Gọi O là giao điểm của AC và BD... Trong mặt phẳng SAC dựng đường trung trực của đoạn thẳng SM cắt đường thẳng AC tại điểm I.. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBMD, bán kính
Trang 1-
Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
Tổ Toán Tin MÔN TOÁN LỚP 12 ( Thời gian 90 phút )
-
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT 1
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
A- PHẦN CHUNG ( 7 điểm )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y2x4 4x2 1
1.Tập xác định D ¡
2 Sự biến thiên
a Giới hạn: lim
x y
x y
0,50
b Chiều biến thiên:
y x x x x ; 0
' 0
1
x y
x
y x nên hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0
và 1;
y x nên hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 1 và 0;1
Hàm số đạt cực đại tại x và 0 yCD 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT 1
0,50
c Bảng biến thiên
x 1 0 1
y’ 0 + 0 0 +
y
1
11
0,50
1.1
( 2,00 )
3 Đồ thị
0,50
Trang 2Tìm tham số m để phương trình sau có tám nghiệm phân biệt
2x44x2 1 m (1)
Phương trình (1) có tám nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng
ym cắt đồ thị (C của hàm số 1) y 2x44x2 tại 8 điểm phân biệt 1
0,25
Từ đồ thị (C) của hàm số y2x44x2 suy ra đồ thị 1 (C của hàm số 1)
y x x như sau:
0,50
1.2
( 1,00 )
Dựa vào đồ thị (C suy ra đường thẳng y1) m cắt đồ thị (C tại 8 điểm 1)
Giải phương trình 5x21.3x11
Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình ta được
2
5
2.1
(1,00)
5
1
1 log 3
x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 và x 1 log 35 0,25
ln 12
6
y x x x
Ta có
2
'
x y
x x
2
2
6 12
x x
' 0
y 5x2 7x66 0 x hoặc 3 22
5
x
Vì x 3; 4 nên ta chọn x 3
0,25
2.2
(1,00)
Bảng biến thiên
Trang 3-
x
22 5
3 3 4
y’ 0 + + 0
y
5
ln 6
2
0,25
Từ bảng biến thiên suy ra
3;4
5
ln 6 2
đạt được khix 3
0,25
Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, · 0
60
ABC 2,00
Tính thể tích tứ diện SBMD theo a
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và · ABC 600 nên tam giác ABC là tam giác
đều, suy ra AC và a 3
2
a
BO Do đó BD2BOa 3
Từ tam giác vuông SAC ta có SA2 SC2AC2 3a2 SAa 3
0,25
Áp dụng công thức tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác có chung đỉnh ta có
1
2
SBMD SBCD
V SB SC SD SC
1 2
Thể tích khối chóp SBCD là
3
a
V S SA BD OC SA
0,25
3.1
(1,00)
Vậy thể tích tứ diện SBMD là
3 1
a
0,25
3.2
(1,00)
+ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBMD
Trang 4Do OM là đường trung bình của tam giác SAC nên 3
SA a
2
a
OBODOM nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD (1)
Mặt khác, ta có OM SA và // SA(ABCD) nên OM (ABCD) suy ra
OM AC , kết hợp với BD AC ta có AC (BMD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng AC là trục của tam giác BMD
Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường trung trực của đoạn thẳng SM cắt
đường thẳng AC tại điểm I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SBMD, bán kính mặt cầu là rIS
0,50
Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng SM thì IN SM và
.2
a
NC SC a
Từ hai tam giác vuông đồng dạng SAC và INC ta có SA AC
IN NC
SA NC IN
AC
3 3
2
2
a a
a a
Từ tam giác vuông ISN ta có
7
IS IN SN a
7
IS a
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBMD là rIS a 7
0,50
B- PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
4
Đặt tlog2x1 bất phương trình trở thành t2 t 2 0 2 t 1 0,25
4a.1
(1,00)
Suy ra 2 log2x1 1 1 1 2
( thỏa mãn x ) 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 5
;3 4
S
0,25
4a.2
(1,00)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y x m và đồ thị
Trang 5-
1
x y x
là
1
x
x m x
(1) ( với x ) 1
0,25
Đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2 8
1
x y x
tại hai điểm phân
biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
32 4 8 0
2
1 2 6
1 2 6
m m
(*)
0,25
Khi đó gọi tọa độ giao điểm là A x y 1; 1 và B x y 2; 2, trong đó x x là 1, 2
nghiệm của phương trình (1) và y1 x1m, y2 x2m Theo định lý
Từ tam giác OAB vuông góc tại O ta có OAOB OA OBuuur uuur 0
x x y y
x x1 2 x1mx2 m 0
m16 ( thỏa mãn điều kiện (*) )
0,25
Vì mặt phẳng (ABCD) cắt hai mặt phẳng đáy
song song (O) và (O’) theo hai giao tuyến AB
và CD nên AB CD Kết hợp với giả thiết //
3
ABCDR suy ra tứ giác ABCD là hình
Dựng hai đường sinh CC’ và DD’ của hình trụ, khi đó CDD’C’ là hình chữ
nhật, suy ra C D' ' //CD và C D' 'CDR 3 (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên AB CD và // ABCDR 3 ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra AB C D và // ' ' ABC D' 'R 3
Do đó tứ giác ABC’D’ là hình bình hành, nhưng ABC’D’ nội tiếp đường
tròn (O) nên ABC’D’ là hình chữ nhật
Suy ra AB AD', mà ABDD' ( vì mp O( )DD' ) nên
ABmp ADD , do đó AB AD (**)
Từ (*) và (**) suy ra ABCD là hình chữ nhật
0,25
Mặt khác, từ ABC’D’ là hình chữ nhật suy ra BD’ là đường kính của đường
tròn đáy, do đó BD'2R
Từ tam giác vuông BC’D’ ta có BC'2 BD'2C D' '2 4R23R2 R2
BC'R
Trang 6Do CC'mp O( ) nên CC'BC', do đó tam giác BCC’ vuông góc tại C’,
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD AB BC R 3.2R2 3R2
0,50
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Giải hệ phương trình
3
8
3y
x
Hpt
8 (2)
y x
x y
Xét hàm số ( )f t 3t xác định và liên tục trên ¡ , ta có t
'( ) 3 ln 3 1t 0,
f t ¡ suy ra ( )t f t là hàm số đồng biến trên ¡ 0,25
Do đó từ phương trình (1) ta có ( )f x f y( ) x y
Thế x y vào phương trình (2) ta được 2
4b.1
(1.00)
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x y ; 2; 2 và
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ym x 13 và đồ
yx x là
x x m x (1)
x
0,25
Đường thẳng ym x 1 cắt đồ thị hàm số 3 3 2
y x x tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
m
0 9
m m
(*)
0,25
Với điều kiện (*) phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x , 1 1 x và 2
3
x , trong đó x2 và x3 là nghiệm của phương trình (2) Theo định lý Vi-ét ta
có: x2x3 , 4 x x2 3 4m
x x x x x x x x x x x
3
1 64 12 4 m 15 12m
