Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán tỉnh Thừa THiên Huế năm 2007 - 2008 ppsx

1 Bài 4 NỘI DUNG ĐIỂM Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau.. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Môn : TOÁN

Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM

(3đ) Giải phương trình: sin3x c os4x1 (x¡ )

Viết lại: sin3xcos4x 1 sin3xcos4xsin2xcos2x

2   2  2 

sin x 1 sinx cos x 1 cos x 0 (*)

0,5

sin x 1 sin x 0 và 2  2 

cos x 1 cos x  0

sin x 1 sin x 0 và 2  2 

cos x 1 cos x  0

1

Nghiệm của phương trình đã cho là : x = k ; x =

2



NỘI DUNG ĐIỂM

Bài 2

(4đ)

Giải bất phương trình :

3x x    2 3x ( x ¡ ) a) Ta có: 2+3x 3 1=1+1+3x 3 1  331.1.3x 3 1=

3 2 3

3

x 

(BĐT Côsi,  x  ¡ ) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1

1,0

Ta sẽ chứng tỏ với x 1 thì: 33x x 21 < 2 + 3x 3 1 (1) 0,5

Ta có: 2+ 3 1

3x  >

3 2 3

3

x 

(câu a/ và x  1 ) và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5)

0,5

Với mọi x  5 và x  1 thì 33x x 21 

3 2 3

3

x 

< 2 + 3x 3 1 Với x  5 thì 33x x 21 < 30 < 2 + 3x 3 1

0,5

Vậy bất phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x = 1 0.5

Bài 3 NỘI DUNG Điểm

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:

(3x214x14)24(3x7)(x1)(x2)(x4)m

(4đ)

f x  x x x x  x  x và

g x  x  x  x f x g(x) là đa thức bậc 4 với hệ số của x4 là -3 Ta lập bảng biến thiên của g(x)

1

 2     

g x  x x x

(1) 9; (2) 4; (4) 36 g  g  g  x - 1 2 4 +

g’(x) + 0 - 0 + 0

-g(x) 36

9

4

- -

2 Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình g x( )m có một số lẻ nghiệm khi và chỉ khi: m4;m9;m36 1 Bài 4 NỘI DUNG ĐIỂM Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ :

A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0) Ta có : ; 2 3 3 p q s G    )

và p2+q2 = r2+s2 (2)

1 Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC khi và chỉ khi y G 0q2s (3) 0 0,5 Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Do đó : tgB + tgC = 2tgA  tgB.tgC = 3 (4)

1 Ta có: tgB =q s p r   ; tgC = q s p r    ; tgB.tgC = 2 2 2 (q s) r p   = 2 2 2 (q s) q s   (do(2)) Hay: tgB.tgC = q s q s   (5)

1 (4,5đ) Nếu GH//BC thì từ (3) cho q = 2s Từ (5) suy ra tgB.tgC = 3 Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA

0,5

Nếu tgB + tgC = 2tgA thì từ (4) và (5) cho q = 2s Do (3) mà GH//BC 0,5

BÀI 5 NỘI DUNG ĐIỂM

Câu a

    (*) với a, b  0 và a + b 

4 5

r

q y

- r

- s

p

x

C A

B

O

Bình phương các vế của (*) ta được:

2(1 )

1

ab

ab a b



   + 2 1 ( )

1

ab a b

  

1

a b

a b

 

 

1

u v

u v

 

-1 1

v v



(2 )



   (với u = ab; v = a + b)

0,5

 1

1

 

  - 1

1

v v



 



uv



Nếu u = ab = 0 thì (*) có dấu đẳng thức

0,5

Xét u >0 Lúc đó (*) đúng khi bất đẳng thức:

2

2

v

v

 

1 1

u v

u v

 

  +

1 1

v v



 (**) đúng

Ta có: 1

1

u v

u v

 

  +

1 1

v v



 > 2

1 1

v v



 = 2

2 1

1 v

 

  2

2 1 4 1 5

 



= 2

3

Ngoài ra: 2

2

v v

 =

2 2 1

v

<2

3 (Do 0 < v = a + b 

4 5

< 1 ) Từ đó (**) là bất

đẳng thức đúng

0,5

Xét các số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 1 1 1

S

Tìm MinS :

Từ x + y + z = 1 và x, y, z không âm, suy ra x, y, z thuộc đoạn [0;1]

1x 1x  1 x 1 nên: 1 (1 )2

1

x

x x



 

1

1 1

x

x x



 

thức xảy ra trong trường hợp x = 0 hoặc x = 1

0,5

        

Khi x = y = 0 và y = 1 thì S = 2

Vậy: MinS = 2

1

Tìm MaxS: Có thể giả sử: 0xy  Lúc đó: z 1 1; 2 4

Dùng câu a/, ta có:

S

1

 

1 1

z z



 =1 + 2

z z

1 1

z z





0,5

Câu b

(3đ)

Đặt h(z) =

2

z z

1 1

z z



 Ta tìm giá trị lớn nhất của h(z) trên đoạn

1

; 1 3

 

0,5

1 '( ) 0

2

h z   z axf(z)=Max h 1 ; (1); 1 2

M     h h  

S

Khi x = 0 và 1

2

y z thì 1 2

3

S   Vậy: MaxS = 1 + 2

3

0,5