+ SG cắt mpABCD tại tâm O của hình bình hành ABCD.. Gọi K là trung điểm của SG.. Từ K dựng mặt phẳng song song với mpABCD cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Từ N dựng mặt phẳng
Trang 1
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006
Đề thi chính thức
Môn : TOÁN ( Vòng 2)
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
6,0
+ Biểu thức lgx xác định khi x > 0
+ Nếu x là nghiệm thì : x = [
2
x
] + [ 3
2x
]- [ 6
x ] - [lg x ] nên x là số nguyên dương
1,0 1,0 + Đặt x = 6q + r ,với q và r là các số tự nhiên , 0 r 5
[
2
x
] + [
3
2x
] - [ 6
x
] = [ 3q +
2
r
]+ [4q+
3
2r
] – [q+
6
r
]= 6q + [
2
r
]+ [ 3
2r
]- [ 6
r
]
Phương trình trở thành : 6q + r = 6q +[
2
r
]+[
3
2r
]-[
6
r
] -[lgx]
[lg x ]= [
2
r
]+ [ 3
2r
]- [ 6
r
] - r với r{0;1;2;3;4;5}
2,0
1
+ Ta có : [
2
r
]+[
3
2r
]-[
6
r
]-r =
5
; 4
; 3
; 2
; 0 0
1 1
r khi
r khi
+Do x 1 nên [lgx] 0 Không xét trường hợp r=1
Với r 1,ta có : [lgx]= 0 0 lgx < 1 1 x < 10
Ta chọn các số nguyên x thoả 1 x < 10 và x chia cho 6 có dư số khác 1
Nghiệm của phương trình : x{2;3;4;5;6;8;9}
1,0
1,0
7,0
2
Câu 1/ (Hình vẽ ở trang cuối)
+ Q =
MG
NG NG
MG
2 Dấu bằng khi và chỉ khi :
NG
MG
=
MG
NG
= 1 + SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD Gọi K là trung điểm của
SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại
A1 ,B1 ,C1 ,D1 Từ N dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SG tại N’
Ta có:
MG
NG
=
OG
G
N '
;
MG
NG
=1 N’trùng K N thuộc cạnh hình bình hành
A1B1C1D1
Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1B1C1D1 tại P, ta có : PM // SG
+ Từ đó : Q=2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành 1'
' 1 ' 1 '
1B C D A
' 1 ' 1
'
1
'
1B C D
A là hình chiếu song song củahình bình hành A1B1C1D1 lên mp(ABCD)
theo phương SG
1,0 1,0
1,0
Trang 2Câu 2/
+Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác OAB,OBC,OCD,ODA
M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác này Chẳng hạn M thuộc miền OAB MA NC’; MB ND’; MO NS
Do đó N thuộc miền SC’D’ và N’ thuộc đoạn SH ,với C’,D’ và H lần lượt là trung điểm của SC,SD và SO
Do đó : HG N’G SG Vì vậy :
OG
HG
OG
G
N '
OG
SG
hay 2
1
MG
NG
2
2,0
+ Đặt x =
MG
NG
Ta có : Q =
x
1
+ x với x [
2
1;2]
Q’= 0 và x(
2
1
;2) x = 1 MaxQ = Max{Q(
2
1);Q(2);Q(1)}=
2
5
+ Giá trị lớn nhất của Q là :
2
5 Đạt khi M trùng với O hoặc các đỉnh A,B,C,D
1,0
1,0
7,0
+ Điều kiện a/ cho thấy bậc của P(x) n ,điều kiện b/ cho thấy bậc của P(x) n
Vậy bậc của P(x) là n P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0
với (a0, a1, ., an) là một hoán vị của {0,1, ,n} và an 0
+ Ta có : x > 0 P(x) > 0 Do đó mọi nghiệm xi của P(x) đều không dương
+ Với n=1 ,ta có đa thức duy nhất thoả bài toán : P(x) = 1.x + 0
1,0
1,0 1,0
3
+ Với n=2 ,nếu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoả bài toán thì theo định lí Víet :
x
1 + x
2 = -2
1
a
a
; x
1.x
2 = 2
0
a
a
trong đó :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a2 0
Do x
1 0 , x2 0 , x1 x2 nên , a
1 0 .Suy ra : a0= 0 Các đa thức : P(x) = 1.x2 + 2.x + 0 , P(x) = 2.x2 + 1.x + 0 thoả bài toán
+ Với n=3 ,nếu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoả bài toán thì theo định lí Víet :
x
1 + x
2 + x
3 = -3
2
a
a ; x
1x
2 +x
2x
3 + x
3x
1 = 3
1
a
a ; x
1x
2x
2 = -3
0
a
a trong đó : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a3 0
Do x
1 0 , x2 0 ,x3 0, x1 x2 x
1 x3 x
2 x3 nên a
1 0 và a2 0 Suy ra: a0= 0
Ta có :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, 4 3 1 0
2
2 a a
a
Các đa thức : P(x)=1.x3+3.x2+2.x+0 , P(x)=2x3+3x2+1.x+0 thoả bài toán
1,0
1,0
Trang 3+ Với n>3,nếu P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 thoả bài toán thì theo định lí
Víet :
n
n n
n
n n
n n
n
n
n n
a
a x
x x
a
a x
x x x
x x x x x
a
a x x
x
0 2
1
1 1 2
1 3
2 1 2 1
1 2
1
) 1 (
) 1 (
với (a0, a1, ,an) là một hoán vị của {0,1, ,n} và an 0 Do các x i không dương và khác nhau đôi một nên phải có a 0= 0 Vậy P(x) có một nghiệm bằng 0 và n-1 nghiệm còn lại khác nhau đôi một và đều âm Có thể giả sử xn= 0 Lúc đó x1 , x2 , , xn-1 là các nghiệm âm của : Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 + + a2x +a1 với (a1,a2, , an) là một hoán vị của{1,2, ,n},an0 Đặt u i = - xi (i=1,2, ,n-1) Ta có ui > 0 và : u1+ u2+ + un-1= n n a a 1 (1) ; u1u2 un-2+ u2u3 un-1+ + un-1u1 un-3 = n a a2 (2) u1u2 un-1 = n a a1 (3) Từ (2) và (3) cho : 1 1 u + 2 1 u + + 1
1 u = 1 2 a a (4) Theo bất đẳng thức Côsi : (u 1+ u 2+ + u n-1)( 1 1 u + 2 1 u + + 1
1
u ) (n-1) 2 Dùng (1) và (4) suy ra :
n
n
a
1
2
a
a
(n-1) 2 Nhưng
n
n
a
1
2
a
a
2 1
) 1 ( n n
nên :
(n-1) 2
2 1
) 1 ( n n
n 2 , mâu thuẩn với n > 3 Các đa thức thoả bài toán :
P(x) = x , P(x) = x2 + 2x , P(x) = 2x2 + x , P(x) = x3+3x2+2x , P(x) = 2x3+3x2+x
2,0
D'
G
N' N
M O
D
A s
Hình vẽ bài 2