Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh ráp thành hình vuông, thì cạnh của hình vuông bằng 5 , bằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thước là 1 và 2 có diện
Trang 1UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo LỚP 9 THCS năm học 2008 - 2009
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
1.1
2
21 80 1 4 5 2 5 1 2 5
5 21 80 6 2 5 1 5
5 12
1
A
0,5
0,5
1,0
1.2
(2 đ)
x x x x Điều kiện để phương trình có nghĩa: x2 x 6 0
t x x t x x t t Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
t t t t t loại)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1,2 1 61
2
0,25 0,5
0,5 0,5 0,25
m x m x x m
0,5 0,5 0,25
2.2 Ta có:
2
2
Trang 2Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (b) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tương đương với:
1 1
(1) 0
m m
g
m
(*)
Với điều kiện (*), phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x1 và x2 (x1 < x2 ) là nghiệm của (b)
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x1 < x2 <0, tương đương với:
1 2
1 2
1 0
1
1 4
0 1
m
P x x
m
m
m
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta có: Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong
đó có hai nghiệm âm thì cần và đủ là: 1 1 1
m hay m
0,25
0,50
0,25
0,25
3.1 Ta có:
2
0, , 4
a b
a b
2
2
2
a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi ab
0,25
0,25
0,25
0,25 Theo kết quả câu 3.1, ta có:
a b c2 ab c 24a b c
mà a b c 1 (giả thiết) nên: 1 4 a b c b c 4a b c 2 (vì a, b, c không âm nên b + c không âm)
Nhưng: 2
4
b c bc (không âm) Suy ra: b c 16abc
0,25
0,25 0,25 0,25 0,50
3.2 Ta có:
Trang 3 2 2 2 2 2 2
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
4
Suy ra: 1 3sin2 cos2 1 3 1
Do đó: min 1
4
P khi và chỉ khi: sin2 cos2 sin cos (vì là góc
0,25
0,25 0,25
0,5
và AE = AF (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó:
Theo định lí Pytago:
BC AB AC
0,5
0,5 0,5
4.1.b Gọi r là bán kính, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
ABC
S AB AC BC r CA r AB r xyz r (b)
Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật
Nhưng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông,
Do đó: zEI r (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra: AB AC 2xyAB AC 2DB DC
0,5
0,5 0,5
4.2 + Theo giả thiết: AM 2MC và AN 2NC
Suy ra:
//
+ Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét,
3
EB EC BC
Gọi BK là đường cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có:
1
1 2
ABC
BCM
AC BK
0,5
0,5
1,0
Trang 43 5 5
BEC
BMC
Vậy:
2 5 4
ABC
a
0,5
0,5
5.1 + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là x 1 thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30)
+ Do đó ta có phương trình: 1 22 1 22 1 22 23
x
0,25 0,25
0,5 + Vì x và y đều là số nguyên dương, nên x 1 phải là ước số của 23
Mà 23 nguyên tố, nên: x 1 1 x2 hoặc x 1 23x24
Nếu x 2 thì y 22 23 4530 (trái giả thiết)
Nếu x 24 thì y 22 1 23 < 30 (thỏa điều kiện bài toán)
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:
22 24 1 23 23 529 học sinh
0,25 0,25 0,25 0,25
tích là 5 (đvdt)
Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh ráp thành hình
vuông, thì cạnh của hình vuông bằng 5 , bằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thước là 1
và 2 có diện tích bằng 1 (đvdt)
+ Do đó nếu cắt hình chữ nhật 1 5 theo đường chéo của
2 hình chữ nhật AEFD và GBCH, và cắt theo 2 đường
EF và GH xong ráp lại thì được hình vuông MNPQ như hình bên
1,0
