Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng

Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng 1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước. 4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho trước. 6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

Các dạng thiệt diện theo cách xác định mặt phăng:

1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thắng hàng

2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thăng và song song

với một đường thăng cho trước

3.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P) qua một điểm và song song với hai

đường thăng cho trước

4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một

mặt phẳng cho trước

5.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (?) chứa một đường thăng và vuông góc

một đường thắng cho trước

6.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P) qua một điểm và vuông góc với một

Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ

được các điểm chung mới của (?) với các mặt khác Từ đó xác định được giao

tuyến với các mặt này

Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác

phăng khép kín ta được thiết diện

Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.48CD, M là điểm bắt kì nằm trên cạnh $C (không trùng

với S, C), ý và P lân luợt là trung điêm của 417, 4D Tìm thiệt diện của hình chóp với

Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng a song song với một đường thăng ở cho trước (a và chéo nhau))

Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) va (Q) lần lượt chứa hai đường thăng song song a và b

Bước 2: Tìm một điểm chung Ä⁄ của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ)

Bước 3: Khi đó:(P)=(@) = Mi a(7b

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với

các mặt còn lại của hình chóp

Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ 2:_Cho hình chép S.ABCD, ABCD là hình bình hành, X là trung điểm cua SC, (P)

la mat phang qua AM va song song BD Tim thiét di¢n của hình chóp khi cắt (P)

Vậy thiết diện là tứ giác KMNA c

Dang 3:Thiết diện cúa hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thắng cho trước:

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Vi du 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD 1a hinh thang ( AD song song BC ), Mla diém bat ki thudc AB va (@) 1a mat phang qua M va song song voi AD va SB

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (2)

Giải:

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

Bước 1: Tìm điêm chung M của hai mặt phang (P) va mot mat phang nào đó của hình

chóp

Bước 2: Chỉ ra (P) ⁄(O)

Tìm z=(P)n(R)_ ®=(Ø)(R)) Khi đó giao tuyến là đường thắng qua M

song song với (hoặc b)

Bước 3: Dựng thiệt diện và kết luận

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.4B8CD, 4BC?D là hình thang, cạnh đáy 4B, CD < 4B

(a) là mặt phẳng qua 1 trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (S47)

Tìm thiết diện của hình chóp với (Z)

Dạng 5: Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thang cho trước

Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phăng (7) đi qua một điểm

M va vuông góc với đ cho trước

Phương pháp chung:

Bước l1: Tìm hai đường thang a va b

cắt nhau cùng vuông góc với đ ( trong đó ít nhất một đường thăng đi qua điểm 1)

Bước 2: Khi đó (P)/ (a,))

Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thắng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d thì ta chọn () song song với a (hay cha a) va b song song voi (P) (hay chira b) Roi

thực hiện các bước còn lại

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.48CD, 4BCD là hình chữ nhật, $4 vuông góc với mặt phẳng

Vay thiết điện cần tìm là hình thang AHID

Dạng 6: Thết diện chứa một : đường thắng a và vuông góc với một mặt phẳng

Bước 1: Chọn 7 điểm 4 nằm trên đường thắng z sao cho qua 4 có thê dựng được

đường thắng b vuông góc với mp (a ) một cách dễ nhất

= AD 1 (S4B)

Bước 2: Khi đó, mp (a,b) chính là mp (z) cần dựng

Bước 3: Tìm giao tuyến của (z) với hình chóp bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi (P) là mặt phăng qua | và

vuông góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P)

Chi ý: Việc tìm thiết diên của mặt phăng (øz) với hình lăng trụ được tien hành tương tự

như đối với hình chóp Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu

(z) cắt 1 mat đáy nào thì cuãng cắt mặt day con lai theo giao tuyén song song voi giao

Việc tìm thiệt diện của hình lập phương được tiên hành giông như đói với hình lăng trụ

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác 48C.4;B¡C), các điểm M, N lần lượt là trung điểm

Những khó khăn cơ bản khi giái toán thiết diện và biên pháp khắc phục

3% Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng, nào đó chẳng hạn tìm thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phăng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phăng (P) với các

mặt của hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp

bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo

bởi mặt phẳng (P) với hình chóp

Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt

phẳng (7) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phăng (7) với

các mặt của hình chóp

Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt

nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm (của mặt phẳng và các cạnh của hình

chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng

và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)

3 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thé

bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì

hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn

đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy

của chúng ta

1 Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào

trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quá dẫn lời giải sai:

Hình vẽ chưa thê hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bề tắc trong việc

tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai

Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phăng do vậy khi vẽ hình trong

HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc điều này sẽ làm cho các

em bị bề tắt khi giải toán HHKG

Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD cé day ABCD là một hình vuông thì các em mặc

nhiên vẽ hình chóp có đáy 4BC?D là hình vuông và có đỉnh là

S

Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như s

vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán

- _ Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể

hạn chế được Điều này gây nhiều khó khăn khi giải

những bài toán phức tạp

- _ Thứ hai: cạnh 47D là nét khuất nhưng chưa được thể

hiện trên hình vẽ

-_ Thứ ba: giao diện mat bén (SAD) qua nho, điều này

gây, nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà

ta cần kẻ thêm những đường thắng nằm trong mặt

phăng đó

- _ Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thé

hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng

Nếu để bài yêu cầu thêm là mặt phăng ( S47) vuông

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

góc với mặt phăng đáy thì học sinh khó mà vẽ được hình đúng như ý mình

Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mat nhiều thời gian

cho việc vẽ hình

Vi du 1:

Cho hình lập phương 48CD.4'8'C'D' Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt

phẳng di qua trung điểm Ä⁄ của cạnh DD', trung điểm W của cạnh D'"C' và đỉnh 4

Do hai mặt bén (BB'A'A) va (CC'D'D) song song với C B’

nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng

(4N) cũng phải song song với nhau Do đó

(AMN)O(4A4'8'8) = AB", AB’ 1] MN D'

(AMN)S(4A'D'D)= AM

Vậy thiết điện cần tìm chính là hinh AMNB'

Phân tích sai lầm:

Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng

(AMN) va mat phing (BB'4'A) là đường thang di D

qua 4 và song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường

thang AB’ Điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh 4' //MN

Vậy thiết diện cần tìm chính là hình 4N"

Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng

» Nguyên nhân:

'Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc với

hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ

hình

Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn

đến không đủ dữ kiện đề giải quyết bài toán Các khái niệm HS không nắm vững hoặc

hiểu nhằm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”,

“hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ

nhật )

» Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không

gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hình chóp

tứ giác đêu, hình chóp có đáy là hình vuông, ), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh

nắm vững khái niệm về các hình trong không gian dé có cách vẽ hình chính xác

Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:

- Dùng nét ( _ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thay

- Dung nét ( -) để biểu diễn những đường khuất

- Hai đường thắng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thang song

song ( cắt nhau )

- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang

- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình

bình hành

- Một tam giác 4BC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bắt kì

Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có 8 gi cho

việc quan sát trực giác, điều này giúp ta đễ tìm ra lời giải cho bài toán

Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác Khi giải một số bài

tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra

2 Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết „

Học sinh thường rơi vào bê tắc không biệt bắt đâu từ đâu cho một bài toán tìm thiệt

diện

Ví dụ 2: Cho hinh chép S.ABCD cé day ABCD là hình vuông, Ss

SA 1 (ABCD) Goi (a) 1a mat phang qua A va vuông góc với S8

Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mat phang (a)

Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,

không biệt bắt đâu lời giải từ đâu, do

không thấy được hình biểu diễn của mặt phăng (a)

Nguyên nhân:

Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để

giải các dạng bài tập tìm thiết diện

iải

Trong mặt phăng (S4) dựng 4M L S8

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất đề giải bài toán tìm thiết diện:

Tìm giao tuyến giữa | mặt phăng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ Từ đó suy

ra các đoạn giao tuyến Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết

diện cần tìm

Phân loại các dạng bài tập tìm thiệt diện, giúp học sinh biệt được cách giải với từng dạng,

bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1)

- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết điện được xuất

phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “ “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao

tuyến” Mà việc xác định “đoạn giao tuyên” hoặc là ta đã có hoặc nêu không có săn thì

xác định đoạn giao tuyên băng cách tìm các giao điêm là phô biên (tuy nhiên còn có

- Như vậy quy cho cùng vân đê tìm “giao điêm” là cốt lõi trong bài toán thiệt diện

Vậy làm sao đê tìm được “giao điêm” chăng hạn là giao điêm của hình chóp cắt bởi mặt

Dé tim giao điểm của đường thang a va mat phang (P) ta di tim giao diém cua đường

thắng z và một đường thăng b nam trong mat phang (P)

Mai ) =ao(P)=1

anb=I

Cach 2:

Dé tim giao điểm của đường thắng a và mặt phăng (P) ta chọn mặt phăng phụ (@) chứa a, sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phăng (P) và (Q) Khi đó giao điểm cần tìm là giao điềm của hai đường thắng a va b

Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

Ta tìm một điểm chung của hai mặt phăng Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thắng song song nhau Giao tuyến là đường thắng qua điểm chung và song song với hai đường thắng đó

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm

Goi I[=AM ASO

Ma AM C(S4P)

Vay ta suy ra J = AM (SBD)

Trén mp(SBD), goi J = BI ASD

Khi do trén mp(SCD), goi K = JM ASC

Vay tir giac ABKJ la thiet dién can tim

Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện 4BCD Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên cdc canh BC va

CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND Gọi P là trung điểm 4D Xác định thiết diện của

hình chóp khi cat boi mp(MNP)

Trén mp(ABD), PE cit AB tai Q, khi đó: MN,NP,PO,OM lần lượt là các đoạn giao tuyến

khi cắt các mặt của tứ diện bằng mp(MNP)

Vay tir giac MNPO Ia thiét dién cần tìm

3 Những khó khăn do không hiếu kỹ các định lý, hệ quá dẫn đến những kết luận sai

- Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở hình học phăng, chang han HS thường cho rang trong không gian có định lý sau: “hai đường thang cùng vuông góc với một đường thắng thì song song với nhau”, “ hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”, hoặc các định lý,

hệ quả mà HS thường hiểu nhằm:

+ Một đường thắng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thăng nằm trong mặt phăng đó

+ Hai mặt phăng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thắng nào nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

11

+ Luôn có thể dựng được một mặt phăng đi qua 4 điểm phân biệt

Ví dụ 3:

Cho tứ diện S48C có tam giác 48C đều, SA (ABC) Lay một điểm M bat kỳ

trên cạnh %C G ọi (a) là mặt phăng qua M và vuông góc với 4

học sinh giải như sau:

S4.L(48C)= S4 L AB

(a) AB

Suy ra (a) SA

kẽ đường thăng qua M⁄ và song song với 5⁄4 cắt 4C tại @

Gọi 7 là trung điêm 4Ö, khi đó: 48 L C7

Mat khac MQ 7 SA, nén MQ 1 (ABC)= MO 1 AB