Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào... Đường phân giác trong của góc · BIC cắt cạnh BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF t
Trang 1-
Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA CHỌN
HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Tổ Toán Tin MÔN TOÁN (
Năm học 2009-2010 )
- - ( Thời gian
làm bài 180 phút )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: ( 3 điểm )
a) Một trường học có 20 học sinh xuất sắc, trong đó có 5
cặp sinh đôi Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự
trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
b) Cho n là một số nguyên dương với n 2 Chứng minh
rằng:
1 2 2 2 3 2 4 2 2
Câu 2: ( 2 điểm )
Trang 2-
Cho dãy số un xác định như sau 1 2
¥
Hãy xác định số hạng tổng quát un và tính tổng u1 u2 un
Câu 3: ( 3 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
1
a b c
Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 3 3
2
b c c a a b
Câu 4: ( 4 điểm )
Tìm tham số m để phương trình
sin cos 1 tan cot
2
x
Câu 5: ( 4 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác đó tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các
điểm D, E, F Đường phân giác trong của góc · BIC cắt cạnh
BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF tại điểm P
a) Chứng minh rằng DP là phân giác của góc EDF ·
b) Chứng minh bất đẳng thức 1 2
4 2
DP DE DF EF
Câu 6: ( 4 điểm )
Trang 3-
Cho tứ diện SABC với SA a SB , b SC , c Một mặt phẳng
thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA,
SB, SC lần lượt tại các điểm D, E, F
a) Chứng minh đẳng thức a b c 4
SD SE SF
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 12 12 12
-