàn có thể ñược ñặc tả bởi hàm hệ thống của nó

IV Tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z

- ðiều kiện ổn ñịnh trong miền z

Trong miền z một hệ thống ổn ñịnh sẽ phải thỏa mãn ñịnh lý sau:

ðịnh lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn ñịnh nếu và chỉ nếu tất cả các ñiểm cực của hàm truyền ñạt H(z) nằm bên trong vòng tròn ñơn vị (tức là chỉ cần một ñiểm cực nằm trên hoặc nằm ngoài vòng tròn ñơn vị là hệ thống mất ổn ñịnh)

- Tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury:

Theo tiêu chuẩn này việc xác ñịnh ổn ñịnh sẽ ñơn giản hơn vì ñối với hệ thống có bậc cao, tức là số ñiểm cực nhiều thì việc xác ñịnh các ñiểm cực gặp nhiều khó khăn Sau ñây chúng ta sẽ xem xét tiêu chuẩn Jury:

Ta biết hàm truyền ñạt của hệ thống ñược biểu diễn như sau:

0

1

( )1

∑

∑

M r r r N k k k

Từ các hệ số của D(z) chúng ta lập bảng Jury có 2N – 3 hàng bằng cách sau:

Công thức tính:

Sau khi lập xong 2N – 3 hàng như vậy, ta có tiêu chuẩn

Một hệ thống là ổn ñịnh nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây ñược thỏa mãn:

Chỉ cần một trong ba ựiều kiện trong không thỏa mãn là hệ thống không ổn ựịnh

CÂU IV

Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tắn hiệu theo các chỉ tiêu ựã cho ựược gọi là bộ lọc số

Các thao tác của xử lý dùng ựể biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của

một tắn hiệu theo các chỉ tiêu ựã cho nhờ một hệ thống số ựược gọi là sự lọc số

I Các bộ lọc số lý tưởng

Các bộ lọc số lý tưởng bao gồm bộ lọc số thông thấp, bộ lọc số thông cao, bộ lọc số thông dải, bộ lọc số chắn dải Việc ựịnh nghĩa các bộ lọc số lý tưởng sẽ dựa vào ựáp ứng biên

ựộ tần số ( jw)

H e mà không cần quan tâm ựến pha

a Bộ lọc thông thấp lý tưởng (Low pass Filter)

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc thông thấp lý tưởng ựược ựịnh nghĩa như sau:

Sau ựây ta sẽ xác ựịnh ựáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp pha 0

Vắ dụ: Cho ựáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không θ ω( ( ) 0)= :

sin

( )33

b Bộ lọc thông cao lý tưởng (High pass Filter)

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc thông cao lý tưởng ựược ựịnh nghĩa như sau:

c j

0

c j

Như vậy, ựáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha 0 bằng ựáp ứng xung của bộ lọc thông tất trừ ựi ựáp ứng xung bộ lọc thông thấp với ựiều kiện pha 0

hHp(n) = hAp(n) Ờ hLp(n) High pass = All pass Ờ Low pass (Thông cao = Thông tất Ờ Thông thấp)

c Bộ lọc thông dải lý tưởng (Band pass Filter)

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc thông dải lý tưởng ựược ựịnh nghĩa như sau:

(Thông dải = Thông tất Ờ Thông thấp Ờ Thông cao)

d Bộ lọc thông chắn dải lý tưởng (Band stop Filter)

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng ựược ựịnh nghĩa như sau:

Ta thấy: hBs(n) = hLp(n) + hHp(n) (Chắn dải = Thông thấp + Thông cao)

II Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc số thực tế ựược thể hiện như hình sau:

Hình: đáp ứng biên ựộ của bộ lọc số thực tế thông thấp và các tham số

Lưu ý, ở ựây ta lấy bộ lọc thông thấp làm vắ dụ (các bộ lọc khác cũng tương tự) và thể hiện ựáp ứng biên ựộ của nó trong dải từ 0 ựến π, dải từ -π ựến 0 lấy ựối xứng tương tự sang

Có 4 tham số quyết ựịnh chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số là:

+ Tần số giới hạn dải thông ωP + độ gợn sóng dải thông δ1

+ Tần số giới hạn dải chắn ωS + độ gợn sóng dải chắn δ2

Về mặt lý tưởng các ựộ gợn sóng dải thông, dải chắn càng nhỏ càng tốt, tần số giới hạn dải thông và dải chắn càng gần nhau ựể cho dải quá ựộ càng nhỏ càng tốt Tuy nhiên trên thực

tế ựây là các tham số nghịch nhau (ựộ gợn sóng nhỏ thì dải quá ựộ phải lớn và ngược lại) nên việc giải quyết bài toán cho các tham số cùng nhỏ gặp nhiều khó khăn, ta phải áp dụng tắnh tối

ưu với từng yêu cầu cụ thể của bài toán thiết kế bộ lọc

III Tổng hợp bộ lọc số FIR theo phương pháp cửa sổ

Mục tiêu chắnh của phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn ựể tổng hợp bộ lọc số FIR sao cho thực hiện ựược về mặt vật lý, nghĩa là các ựáp ứng xung phải có chiều dài hữu hạn và nhân quả

Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR ựược thực hiện qua các bước sau:

- đưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ1, δ2, ωp, ωs trong miền tần số ω

- Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, nghĩa là xác ựịnh w(n) N

- Chọn loại bộ lọc số lý tưởng (thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải) tức là chọn h(n)

- để hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n): w(n) N h(n) = h d (n)

Chiều dài L w n[ ( )N]=N, L h n[ ( )]= ∞, nên L h n[ d( )]=N

Sau bước này tìm ựược h d (n) tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng hệ số này có ựáp ứng ựược các chỉ tiêu kỹ thuật ựặt ra hay không thì phải thử lại

- Thử lại xem có thỏa mãn δ1, δ2, ωp, ωs hay không bằng cách chuyển sang miền tần số

0 nên ta biến ñổi tiếp:

Hình dưới ñây biểu diễn ( )j

ðối với cửa sổ chữ nhật ta có:

- Bề rộng ñỉnh trung tâm 4

R

N

πω

- Chất lượng của cửa sổ sẽ ñược ñánh giá là tốt nếu 2 tham số bề rộng ñỉnh trung tâm

∆ω và tỷ số biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên ñỉnh trung tâm λ cùng nhỏ

- Bề rộng ñỉnh trung tâm ∆ω nhỏ thì dải quá ñộ giữa dải thông và dải chắn của bộ lọc

ðể ñánh giá cửa sổ có tính ñến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người ta còn dùng tham số sau:

j N

 Từ ñó ta có cửa sổ chữ nhật với N=7 như sau:

Sau ñây ta sẽ xem xét ñồ thị biểu diễn ( 0)

( )

s

j N j

j N

Nhận xét: Khi chiều dài cửa sổ N tăng lên thì tham số tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh thứ cấp

thứ nhất trên biên ñộ ñỉnh trung tâm λ là không ñổi ñều bằng -13db, chỉ có các búp là hẹp ñi, tức là bề rộng ñỉnh trung tâm sẽ nhỏ ñi khi ta tăng chiều dài N của cửa sổ, ñiều này dẫn ñến chất lượng của cửa sổ sẽ tăng lên

2 Phương pháp cửa sổ Bartlett (tam giác):

ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Bartlett ñược ñịnh nghĩa như sau:

T

n

n n

+ λT ≈ −26dB

Khi dùng cửa sổ tam giác hiện tượng Gibbs giảm ñi rất nhiều so với dùng cửa sổ chữ nhật vì λT < λR, nhưng dải quá ñộ lại lớn hơn cửa sổ chữ nhật ∆Tω > ∆Rω

3 Cửa sổ Hanning và Hamming:

ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming ñược ñịnh nghĩa như sau:

Phân loại khác nhau theo hệ số α ta ñược:

- với α = 0,5: cửa sổ Hanning :

4 Phương pháp cửa sổ Blackman:

ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Blackman ñược ñịnh nghĩa như sau:

1 2 0

1

N

m m

1 Với các hệ số trên ñây chính là cửa sổ Hanning w Han( )n N

2 Với các hệ số trên ñây chính là cửa sổ Hamming w Ham( )n N

3 Ta có ñây là bộ tham số thông dụng nhất của cửa sổ Blackman

5 Phương pháp cửa sổ Kaiser:

ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Kaiser ñược ñịnh nghĩa như sau:

2 0

1

1( ) 1

Trong cửa sổ Kaiser ta có thể thay ñổi tham số β ñể thay ñổi tỷ lệ giữa λK và ∆ωK Cửa sổ Kaiser là một cửa sổ gần tối ưu, tuy nhiên vì biểu thức ñại số của cửa sổ này khác phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng nó cũng có hạn chế

Các tham số quan trọng của một số hàm cửa sổ

Một số hàm cửa sổ ñể tổng hợp bộ lọc FIR