Trường THPT đa phúc Kiểm tra học kỳ 2 Họ tên học sinh:……….. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C-3 và trục hoành.. b Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’ c Tìm điểm A’
Trang 1Trường THPT đa phúc Kiểm tra học kỳ 2
Họ tên học sinh:……… SBD:
Bài 1: (3.0 điểm) Cho hàm số 3
y=x +kx+ k+ có đồ thị (Ck) ( với k là tham số)
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C-3) của hàm số khi k=-3
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành
c Tìm các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình: y = x + 1
Bài 2: ( 2.0 điểm)
a Tính tích phân sau:
1
1 ln
e
x
= +
b Giải phương trình sau trên tập số phức: 2
(3 2 ) 6 0
z ư + i z+ i=
Bài 3: (4 0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng (d):
xư y zư
= = và đường thẳng (d'): 3 2 1
xư yư zư
a) Chứng minh rằng (d) và (d') chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’)
c) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d) Viết phương trình đường thẳng (d'') đi qua A' và song song với (d')
d) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng (d’)
Bài 4: (1 0 điểm)
Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: ( ) 3
a b c
+ +
≤ Hết
- & - Thời gian: 90 phút
Đáp án vắn tắt và biểu điểm
Chú ý: Học sinh làm đúng, cách giải khác (lập luận đúng, đủ) vẫn cho đủ điểm. Thang điểm
Bài 1: (3.0) Cho hàm số 3
y=x +kx+ k+ có đồ thị (Ck) ( với k là tham số)
a) Với k = -3 hàm số trở thành 3
- Kết luận về tính Đồng biến, nghịch biến, cực trị
0.25
- Giao đồ thị với các trục: Oy tại (0;-2), Ox
- Vẽ đồ thị hàm số
y' + 0 - 0 +
+∞
Trang 2b) - Miền cần tính diện tích là miền "gạch chéo" Diện tích cần tính là: 0.25
2
3
x
c) (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x + 1 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
0.5 (1.0 đ)
3
2
x k
+ =
Bài 2: (2.0 điểm)
a)
(1.0 đ) Tính tích phân sau:
Tính được
2 1
1
1 ln
4
e
e
Tính được 2
ln (ln )
2
x
x
Kết luận đúng:
2
3 4
e
b) Giải phương trình sau: z2ư(3 2 )+ i z+6i=0
Để tìm được căn bậc hai giải được hệ phương trình
5
xy
= ư
Giải được hệ, kết luận ∆ có hai căn bậc hai là: 3-2i và -3+2i KL pt có hai ng: z=3; z=2i 0.5
Bài 3: (3.0 điểm)
a
(1.0 đ) Cho điểm A(2; 5; 3), (d):
xư y zư
xư yư zư
ư (d) có VTCP u = d (2;1; 2)
uur
qua điểm M(1;0;2);
(d') có VTCP u = ư d' ( 7; 2;3)
uur
Ta có: u u d, d' = ư ư ( 1; 20;11)≠0
và u u d, d'.MM'≠0
uur uur uuuuur
0.5
b
(1.0 đ)
Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’)
Phân tích cách làm đúng
1.0
Viết đúng phương trình
c
(1.0 đ)
Tìm hình chiếu của A trên d Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d
0.5
Do H ∈ (d) ⇒ H(1+2t;t;2t+2) ⇒ AH =(2tư1;tư5; 2tư1)
uuur
Mà
AH⊥u ⇒AH u = ⇔ = ⇒t H
uuur uur uuur uur
A' đối xứng với A qua (d) Suy ra được A'(4;-3;3)
(d'') qua A'(4;-3;3) và song song với (d') có VTCP u d'(ư7; 2;3)
uur
, (cũng là VTCP của (d''))
0.5
Suy ra (d'') có phương trình: 4 3 3
xư y+ zư
d mp(P) chứa (d) và song song với (d') ⇒ (P) qua H(3;1;4) có VTPT 0.5
Trang 3( ) '
n =u u = ư ư
uur uur uur
(1.0 đ) Suy ra (P): -1(x-3) - 20(y-1) + 11(z-4) = 0 ⇔ x + 20y -11z + 20 = 0
0.5
Kết luận đúng
Bài 4: (1.0 điểm)
(1.0 đ)
Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: ( ) 3
a b c
+ +
≤
3
a b c
abc a a b b c c
+ +
(a b c)(lna lnb lnc) 3(alna blnb clnc)
0.25
(a b)(lna lnb) (b c)(lnb lnc) (c a)(lnc lna) 0
Ta có nhận xét sau:
Nếu 0<x≤ y⇒lnx≤lny⇒(xưy)(lnxưlny)≥0
0.25
Nếu x> y⇒lnx>lny⇒(xưy)(lnxưlny)>0
Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn có: (xưy)(lnxưlny)≥0 suy ra ĐPCM 0.25
Hết