Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân ppsx

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đại số & Giải tích 11.. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN..  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầ

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

Đại số & Giải tích 11

Tiểu luận :

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN

Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn Lớp : A6

Chương 3 : DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN

I.Kiến thức cần nhớ :

1 Phương pháp chứng minh quy nạp:

Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dươn n ≥ p ( p N٭ cho trước ) ta cần thực hiện 2 bước cơ bản :

 Bước 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p

 Bước 2 : Với k là số nguyên dương tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với

n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1

VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có:

1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = n2( n + 1) (*)

Giải :

 Với n = 1 , ta có :

1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1

 Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là :

1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = k2( k + 1),

Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là :

1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =  2

1



k ( k + 2)

Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có :

1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) = 2 

1

k k + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( k2 + 3k +2)

= (k + 1)(k + 1)(k + 2) =  2

1



k (k + 2). ĐPCM VD2: Chứng minh rằng : u n= 13n 1

chia hết cho 6n  N*.(1)

Giải :

 Khi n = 1, ta có : u n = 13 – 1 = 126  1 đúng

 Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là :

13k 16

 Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là :

13k116

Thật vậy , ta có : 13k1 1

= 13k.131312

= 1313k 112

6



ĐPCM

2 Dãy số :

a) Các định nghĩa :

 Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*

 Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên

( m là số nguyên dương cho trước)

 Dãy số tăng :  u n là dãy số tăng n,u n1 u n > 0

 Dãy số giảm :  u n là dãy số giảm n,u n1u n < 0

 Dãy số không đổi :  u n là dãy số không đổi n,u n1 u n = 0

 Dãy số bị chặn trên :  u n là dãy số bị chặn trên nếu  M: u n  M ,  n  N*

 Dãy số bị chặn dưới :  u n là dãy số bị chặn dưới nếu m: u n  m,  n  N*

 Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

b) VD:

1) Cho dãy  u n với u n =  3

1



n Chứng minh u n là dãy số tăng

Ta có : u n1u n =   3 3

1

n = 3n2 9n7 > 0,  n  N*

 Dãy số tăng

2) Cho dãy số  u n với u n =

5 6

6 5





n

n

Chứng minh u n là dãy số giảm

Ta có: u n1u n=

5 6

6 5 11 6

11 5











n

n n

n

= 6 116 5

11







n

n < 0,  n  N*  Dãy số giảm

3) Chứng minh rằng dãy  v n với v n =

3 2

1

2

2





n

n

, là dãy số bị chặn

Ta có : v n = 2122 2 32

2

n

n















3 2

5 1 2

1

2

n = 22 3

5 2

1

2 



n

Dễ thấy  n  N* , thì

5

1 3 2

1







n Do đó  -2 ≤ v n ≤ 1 (n 1)

Vì vậy,  v n là dãy số bị chặn

3 Cấp số cộng & Cấp số nhân:

a) Cấp số cộng :

Định nghĩa : dãy  u n là cấp số cộng  n, u n1 = u n + d ( d là một hằng số &

được gọi là công sai)

Các tính chất của cấp số cộng :

 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :  u n là cấp số cộng  u k=  2

2

1

1  

u k k

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n :

u n = u1n1d (d là công sai)

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  u n :

S n =  

2

1 u n

u

n 

hoặc S n =    

2

1

n  

VD : Cho dãy  u với u = 20n – 2010

 Chứng minh rằng u n là cấp số cộng Tìm công sai

 Tính u2009 & u2011 Từ đó suy ra u2010

 Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên

Giải :

 Ta có : u n1u n = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20

  u n là cấp số cộng , công sai d = 20

 u2009 = 20.2009 – 2010 = 38170

u2011 = 20.2011- 2010 = 38210

 u2010 =

2

2011

2009 u

u 

=

2

38210

38170

= 38190

 Ta có : S12 =    

2

12 20 1 12

2u1 

Mà : u1 = 20.1 – 2010 = - 1990

 S12 = - 22560

b) Cấp số nhân :

Định nghĩa : dãy  u n là cấp số nhân  n, u n1 = u n.q ( q là hằng số & đƣợc gọi

là công bội)

Các tính chất của cấp số nhân :

 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :  u n là cấp số nhân  2

k

u = u k1.u k1 (k ≥ 2 )

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân  u n :

u n = u1.q n1( q là công bội )

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân  u n với q 1:

S n =

1

1

1

q

q u

n





VD:

Cho cấp số nhân  v n có v3 = 24 , v4 = 48

 Tìm v1 , công bội q của dãy số Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát

 Tính tổng 200 số hạng đầu tiên

Giải:

 Vì v n là cấp số nhân  q =

3

4

v

v

= 2

 v1 = 43

q

v

= 3

2

48

= 6  Số hạng tổng quát : v n = 6.2n1 (n 1)

 Ta có : S200 =  

q

q v





1

1

2 1

2 1

6 200





=  200 

6 2 1

II Các dạng bài tập :

Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :

Bài1 : Chứng minh rằng : 122232  n2 =   

6

1 2

n n

( n  N * )

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có bất đẳng thức sau :

1 3

1

2

1 1

1











Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau :

i

n

1

3

1 2

1

ii

1 2

1

3

1 2

1 1









Bài 4: Cho số thực xk2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có :

1cosxcos2x cosnx =

 

2 sin

2

cos 2

1 sin

x

nx x

n

Bài 5 : Chứng minh rằng : 1 2 1

12

11n  n

133 (  n  N*)

Bài 6: Tính tổng :

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1)

( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải )

Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n2 , (  n  N*)

Bài 8: Chứng minh rằng : U n = 2 2 2 1

3 2

7 n  n

5 (  n  N*)

Bài 9: Chứng minh rằng :

132333 k3 =  

4

12

2 k

k

, (  k  N*)

Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dương tuỳ ý , nếu 8k 1  7 thì 8k11

7” Một bạn học sinh chứng minh như sau :

Ta có : 8k1 1

= 88k 17

Từ giả thiết “8k 1  7”  8k11

7 Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận được “8k 1  7 , ( k  N*)” hay không ? Vì sao ?

Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số :

Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :

i Dãy số  v n với v n = 33

n

n

ii Dãy số  u n với u n = n n

2009

iii Dãy số  v n với v n =

3 2 sinn

(HD : Thay lần lượt n = 1,2,3,4,5,6)

Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau :

i Dãy số  f n , với f n = 2n3 5n1;

ii Dãy số  u n , với u n = n n

2

iii Dãy số  v n , với v n = 1

2

3



n

n

(HD : Xét hiệu : u n1 u n );

Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số  u n , với u n =

3 2

1

2

2





n

n m

là dãy số tăng

Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số u n , với u n = n n2 1;

(HD : viết lại u n =

1

1

2 

 n n

)

Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số  v n , với v n =

7 5

5 7





n

n

là dãy số tăng và bị chặn

Bài 6: Cho dãy số  f n , với f n =

6

cos 3

 , chứng minh rằng f n = f n12 ,n 1 Bài 7 : Cho dãy số  u n xác định bởi :

u1 = 2 và u n1 =

4

4

2



n

u

( n 1) Chứng minh rằng  u n là dãy số không đổi

Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi:

Bài 1 : Cho dãy số  u n xác định bởi : u1 = 1 và u n1 = u n 7 , n 1

Chứng minh rằng : u n = 7n6.( HD : chứng minh bằng quy nạp )

Bài 2: Cho dãy  u n , có u n =

3 4

2

2  n

n ,  v n có : v1 = u1 và v n1 = v n u n1 Tính v n theo n

Bài 3:Cho dãy  u n có : u1 = 1 và u n1 = u n + 2 Tìm u n theo n.( HD: viết ra

một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau)

Bài 4 :Cho dãy số  a n xác định bởi

a1 = 2 và a n1 = 3a n 2n1 , n 1 Chứng minh rằng : a n = 3n n

Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp

số cộng:

 Để chứng minh dãy số u n là cấp số cộng ta chứng minh rằng :

u n1u n = d (d không đổi )

Bài 1:Cho dãy số  s n , xác định bởi : s1 = 1 , và s n1 = s n - 3 n 1

Chứng minh rằng  s n là cấp số cộng Tìm công sai

Bài 2:Cho cấp số cộng  u n với công sai d và cho các số nguyên dương m, k

với mk Chứng minh rằng u m = u k mkd Rút ra nhận xét

Bài 3: Cho cấp số cộng  u n và cho các số nguyên dương m, k với m < k Chứng

minh rằng u k =

2

m k m

u   

Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10

Bài 4: Cho cấp số cộng  u n có u5 u2 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của  u n ( HD : viết tổng u5 u2 thành u1u23 = 90 )

Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng  v n có v13 v153 = 302094 và S15 = 585 Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó ( ĐS : v1= 11, d = 4)

Bài 6 : Xét dãy số  u n xác định bởi u1 = m và u n1 = 5 - u n , n 1 Trong

đó m là số thực Hãy xác định tất cả các giá trị của m để  u n là một cấp số cộng

Bài 7: Cho dãy số  u k , có u k1 = 13k3 Tính tổng sau :

S = u12u13u14 u21  u19u20 u30 Bài 8 :Cho cấp số cộng  u n có u10 = 12 và có công sai d = 6 Tính u20 (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 )

Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng

102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số

các số hạng của cấp số cộng đã cho thì u k = 999)

Bài 10 : Cho cấp số cộng u n có u17 u20 = 9 và u172 u202 = 153 Hãy tìm

số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

( HD : có thể viết lại 2 2

17 20

u u =     2

20 17 2 20 17

2

1

u u u

xét 2 TH khi u17u20 < 0  u17u20 > 0 )

Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân:

Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số  f n xác định bởi f1 = 1 và f n1 =

7

n

f

là cấp số nhân Xác định công bội

Bài 2 : Xét dãy số  u n xác định bởi u1 = a và u n1 =

n

u

12

, n 1 , a là số thực khác 0 Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số  u n là cấp số nhân

(HD : giả sử  u n là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho u n1 = u n.q, từ

đó tính được u n2=

q

12

)

Bài 3 :Cho cấp số nhân  u n và các số nguyên dương m,k với m < k Chứng

minh rằng : u k = u km.u km Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội

âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18 (HD : viết u  và u  với công bội q 0 )

Bài 4 :Cho cấp số nhân u n công bội q 0 và u1 0 Cho các số nguyên

dương m , k , với mk Chứng minh rằng : u m = u k.q mk Áp dụng : tìm công

bội q của cấp số nhân  u n có u4 = 2 và u7= -686

Bài 5 :Cho cấp số nhân u n có 3 3.u2 u5 = 0 và u32 u62 = 63 Hãy tính tổng

S = u1  u2  u3   u10 Bài 6: Cho cấp số nhân u n có 6u2 u5 = 1 và 3u3 2u4 = -1

i Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

ii Tính tổng : S = u5  u6 u9  u8  u9 u12u14

Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lượt

là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng Hãy tìm

ba số đó , biết tổng x + y + z = 13 ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  2

y = x z ;

từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y )

Bài 8 : Cho cấp số nhân u n có 7 số hạng , u4 = 6 và u7 = 243u2 , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó

Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2

số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2 (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k )

Bài 10: Cho dãy số  u n xác định bởi u1 = 2 và u n1 = 4u n 9 , n 1

Chứng minh rằng dãy số  v n , xác định bởi v n = u n + 3, n 1 là cấp số nhân Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó

(HD : dễ thấy u n1+3 = 4u n 9+ 3 = 4(u n + 3) )

III Một số bài tập trắc nghiệm :

Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phương án trả lời:

Câu1: Cho dãy  u n xác định bởi u1 = 32 và u n1 u n 2 , n 2,n* Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy u n là :

A 45632 B 65212 C 18120 D.19630

Câu2: Cho dãy  a n xác định bởi a1= 1 và a n 2 n a n1 n 2 Khi đó a12 bằng :

A 2 12!11 B 4 11!13 C 2 12!11 D.4 11!13

Câu3: Cho cấp số cộng  u n có u1 2 và u3 6, Tổng : S u12u13  u17 bằng :

A 170 B 180 C.132 D 174

Câu4: Cho dãy số  f n xác định bởi 1 2

3

n n

f

f    n và f112, tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy trên là :

A.28697812

1594323 B.

28697813

1594324 C

7174453

398581 D.

28697813

1594323

Câu5: Cấp số cộng  u k có : u45 3 và u47 7 , thì u46 bằng :

A 5 B 10 C 2 D Chưa đủ dữ kiện trả lời

Câu6: Cho cấp số nhân  v n có công bội q = 4 và v1715 thì v21 bằng :

A 15 B.2120 C 41160 D Kết quả khác

Câu7: Dãy số  u n cho bởi 1

2

n

n u

n



 là dãy số :

A Tăng B Giảm C.Không tăng không giảm D Có thể tăng có thể giảm Câu8: Cho cấp số nhân  u n có u10 = 2 có u12 là nghiệm nguyên của bất phương trình

2

12 12

10u 163u 6600 Công bội q của  u n là :

A 4 B.2 C 8 D 10

Câu9: Cho dãy u n xác định bởi : u1 18 và u n1u nn Khi đóu n1 được biểu thị theo n

là :

A.u n1 2nn B

2 1

36 2

n

u    

C.u n1 18n 1 n D.u n1  2n 1

Câu10: Cho dãy  v n có 1

1

1

14 n

v





  

 số hạng thứ v n là :

A 1

n B 15 C 5 3

n D Chưa đủ dữ kiện để trả lời

……… HẾT………

Học sinh : Nguyễn Công Tuấn