Phép biến hình hợp thành của hai phép biến hình này là phép đồng dạng F'... 0,5 0,25 Để xác định quỹ tích của B: Ta chọn một điểm C trên O, dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM
(3đ)
a)
(1,5) Đặt t cosx sinx 2 cos x 4
, 2 t 2,
2
1 sin cos
2
t
t
t
2
t
(loại) hay 2 7
3
t
Do đó phương trình (*) chỉ có một nghiệm 2 7
3
t Suy ra phương trình (a) tương đương
, nên phương trình (a) chỉ có một
0,5
0,5
0,5
2
2
1
t
t
t
có một nghiệm duy nhất trong khoảng ;3
t arccos
Do đó để (1) có 2 nghiệm trong khoảng ;3
thì phương trình (2) có 2 nghiệm
2
1
t
t
0,5
0,5
Trang 2
2 2 2
2 1
1
t
t
Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm khi và chỉ khi:
t 2 -1 1 2
g'(t) + + +
2
g(t) 2
0,5 Bài 2 (3đ) a) (1,0)
Ta có: ·ABI arccot 2 BI 2 ·IAB arctan 2
Do đó: Qua phép quay tâm A, góc : điểm C biến thành điểm M và
3 2
uuur uuuur
nên M biến thành B qua phép vị tự tâm A tỉ số 3
2
k
Vậy: B là ảnh của C qua phép đồng dạng F tỉ 3
2
k
0,5
0,5 Quỹ tích của C là đường tròn (O), nên: Quỹ tích của B là ảnh của đường tròn (O)
qua phép đồng dạng F
0,25 b)
(2,0)
Tương tự, D là ảnh của C qua 2 phép biến hình liên tiếp: Phép quay tâm A, góc
và phép vị tự tâm A tỉ số 3
2
k Phép biến hình hợp thành của hai phép biến hình này là phép đồng dạng F'
Trang 3Vậy: D là ảnh của C qua phép đồng dạng F' tỉ 3
2
k
0,5 0,25
Để xác định quỹ tích của B:
Ta chọn một điểm C trên (O), dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL,
dựng đường tròn tâm I bán kính IL cắt trung trực đoạn AC tại B Dựng hình thoi
ABCD Dựng đường tròn tâm A bán kính AC cắt tia AB tại M
Để dựng ảnh của O là O' qua phép quay Q(A, ): Dựng trung điểm J của AO,
dựng hình vuông AJRS, dựng đường tròn tâm J bán kính JS cắt trung trực đoạn AO
tại P Dựng đường tròn tâm A bán kính AO cắt tia AP tại O' Qua B kẻ đường
thẳng song song với MO' cắt tia AP tại O"
Quỹ tích của B là đường tròn tâm O", bán kính R" = O"A
0,25
0,25 0,25 Quỹ tích của D là đường tròn (O"') đối xứng với (O") qua đường thẳng AO 0,25
Bài 3 (3đ)
2
2
2
log 3 3
4 log
x x
x
y y
0,5
a)
(1,5)
Đặt: ulog2x; vlog2 y hệ phương trình trở thành:
1
3
2
4 4
u v v
u v uv
u
u u v
u v
v v
(2)
Nếu u 0 thì v 0 trái với điều kiện Do đó u 0
Suy ra:
0,5
Trang 4
2
1
2
4
v
v u
u v
v
v
Do đóhệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
; 1; 2 , ; 8; 2 2
2
x y x y
0,5
b)
4
3
4
3 27
4 64
x x
4
27
4
3 27
64
4 64
x
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 27; 4
64
0,5 0,5
0,5
Bài 4 (2 đ)
Ta có: 4(k1) 1 4k144(k2) 1 4(k1) 1
Do đó:3, 7, 11, , (4k-1) lập thành một cấp số cộng có công sai d = 4
Suy ra:
2 (4 k1 1)(4k1)(4 k2 1)2 4k3 (4k1) (4 k7)
2k 2k 2k 2k 2k 2k
0,5
0,5
Suy ra:
u
4 7
2
n
u u
0,5
0,5
Bài 5 (3 đ)
a)
(1,5đ)
Các số cần tính tổng có dạng abcd với a b c, , 1, 2, 3, 4 , d2, 4
Ta có abcd 103a102b10cd abcd 103a102b10cd
Có tất cả: 4 4 4 2 128 số chẵn gồm 4 chữ số được viết từ 1, 2, 3, 4, trong đó:
mỗi chữ số a b c xuất hiện , , 4 4 2 32 lần
mỗi chữ số d xuất hiện 4 4 4 64 lần
Do đó: abc32 1 2 3 4 320 và d 64 2 4 384
0,25
0,5 0,5 0,25
Trang 5b)
(1,5) Ta có:
5
3
0
1 ( )
k k
f x x x a x x
x
0
n
k k
Suy ra:
12
3
x x C x x C x C x x
Số hạng không chứa x ứng với 6k600k10
Vậy số hạng không chứa x có hệ số là: 10
C
0,25 0,5
0,25
0,25 0,25
Bài 6 (3đ)
Thể tích nước chứa trong cốc là:
2 3 2
0,5
Khi thả viên bi vào thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu, tức là mặt nước tiếp xúc
với mặt cầu Gọi x là bán kính của viên bi, ta có: 4 3
3
C
V x Thể tích của khối nón chứa nước và quả cầu là:
2 3
R h
h
0,5
I
S
Trang 6
1
1
1
Rh x
h h
x
Rh
C
4
R R h Rh , ta tìm được bán kính của viên bi:
aR x
Suy ra:
4
3 3
Vậy: Để nước trong cốc dâng lên vừa phủ kín viên bi và không tràn ra ngoài thì:
3
3
3
4
4 0
a
Với điều kiện này, bán kính của viên bi là:
aR x
0,5 0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Trang 7Bài 7 (3 đ)
a)
(1,5)
·
SMO
3 tan 6
a
6
a
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mỗi cạnh bên của hình chóp có tâm I cách đều (ABC) và SA, nên I là giao điểm của tia phân giác góc SAO và SO, bán kính của mặt cầu là: rIO
IS AS OS
AO SA
2
3 tan
a
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 b)
(1,5)
Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và phấn giác
MT của góc SMO· , cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác cân ABN (N
là giao điểm của tia phân giác MI và SC)
Gọi H1 và H2 là hình chiếu của S và C xuống MI, ta có hai tam giác vuông SMH1 và CMH2 đồng dạng, nên:
1 2
1 3cos
Suy ra tỉ thể tích của hai hình tứ diện được cắt ra bởi thiết diện AMB là:
1 3cos
SABN
CABN
0,5
0,5
0,5
A
B
C S
O M
I H
K
L
A
B
C S
O M
I
N H
H